圆的专题知识讲解 初升高数学人教A版

1、专题10圆专题专题综述课程要求平面几何中直线与圆的位置关系包含的知识点较多，方法灵活，抓住核心概念和基本方法即可，对定理的本质要理解，看到相关已知能够联想到需要的定理，常常先分析所求问题的路径，找准方向，综合运用条件加以突破.直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交.相切和相交是代数与几何研究的重点.常用的结论包括：1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.3.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等4.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项5.割

2、线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等课程要求课程要求初中课程要求1、圆的基本性质2、垂径定理3、点与圆的位置关系4、点、直线与圆的位置关系5、正多边形与圆、弧长、扇形面积高中课程要求1、握圆的标准方程与一般方程2、能判断直线与圆、圆与圆的位置关系3、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题知识精讲知识精讲高中必备知识点1：直线与圆的位置关系设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？观察图3.3-1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如圆与直线；当圆心到直线的距

3、离时，直线和圆相交，如圆与直线.在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图3.3-2，连结圆心和弦的中点的线段垂直于这条弦.且在中，为圆的半径，为圆心到直线的距离，为弦长的一半，根据勾股定理，有.当直线与圆相切时，如图3.3-3，为圆的切线，可得，且在中，.如图3.3-4，为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得，因而.高中必备知识点2：点的轨迹在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于；同时

4、，到定点的距离等于的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长的点的轨迹.我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.从上面对圆的讨论，可以得出：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：和已

5、知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.典例剖析典例剖析高中必备知识点1：直线与圆的位置关系【典型例题】在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（3，1），C（3，1），D（22）（1）画出ABC的外接圆P，并指出点D与P相的位置关系；（2）E点是y轴上的一点，若直线DE与P相切，求点E的坐标【答案】（1）见解析，点D在P上；（2）E（0，3）【解析】（1）如图所示：ABC外接圆的圆心为（1，0），点D在P上；（2）连接PD，直线DE与P相切，PDPE，利用网

6、格过点D做直线的DFPD，则F（6，0），设过点D，E的直线解析式为：ykx+b，D（2，2），F（6，0），-2k+b=-2-6k+b=0解得：k=-1直线DE解析式为：y12x0时，y3，E（0，3）【变式训练】在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点为“等距点”，如图中的P、Q两点即为“等距点”（1）已知点A的坐标为（3，1）在点E（0，3）、F（3，3）、G（2，5）中，点A的“等距点”是 ；若点B在直线yx+6上，且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标为 ；（2）直线l：ykx3（k0）与

7、x轴交于点C，与y轴交于点D若T1（1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，且T1、T2为“等距点”，求k的值；当k1时，半径为r的O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M、N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围【答案】（1）E、F；（3，3）；（2）k的值为1或2；32r32【解析】（1）点A（3，1）到x、y轴的距离中最大值为3，与A点是“等距点”的点是E、F点B在直线yx+6上，当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有（3，9）、（3，3）、（9，3），这些点中与A符合“等距点”的是（3，3）故答案为E、F；（3，3）；（2）T1（1，t1）、T2（4，t2）是直线

8、l上的两点，t1k3，t4k3k0，|k3|k+33，4k33依据“等距点”定义可得：当34k34时，k+34，解得k1；当4k34时，k+34k3，解得k2综上所述，k的值为1或2k1，yx3与坐标轴交点C（0，3）、D（3，0），线段CD32N点在CD上，则N点到x、y轴的距离最大值中最小数为32若半径为r的O上存在一点M与N是“等距点”，则r最小值为32r的最大值为CD长度32所以r的取值范围为32r32故答案为E、F；（3，3）【能力提升】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,3(1)请在图中作出经过点A、B、C三点的M，并写出圆心M的坐标；(2)若D(1,4)，试判断直线【答案】(

