排列组合专题复习及经典例题详解

1、 ）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有P4种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有P2种站45法，故共有站法为P4P2480（种）45此外，也可用“间接法”，6个人全排列有P6种站法，由（2）知甲、乙相邻有6P5P2240种站法，所以不相邻的站法有P6-P5P2720240=480（种）.52652（4）方法一：先将甲、乙以外的4个人作全排列，有P4种，然后将甲、乙按条件插入站队,4有3P2种，故共有P4,（3P2）144（种）站法.42方法二：先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有P2种,4然后把甲

2、、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有P3种方法，最后对甲、3乙进行排列，有P2种方法，故共有P2P3P2144（种）站法.TOC o 1-5 h z2432（5）方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有P2种，再让其他4人在中间位置作2全排列，有P4种，根据分步乘法计数原理，共有P2P448（种）站法.424方法二：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有P2种站法，然后考虑中间4个位2置，由剩下的4人去站，有P4种站法，由分步乘法计数原理共有P2P448（种）站法.424（6）方法一：甲在左端的站法有P_5种，乙在右端的站法有P_5种，甲在左端而且乙在右端的站法有P4种，故

3、甲不站左端、乙不站右端共有P6-2P5+P4=504（种）站法.4654方法二：以元素甲分类可分为两类：甲站右端有P.5种站法，甲在中间4个位置之一，而乙又不在右端有P1P1P4种，故共有P5+P1P1P4=504（种）站法.4445444考点二:组合问题例2.男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.【解析】：（1）选法为C3C2120（种）.(2)方法一：至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2

4、男，4女1男.由分类计数原理可得总选法数为C1C4+C2C3+C3C2+C4C1246(种)46464646方法二：因“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，故可用间接法求解.从10人中任选5人有C5种选法，其中全是男运动员的选法有C5种.106所以“至少有1名女运动员”的选法C5-C5246(种).106方法一：可分类求解：“只有男队长”的选法为C4;“只有女队长”的选法为C4;“男、女队长都入选”的选88法为C3；所以共有2C4+C3=196(种)选法.888方法二：间接法：从10人中任选5人有C5种选法其中不选队长的方法有C5种.108所以“至少1名队长”的选法为C5-C5=196

5、种.108当有女队长时，其他人任意选，共有C4种选法；9不选女队长时，必选男队长，共有C4种选法，而且其中不含女运动员的选法有C4种,85所以不选女队长时的选法共有C4-C4种选法.85所以既有队长又有女运动员的选法共有C4+(C4-C4)191种.985考点三:综合问题例3.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.恰有1个盒不放球，共有几种放法？恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？恰有2个盒不放球，共有几种放法？【解析】：(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然

6、后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C1C2C1P2144种；4432(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也就是说另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.(3)确定2个空盒有C2种方法；4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类：4第一类有序不均匀分组有C3C1P28种方法；412第二类有序均匀分组有C2C2第二类有序均匀分组有C2C24_2P2XP226种方法.故共有C2(C3CiP2,4412C2C24纭XP2)84种

7、.P222当堂测试1.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，TOC o 1-5 h z则不同的组队方案共有（）A.70种B.80种C.100种D.140种【解析】：分为2男1女，和1男2女两大类，共有C2Ci,CiC270种.5454解题策略：合理分类与准确分步的策略2.2020年北京奥运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事司机、导游、翻译、礼仪四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A.48种B.12种C.18种D.36种【解析】：合理分类，通过分析分为（1

8、）小张和小赵恰有1人入选，先从两人中选1人，然后把这个人在前两项工作中安排一个，最后剩余的三人进行全排列有CiCiP324种选223法.（2）小张和小赵都入选，首先安排这两个人做前两项工乍有P222种方法，然后在剩余的3人中选2人做后两项工乍，有佇6种方法故共有Cici佇,P22佇36种选法解题策略：.特殊兀素优先安排的策略.合理分类与准确分步的策略.排列、组合混合问题先选后排的策略.从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位TOC o 1-5 h z数的个数为（）A.48B.12C.180D.162解析】：分为两大类：含有，分步：从另外两个偶数中选一个

9、，有C2种方法,从3个奇数中选两个，有C2种方法；给0安排一个位置，只能在个、十、百位上选,TOC o 1-5 h z有Ci种方法；其他的3个数字进行全排列，有P3种排法，根据乘法原理共有33CiC2CiP3i08种方法.（2）不含0,分步：偶数必然是2和4:奇数有C2种不23333同的选法，然后把4个元素全排列，共P4种排法，不含0的排法有C2P472种.根434据加法原理把两部分加一块得108+72=180个甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A.150种B.180种C.300种D.345

10、种【解析】：4人中恰有1名女同学的情况分为两种，即这1名女同学或来自甲组，或来自乙组，则所有不同的选法共有C1C1C2+C2C1C1345种选法.TOC o 1-5 h z536562解题策略：合理分类与准确分步的策略.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有()A.6B.12C.30D.36【解析】：法一：甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：.甲、乙所选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有C2C26种.42.甲、乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步：从4门中先任选一门作为相同的课程，有C14种选法，甲从

11、剩余的3门中任选1门，乙从最后剩余的2门中任选1门,4有C1C16种选法，由分步计数原理此时共有C1C1C124种.2432最后由分类计数原理，甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种.故选C.法二：可以先让甲、乙任意选择两门，有C2C236种方法，然后再把两个人44全相同的情况去掉，两个人全相同，可以将甲与乙看成为同一个人，从4门中任选两门有C26种选法，所以至少有一门不相同的选法为C2C2-C230种不同的选法.TOC o 1-5 h z444解题策略：正难则反，等价转化的策略.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A.324B.328C.36

12、0D.648【解析】：第一类个位是0,共P2种不同的排法；第二类个位不是0,共C1C1C1种不同的9488解法.故共有P2+C1C1C1=328(个).9488解题策略：合理分类与准确分步的策略.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的总数为()A.85B.56C.49D.28【解析】：合理分类，甲、乙全被选中，有C2C1种选法，甲、乙有一个被选中，有C1C2种2727不同的选法，共C2C1+C1C2=49种不同的选法.2727解题策略：(1)特殊元素优先安排的策略；(2)合理分类与准确分步的策略.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班

13、至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为()A.4B.18C.24D.30【解析】：将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有C2种不同的分法，然后三组进行4全排列共P3种不同的方法；最后再把甲、乙分到同一个班的情况排除掉，共P3种不同的排33法.所以总的排法为C2P3-P3=30种.433注意:这里有一个分组的问题，即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题解题策略：正难则反、等价转化的策略(2).相邻问题捆绑处理的策略排列、组合混合问题先选后排的策略；解排列组合的应用题要注意以下几点：仔细审题，判断是排列还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步深入分析，严密周