2021-2022学年湖北省武汉市常青高考适应性考试数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若复数满足，则（ ）ABCD2定义在上的函数满足，则（）A-1B0C1D23已知集合，则的子集共有（ ）A个B个C个D个4已知点是双曲线上一点，若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，则

2、双曲线的离心率为（ ）ABCD25数列an是等差数列，a11，公差d1，2，且a4+a10+a1615，则实数的最大值为（）ABCD6已知向量，且与的夹角为，则（ ）AB1C或1D或97如图，双曲线的左，右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为（ ）ABCD8已知函数，若对，且，使得，则实数的取值范围是（ ）ABCD9如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（ ）ABCD10若P是的充分不必要条件，则p是q的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件11某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下

3、列说法中错误的是（ ）A月收入的极差为60B7月份的利润最大C这12个月利润的中位数与众数均为30D这一年的总利润超过400万元12复数满足，则复数等于（）ABC2D-2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13设为数列的前项和，若，则_14设满足约束条件，则的取值范围是_.15一个袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从中任意摸取3个小球，每个小球被取出的可能性相等，则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是_16正四棱柱中，.若是侧面内的动点，且，则与平面所成角的正切值的最大值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数f(x

4、)=ex-x2 -kx（其中e为自然对数的底，k为常数）有一个极大值点和一个极小值点（1）求实数k的取值范围；（2）证明：f(x)的极大值不小于118（12分）如图，正方形是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从处骑行到处（不考虑处的红绿灯），出发时的两条路线（）等可能选择，且总是走最近路线.（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过

5、处，且全程不等红绿灯的概率；（3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？19（12分）已知直线是曲线的切线.（1）求函数的解析式，（2）若，证明:对于任意，有且仅有一个零点.20（12分）设前项积为的数列，（为常数），且是等差数列.（）求的值及数列的通项公式；（）设是数列的前项和，且，求的最小值.21（12分）已知数列的各项均为正数，为其前n项和，对于任意的满足关系式.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的通项公式是，前n项和为，求证：对于任意的正数n，总有.22（10分）已知函数，.(1)求的值；(2)令在上最小值为，证明：.参考答

6、案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】由题意得,求解即可.【详解】因为,所以.故选:B.【点睛】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题.2C【解析】推导出，由此能求出的值【详解】定义在上的函数满足，故选C【点睛】本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题.3B【解析】根据集合中的元素，可得集合，然后根据交集的概念，可得，最后根据子集的概念，利用计算，可得结果.【详解】由题可知：，当时，当时，当时，当时，所以集合则所以的子集共有故选：B【点睛】本题考查集合的运算以及集合

7、子集个数的计算，当集合中有元素时，集合子集的个数为，真子集个数为，非空子集为，非空真子集为，属基础题.4A【解析】设点的坐标为，代入椭圆方程可得，然后分别求出点到两条渐近线的距离，由距离之积为，并结合，可得到的齐次方程，进而可求出离心率的值.【详解】设点的坐标为，有，得.双曲线的两条渐近线方程为和，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，所以，则，即，故，即，所以.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率，构造的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.5D【解析】利用等差数列通项公式推导出，由d1，2，能求出实数取最大值【详解】数列an是等差数列，a11，公差d1，2，且a4+a10+a1615，

8、1+3d+（1+9d）+1+15d15，解得，d1，2，2是减函数，d1时，实数取最大值为故选D【点睛】本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6C【解析】由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求的值.【详解】解：由题意可得，求得，或，故选：C.【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题7A【解析】易得，过B作x轴的垂线，垂足为T，在中，利用即可得到的方程.【详解】由已知，得，过B作x轴的垂线，垂足为T，故，又所以，即，所以双曲线的离心率.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到的方程

9、或不等式，本题属于容易题.8D【解析】先求出的值域，再利用导数讨论函数在区间上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可.【详解】因为，故，当时，故在区间上单调递减；当时，故在区间上单调递增；当时，令，解得，故在区间单调递减，在区间上单调递增.又，且当趋近于零时，趋近于正无穷；对函数，当时，；根据题意，对，且，使得成立，只需，即可得，解得.故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题.9C【解析】画出图形，以为基底将向量进行分解后可得结果【详解】画出图形，如下图选取为基底，则，故选C【点睛】应用平面向

10、量基本定理应注意的问题（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算10B【解析】试题分析：通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可由p是的充分不必要条件知“若p则”为真，“若则p”为假，根据互为逆否命题的等价性知，“若q则”为真，“若则q”为假，故选B考点：逻辑命题11D【解析】直接根据折线图依次判断每个选项得到答案.【详解】由图可知月收入的极差为，故选项A正确；1至12月份的利润分别为20，30，20，10，

11、30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利润最高，故选项B正确；易求得总利润为380万元，众数为30，中位数为30，故选项C正确，选项D错误.故选：.【点睛】本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力.12B【解析】通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可.【详解】复数满足，故选B.【点睛】本题主要考查复数的基本运算，复数模长的概念，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】当时，由，解得，当时，两式相减可得，即，可得数列是等比数列再求通项公式.【详解】当时，即，当时，两式相减可得，即，即，故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以