9、1)如图所示见解析，圆心M的坐标为(2,1)；(2) 直线【解析】(1)如图所示，M由图知，圆心M的坐标为(2,1(2)连接MB，DB，DM，DBDDBMDBM即BM直线BD与M相切高中必备知识点2：点的轨迹【典型例题】如图，点A(-4,3)，将ABC绕点O旋转180得到ABC.（1）请在图中画出ABC，并写出点A的坐标；（2）求旋转过程中A点的轨迹长.【答案】（1）图形见解析, A(4,-3)；(2)5.【解析】解：（1）如图所示，ABC即为所求出；A(4,-3)；（2）连接OA，OA=3旋转过程中A点的轨迹长=1805【变式训练】阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点P、Q的坐标分别是P（x

10、1，y1）、Q（x2，y2），则P、Q这两点间的距离为|PQ|=x1-x22对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+12（1）到点A的距离等于线段AB长度的点的轨迹是 ；（2）若动点C（x，y）满足到直线l的距离等于线段CA的长度，求动点C轨迹的函数表达式；问题拓展：（3）若（2）中的动点C的轨迹与直线y=kx+12交于E、F两点，分别过E、F作直线l的垂线，垂足分别是M、N，求证：EF是AMN外接圆的切线；1【答案】（1）x2

11、+（y12）2=1；（2）动点C轨迹的函数表达式y=12x2；（3）证明见解析；【解析】（1）设到点A的距离等于线段AB长度的点D坐标为（x，y），AD2=x2+（y12）2直线y=kx+12A（0，12点A关于x轴的对称点为点B，B（0，12AB=1，点D到点A的距离等于线段AB长度，x2+（y12）2故答案为：x2+（y12）2（2）过点B作直线l平行于x轴，直线l的解析式为y=12C（x，y），A（0，12AC2=x2+（y12）2，点C到直线l的距离为：（y+1动点C（x，y）满足到直线l的距离等于线段CA的长度，x2+（y12）2=（y+12）动点C轨迹的函数表达式y=12x2（3）

12、如图，设点E（m，a）点F（n，b），动点C的轨迹与直线y=kx+12y=1x22kx1=0，m+n=2k，mn=1，过E、F作直线l的垂线，垂足分别是M、N，M（m，12），N（n，1A（0，12AM2+AN2=m2+1+n2+1=m2+n2+2=（m+n）22mn+2=4k2+4，MN2=（mn）2=（m+n）24mn=4k2+4，AM2+AN2=MN2，AMN是直角三角形，MN为斜边，取MN的中点Q，点Q是AMN的外接圆的圆心，Q（k，12A（0，12直线AQ的解析式为y=1kx+1直线EF的解析式为y=kx+12AQEF，EF是AMN外接圆的切线；点E（m，a）点F（n，b）在直线y=

13、kx+12a=mk+12，b=nk+1ME，NF，EF是AMN的外接圆的切线，AE=ME=a+12=mk+1，AF=NF=b+11AE即：1AE【能力提升】在数学上，我们把符合一定条件的动点所形成的图形叫做满足该条件的点的轨迹例如：动点P的坐标满足（m，m1），所有符合该条件的点组成的图象在平面直角坐标系xOy中就是一次函数y=x1的图象即点P的轨迹就是直线y=x1（1）若m、n满足等式mnm=6，则（m，n1）在平面直角坐标系xOy中的轨迹是 ；（2）若点P（x，y）到点A（0，1）的距离与到直线y=1的距离相等，求点P的轨迹；（3）若抛物线y=14【答案】（1）y=6x；（2）y=14【解

14、析】（1）设m=x，n1=y，mnm=6，m（n1）=6，xy=6，y=6（m，n1）在平面直角坐标系xOy中的轨迹是y=故答案为：y=6（2）点P（x，y）到点A（0，1），点P（x，y）到点A（0，1）的距离的平方为x2+（y1）2，点P（x，y）到直线y=1的距离的平方为（y+1）2，点P（x，y）到点A（0，1）的距离与到直线y=1的距离相等，x2+（y1）2=（y+1）2，y=1（3）设直线MN的解析式为y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为Q的纵坐标为y114x24kx4b=0，x1+x2=4k，x1x2=4b，yMN=16k2y点Q到x轴的最短距离为1

