基于直观想象能力探讨含参函数的零点问题的策略应用

1、PAGE 5 -基于直观想象能力，探讨含参函数的零点问题的策略应用黄俊森摘要文章以2022年全国卷文科数学第20题为例，说明解决含参函数的零点问题的三种方法直接法、参变分离法、转化法，以直观想象为抓手，化归为常规方法，让学生有迹可循，总结规律，循序渐进突破学生的思维难点，进而达到落实数学核心素养的目的.关键词直观想象;含参函数;零点;策略含参函数的零点问题一直是高考压轴题的热点和难点，近6年每年都考查了，特别是遇到非常规的含参方程或超越方程时，学生就束手无策，原因是学生无法将陌生函数的信息转化成可供解题的信息.函数的零点是沟通函数、方程、图像的重要媒介，它充分体现了函数与方程的关系，蕴含了丰富

2、的数形结合思想，而且在落实数学核心素养方面有其独特的价值.王尚志教授说过，“直观想象非常重要.证明的思路是看出来的，要教育学生学会用图形来探测与表达结果.”函数零点问题就是一个很好的培养学生直观想象能力的载体，通过“函数y=f（x）有零点？圳方程f（x）=0有实根？圳函数y=f（x）的图像与x轴有交点”的适当转换，可以得到相应的图像，得到各種不同的求解策略.而培养学生的直观想象能力，即平面图形或空间形体的观察分析和抽象的能力，要求是“四会”：会识图，会画图，会析图，会用图.下面以2022年全国卷文科数学第20题为例探究其解法，基于直观想象分析这种类型问题的实质，打开这类问题的思维层次，并举例分

3、析、变式练习、总结归纳，让考生熟练掌握这类题型的解法.看山是山，真题回放例（2022年全国卷文科数学第20题）已知函数f（x）=ex-a（x+2）.（1）略;（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.题目分析：第（1）问略.对于第（2）问，首先思考：条件“f（x）有两个零点”等价于f（x）的图像是怎样穿过x轴两次的？是否类似于抛物线先减后增，顶点在x轴下方，或者反之？然后将题目中的函数解析式转化为图像进行分析，需要研究其单调性和极值点等函数性质.看山不是山，解法探究解法1（直接法）：由已知得f（x）=ex-a.若a0，则f（x）=ex-a0恒成立，f（x）在R上单调递增，最多和x轴有一个交点

4、，不符合题意.若a0时，令f（x）=ex-a=0，得x=lna.题后反思：先直接分析f（x）的单调性，求导后转化为不等式问题，即判断何时f（x）0和f（x）0，需要对参数进行分类讨论，很多学生对此手足无措.此时画出f（x）的图像是完整突破的关键.为了画出导函数的图像，分类讨论可分为三步：方程有没有根，根在不在定义域，哪些区域要或不要.从高考试卷反馈来看，此解法学生易漏证其必要性，即证明f（x）在区间（-，lna）和（lna，+）的图像穿过了x轴若图像没有穿过x轴就没有两个交点，所以必须进行检验.检验方法是零点存在性定理，难点在于如何在两个区间内各找一个正值点.常用方法：先在极值点左右区间找常数

5、点试一试，或者通过放缩法化曲为直再代入检验.但凡遇到函数或导函数都应当联想其图像，可以从图像直观辨析需要的条件或性质.令h（x）0，解得x-1;令h（x）0，解得x-2或-2x-1.故函数h（x）在（-，-2）上单调递减，在（-2，-1）上单调递减，在（-1，+）上单调递增.且当x-2时，h（x）0，当x-2时，h（x）0.h（x）的图像如图2所示.解法3（转化法）：若f（x）有两个零点，即a（x+2）=ex有两个解，即y=a（x+2）和y=ex有两个交点.易知直线y=a（x+2）必过点A（-2，0），且斜率为a.下面先看直线y=a（x+2）与曲线y=ex只有一个交点的情形：如图3可知，当y=

6、a（x+2）和y=ex有两个交点时，ae-1.所以，满足条件的a的取值范围是（e-1，+）.题后反思：解法3将a（x+2）=ex转化为两个相对熟悉的函数的交点问题，数形结合法对学生来说更容易入手，且避过了前两个解法中的一些难点，又形象直观，一目了然.但是学生能否熟练画出正确的图像，理解参数是如何影响函数图像的，是教师在平时教学中应该对基本的通性通法不断训练的结果.看山还是山，思维提升上述的三种解法殊途同归，关键要让学生学会利用导数和图像这些工具，掌握常规题型的通性通法，掌握分类讨论和等价转化思想，在解题教学中渗透数形结合，这才是高效备考的上策.很多函数只要能画出其图像，就能清楚其性质，如果画不出来，是因为缺了什么条件？顺藤摸瓜画函数图像，其实是综合研究整个函数性质的过程，所以课堂教学要多渗透数形结合.对含有参数的函数零点问题的解题思路，哪种方法能得到相对简单的函数就优先考虑哪种，比如用直接法先判断能否得到易于讨论的含参导函数，否则就参变分离，或转化为两个相对简