12、.故答案为：【点睛】本题考查数列的前项和与通项公式的关系，还考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题.14【解析】作出可行域，将目标函数整理为可视为可行解与的斜率，则由图可知或，分别计算出与，再由不等式的简单性质即可求得答案.【详解】作出满足约束条件的可行域，显然当时，z=0；当时将目标函数整理为可视为可行解与的斜率，则由图可知或显然，联立，所以则或，故或综上所述，故答案为：【点睛】本题考查分式型目标函数的线性规划问题，属于简单题.15【解析】由题，得满足题目要求的情况有，有一个数字4，另外两个数字从1，2，3里面选和有两个数字4，另外一个数字从1，2，3里面选，由此即可得到本题答案.【

13、详解】满足题目要求的情况可以分成2大类：有一个数字4，另外两个数字从1，2，3里面选，一共有种情况；有两个数字4，另外一个数字从1，2，3里面选，一共有种情况，又从中任意摸取3个小球，有种情况，所以取出的3个小球中数字最大的为4的概率.故答案为：【点睛】本题主要考查古典概型与组合的综合问题，考查学生分析问题和解决问题的能力.162.【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，由得，证明为与平面所成角，令，用三角函数表示出，求解三角函数的最大值得到结果.【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，则，又，得即；又平面，为与平面所成角，令，当时，最大，即与平面所成角的正切值的最大值为2.故

14、答案为：2【点睛】本题主要考查了立体几何中的动点问题，考查了直线与平面所成角的计算.对于这类题，一般是建立空间直角坐标，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的最值问题求解，考查了学生的运算求解能力和直观想象能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）；（2）见解析【解析】（1）求出，记，问题转化为方程有两个不同解，求导，研究极值即可得结果 ；（2）由（1）知，在区间上存在极大值点，且，则可求出极大值，记，求导，求单调性，求出极值即可.【详解】（1），由， 记，由，且时，单调递减，时，单调递增， 由题意，方程有两个不同解，所以；（2）解法一：由（1）知，在

15、区间上存在极大值点，且，所以的极大值为， 记，则，因为，所以，所以时，单调递减，时，单调递增， 所以，即函数的极大值不小于1. 解法二：由（1）知，在区间上存在极大值点，且，所以的极大值为， 因为，所以.即函数的极大值不小于1.【点睛】本题考查导数研究函数的单调性，极值，考查学生综合分析能力与转化能力，是一道中档题.18（1）6种；（2）；（3）.【解析】（1）从4条街中选择2条横街即可；（2）小明途中恰好经过处，共有4条路线，即，分别对4条路线进行分析计算概率；（3）分别对小明上学的6条路线进行分析求均值，均值越大的应避免.【详解】（1）路途中可以看成必须走过2条横街和2条竖街，即从4条街中

16、选择2条横街即可,所以路线总数为条. （2）小明途中恰好经过处，共有4条路线：当走时，全程不等红绿灯的概率；当走时，全程不等红绿灯的概率；当走时，全程不等红绿灯的概率；当走时，全程不等红绿灯的概率.所以途中恰好经过处,且全程不等信号灯的概率.（3）设以下第条的路线等信号灯的次数为变量，则第一条：，则；第二条：，则；另外四条路线：；，则综上，小明上学的最佳路线为；应尽量避开.【点睛】本题考查概率在实际生活中的综合应用问题，考查学生逻辑推理与运算能力，是一道有一定难度的题.19（1）（2）证明见解析【解析】（1）对函数求导，并设切点，利用点既在曲线上、又在切线上，列出方程组，解得，即可得答案；（2

17、）当x充分小时，当x充分大时，可得至少有一个零点. 再证明零点的唯一性，即对函数求导得，对分和两种情况讨论，即可得答案.【详解】（1）根据题意，设直线与曲线相切于点.根据题意，可得，解之得，所以.（2）由（1）可知，则当x充分小时，当x充分大时，至少有一个零点. ，若，则，在上单调递增，有唯一零点.若令，得有两个极值点，.在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.极大值为.，又，在(0，16)上单调递增，有唯一零点.综上可知，对于任意，有且仅有一个零点.【点睛】本题考查导数的几何意义的运用、利用导数证明函数的零点个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解

18、能力，求解时注意零点存在定理的运用.20（），；（）【解析】（）当时，由，得到，两边同除以，得到.再根据是等差数列.求解.（），根据前n项和的定义得到，令，研究其增减性即可.【详解】（）当时，所以，即，所以.因为是等差数列.，所以， ，令，所以，即；（），所以，令，所以 ，即，所以数列是递增数列，所以，即.【点睛】本题主要考查等差数列的定义，前n项和以及数列的增减性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.21（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据公式得到，计算得到答案.（2），根据裂项求和法计算得到，得到证明.【详解】（1）由已知得时，故.故数列为等比数列，且公比.又当时，.（2）.【点睛】本题考查了数列通项公式和证明数列不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.22 (1)；(2)见解析【解析】(1)将转化为对任意恒成立，令，故只需，即可求出的值； (2)由(1)知，可得，令，可证，使得，从而可确定在上单调递减，在上单调递增，进而可得，即，即可证出【详解】函