15、对点精练对点精练1如图，将O沿弦折叠，恰好经过圆心O，若O的半径为6，则的长为（ ）ABCD【答案】A连接OA、OB，作OCAB于C，由题意得，OC=OA，sinOAC=，OAC=30，OA=OB，OBA=OAC=30，AOB=120，故选A2如图，为的直径，直线与相切于点，直线交于点、交于点，连接、，则下列结论错误的是（ ）A若，则平分；B若平分，则；C若，则平分；D若，则【答案】D解：A、AHOD，ODHF，CAD=ADO，AO=OD，HAD=DAO=ADO，AD平分BAH，故正确，不合题意；B、AD平分BAH，HAD=DAO，AO=DO，DAO=ADO，ADO=HAD，AHOD，ODHF

16、，HAHF，故正确，不合题意；C、AHEF，ODEH，AHOD，由A得：AD平分BHA，故正确，不合题意；D、由无法证明AHEF，故错误，符合题意；故选D3如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点若的半径为5，则的长是（ ）ABCD【答案】A解：连接AC、OB、OD、CD，作于点F，作于点E，由垂径定理可知于点D，又CA、CD所对的圆周角为、，且，CAD为等腰三角形又四边形ODFE为矩形且OD=DF=四边形ODFE为正方形故CFB为等腰三角形，所对的圆心角为故选A4如图，已知，为上一点，以为半径的圆经过点，且与、交于点、，设，则（）A若，则弧的度数为B若，则弧的度数为C若，则弧的度数

17、为D若，则弧的度数为【答案】B解：连接BD，设的度数是x，则DBC=x，AC过O，ABD=90，A=，ADB=90-，C=，ADB=C+DBC，90-=+x，解得：x=180-2(+)，即的度数是180-2（+），A当+=80时，的度数是180-160=20，故本选项不符合题意；B当+=80时，的度数是180-160=20，故本选项符合题意；C当-=80，即=80+或=-80，的度数是180-2(80+)=20-4或180-(+-80)=260-2，故本选项不符合题意；D当-=80时，的度数是20-4或260-2，故本选项不符合题意；故选：B5如图，为的直径，C为圆上一点，过点C的切线与直径的

18、延长线交于点D，若，则的度数为（ ）ABCD【答案】C解：如图，连接OC，CD为的切线，OCCD，COD=90-D=70，OA=OC，BAC=故选：C6如图，ABC是等腰直角三角形，ACBC2，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、F，与AB分别相交于点G、H，且EH的延长线与CB的延长线交于点D，则CD的长为（）A21B2C+1D【答案】C解：如右图所示，连接OE、OF，O与AC、BC切于点E、F，OECOFC90，OEOF，又ABC是等腰直角三角形，C90，四边形CEOF是正方形，OEBC，又以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、F，OEOF，O在ACB

19、的角平分线上，ACBC，O是AB中点，AECE，又AC2，AECE1，OEOFCE1，OH1，OECD，OEHBDH，又AB，OB，BD1，CD2+BD+1，故选：C7如图，已知O的半径为10，A、B是O上的两点，AOB90，C是射线OB上一个动点，连结AC并延长交O于点D，过点D作DEOD交OB的延长线于点E当A从30增大到60时，弦AD在圆内扫过的面积是（）ABCD【答案】B解：过点D作AO的垂线，交AO的延长线于F当时，根据题意可知：DOF60，AOD120DFODsin60105，当A60时，过点D作DFOA于F，连接OD，根据题意可知：DOF60，DF=ODsin60=5，故选：B8

20、如图，在矩形ABCD中，BC8，以AB为直径作O，将矩形ABCD绕点B旋转，使所得矩形ABCD的边CD与O相切，切点为E，边AB与O相交于点F若BF8，则CD长为（）A9B10C8D12【答案】B连接OE，延长EO交BF于点M，CD与O相切，OEC90，又矩形ABCD中，ABCD，EMB90，BMFM，矩形ABCD绕点B旋转所得矩形为ABCD，CC90，ABCD，BCBC8，四边形EMBC为矩形，ME8，设OBOEx，则OM8x，OM2+BM2OB2，（8x）2+42x2，解得x5，ABCD10故选：B9如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，半径为2的与轴的负半轴交于点，点是 上一动点，点为弦

21、的中点，直线与 轴、轴分别交于点，则面积的最小值为（ ）A5B6CD【答案】D解：连接，如图，点为弦的中点，点在以为直径的圆上，以为直径作，过点作直线于，交于，则上到直线上最短的距离是，此时，即的面积最小，当时，则 ，当时，解得，则，的半径为2，由等积法可知：，即的面积最小是，故选：10如图，内接于，其外角平分AD交于D，于M，则结论中正确的是（ ）ABCD【答案】B解：过点D作DFBE于F，A、B、C、D四点共圆，FAD=BCD，外角平分线AD交O于D，FAD=DAC，又DBC=DAC，BCD=CBD，DB=DC，故此选项正确；AD外角平分线，DFBE，DMAC于M，DF=DM，在BFDCM

22、D中，RtBFDRtCMD，BF=CM，又AF=AM，AC+AB=AM+MC+BF-FA=AM+MC+MC-AM=2CM，故此选项正确；AC-AB=CM+AM-AB=CM+AM-CM+AF=CM+AM-CM+AM=2AM，故此选项正确；SABD和SABC的大小无法判断，错误，故选：B11如图，在扇形中，以点为圆心，长为半径画弧交于弧点，得扇形，若，则图中阴影部分的面积为_【答案】连接AC，过A作AEBC于EABC是等边三角形，=阴影部分的面积为：=故答案为：12如图，ABC内接于O， E是边BC的中点，连接OE并延长交O于点D，连接CD，若BCD26，则A_【答案】52解：连结OB、OC，BC

23、D26，BOD=2BCD=226=52，OB=OC，E是边BC的中点，OEBC，BOE=COE=52，BOC=DOB+COD=52+52=104，A=故答案为：5213如图，在边长为4的正方形中，以点为圆心，的长为半径画弧，再以为直径画半圆，若阴影部分的面积分别为，则_【答案】由图形可知，扇形ABD的面积+半圆BC的面积+阴影部分的面积-正方形ABCD的面积=阴影部分的面积，S2-S1=扇形ABD的面积+半圆BC的面积-正方形ABCD的面积=+22-42=-16，故答案为：-1614如图，是的直径，弦，则图中阴影部分的面积为_【答案】解：设线段相交于点，是的直径，弦，与中，故答案为：15如图，

24、在扇形中，已知，过的中点作，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为_【答案】解：连接，为的中点，即，故答案为：16已知，如图，AB是O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，AOD2ABC，PD，过E作弦GFBC交圆于G、F两点，连接CF、BG则下列结论：CDAB；PC是O的切线；ODGF；弦CF的弦心距等于BG其中正确的是_（只需填序号）【答案】连接BD、OC、AG，过O作OQCF于Q，OZBG于Z，ODOB，ABDODB，AODOBD+ODB2OBD，AOD2ABC，ABCABD，弧AC弧AD，AB是直径，CDAB，即正确；CDAB，P+PCD90，ODOC，O

25、CDODCP，PCD+OCD90，PCO90，PC是切线，即正确；假设ODGF，则AODFEB2ABC， ，即3ABC90，ABC30，已知没有给出ABC30，即错误；AB是直径，ACB90，EFBC，ACEF，弧CF弧AG，AGCF，OQCF，OZBG，CQAG，OZAG，BZBG，OZCQ，OCOB，OQCOZB90，OCQBOZ（HL），OQBZBG，即正确故答案为：17如图，锐角内接于，于点H，直径，交于点D，连结，已知圆的半径为13，则_，四边形的面积为_【答案】7 255 解：作，垂足为，作，垂足为，连接OB，直径，四边形AHGE为平行四边形，四边形OGHF为矩形，故答案为：7；2

26、5518如图，的弦、相交于点，为弧的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接，若，的半径为，则_【答案】解：连接OC、OA、OD，OC与AF交于点H，如图，C为弧AB的中点，OCAB，AH=BH，ACDF，ACD=CDF，OD是切线，ODDF，ODF=90，ODC+CDF=90，OC=OD，OCD=ODC，OCE+CEA=OCE+FED=90，CDF=DEF=ACD=AEC，AC=AE，设AE=5，则BE=3，AC=5，AB=8，AH=4，HE=，在RtACH中，由勾股定理得CH=3，OH=OC-CH=-3，在RtHCE中，由勾股定理得CE2=HC2+HE2=92+2=102，CE=，在RtHO

27、A中，由勾股定理得，OA2=AH2+OH2，即（）2=（4）2+（-3）2，解得=1，CE=，故答案为：19如图，在半径为3的O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E若E是BD的中点，则AC的长是_【答案】8解：连接OD，交AC于F，D是的中点，ODAC，AFCF，DFE90，OAOB，AFCF，OFBC，AB是直径，ACB90，在EFD和ECB中，EFDECB（AAS），DFBC，OFDF，OD3，OF，BC2，在RtABC中，AC2AB2BC2，AC8，故答案为820如图，已知的半径为2，弦，点为优弧上动点，点为的内心，当点从点向点运动时，点移动的路径长为_【答案】连接，

28、过作，sinAOD=，连接，点为的内心，点为优弧上动点，始终等于，点在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上运动，设，三点所在的圆的圆心为，连接，则，连接，点移动的路径长故答案为：21如图，四边形内接于，是直径，过点作交的延长线于点（1）求证：是的切线；（2）若，求的值【答案】（1）见详解；（2）+1解：（1）连接OB，AC是直径，ABC=90，即是等腰直角三角形，AO=CO，BOAC，又，BOBF，是的切线；（2）连接OD，OA=OC=OB=，ADC=90，DOC=AOD=60，OD=OC，是等边三角形，过点C作CMBF于点M，则四边形BMCO是正方形，BM=CM=OB=，ACBF，F=AC

29、D=60，在中，MF=CMtan60=1，BF=BM+MF=+122我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆例如线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆锐角三角形的最小覆盖圆是该三角形的外接圆（1）分别在图1，图2中作出的最小覆盖圆（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）根据（1）中的作图，钝角三角形的最小覆盖圆是_；（3）某地要修建一个基站，服务四个村庄E、F、G、H（其位置如图3所示），为使信号可以覆盖四个村庄，且基站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此基站应建在何处？请说明理由【答案】（1）作图见解析；（2）以最长边为直径的圆；（3）建在的外心（外接圆的

30、圆心），见解析（1）作图如下图所示；（2）以最长边为直径的圆；理由：线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆，由于A为钝角，因此A在圆内，该圆为能完全覆盖该钝角三角形的最小圆（3）的外心（外接圆的圆心）理由：如图，的外接圆刚好覆盖E，F，H三点，与直线交于点D，连接DH和F，且，HGF=50+60=110，点G在点E，D之间即点G被外接圆覆盖，此时该圆为能完全覆盖该四边形的最小圆因此，此基站应建在的外心处23已知，如图，AB是O的直径，点C为O上一点，OFBC于点F，交O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且ODBAEC（1）求证：BD是O的切线；（2）若O的半径为5，sinA，

31、求BH的长【答案】（1）证明见解析；（2）BH=（1）证明：ODBAEC，AECABC，ODBABC，OFBC，BFD90，ODB+DBF90，ABC+DBF90，即OBD90，BDOB，BD是O的切线；（2）解：连接BE，如图2所示：AB是O的直径，AEB90，O的半径为5，sinBAE，AB10，BEABsinBAE， ， sinCBE=sinA=，设BH=5x，EH=3x，在RtBEH 中，解得，x=，BH=24如图，是的半径，且，是半圆上一点，连接，作，过点作半圆的切线，交的延长线于点，切点为，连接（1）当时，求证：；（2）当 度时，为菱形【答案】（1）见解析；（2）60（1）证明：延长CB交AP于点F，连接OB、OE，ADAO，ADBC，CFAP，BEAP，CFAP，CBBE，即CBE=90，CE是O的切线，则OEP