兰州201620高三期中数学理试题及答案

1、兰州一中2016-2017-1学期高三年级期中考试数学试题（理科）第I卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合,则 （ ）A. B. C. D.2.已知复数，若是实数，则实数的值为 （ ）A B CD3.以下判断正确的是 ( ).函数为上可导函数，则是为函数极值点的充要条件.命题“”的否定是“”C.“”是“函数是偶函数”的充要条件D. 命题“在中，若，则”的逆命题为假命题4.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为 ( )A120 cm3 B100

2、 cm3 C80 cm3 D60 cm35.由曲线，直线及坐标轴所围成图形的面积为 ( ) A. B. C. D. 6.设等差数列的前项和为，若,，则 （ ）A. B. C. D. 学典籍九章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今 有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果 ( ) B. C. D. 8.设，则 ( ) B. C. D. 9.已知函数，则的图象大致为 ( ) OyxOOyxOyxOyxOyxA B C D10.函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则的值为 ( ) A. B. C. D. 11.椭

3、圆: 的左、右焦点分别为,焦距为. 若直线y= QUOTE * MERGEFORMAT 与椭圆的一个交点M满足，则该椭圆的离心率等于 （ ）A. B. C. D. R上的函数满足：且，则方程在区间上的所有实根之和为 （ ）A. B . C. D. 第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量 .14.已知，则 .15.已知满足约束条件 QUOTE 若的最小值为,则 .中，内角的对边分别为,已知,，则面积的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（本小题满分12分）已知函数.（）求的最小正周期及

4、对称中心；（）若，求的最大值和最小值.18（本小题满分12分） 如图，在直三棱柱中，是棱上 的一点，是的延长线与的延长线的交点，且平面BACDPBACDP （）求二面角的平面角的正弦值19（本小题满分12分） 随着苹果7手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示.付款方式分1期分2期分3期分4期分5期 频数352510已知分3期付款的频率为，并且销售一部苹果7手机，顾客分1期付款，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其

5、利润为2000元，以频率作为概率.()求，的值，并求事件：“购买苹果7手机的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；（）用表示销售一部苹果7手机的利润，求的分布列及数学期望.20（本小题满分12分）已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交于点（）证明：抛物线在点的切线与平行；（）是否存在实数，使以为直径的圆经过点？若存在，求的值；若不存在，说明理由.21(本小题满分12分) 已知函数（）当时，求的单调区间；（）若函数在其定义域内有两个不同的极值点.（）求的取值范围；（）设两个极值点分别为，证明:请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用2

6、B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），曲线 的极坐标方程为（）求曲线的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（）设为曲线上一点，为曲线上一点，求的最小值23.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲 已知函数，且的解集为 （）求的值； （）若，且，求证：兰州一中2016-2017-1学期期中考试高三数学试题参考答案（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。）题号123456789101112答案ADCBCCACABDB二、填空题（本大

7、题共4小题，每小题5分，共20分）13 14 15 16 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）已知函数.（）求的最小正周期及对称中心；（）若，求的最大值和最小值.解：（） 4分 的最小正周期为， 5分 令，则，的对称中心为 6分（） .8分 .10分当时，的最小值为；当时，的最大值为 12分18（本小题满分12分） 如图，在直三棱柱中，是棱上BACBACDP （）求证：； （）求二面角的平面角的正弦值yxBACDPz解：（）yxBACDPz 2分又为的中点，为中点为中点 4分 5分 （）在直三棱柱中， 6分以为坐标原点，以, 所

8、在直线建立空间直角坐标系如图所示。由（）知为中点点坐标分别为， 设平面的法向量且 取 8分同理：平面的法向量 10分 设二面角平面角为则， 12分 19（本小题满分12分） 随着苹果7手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示.付款方式分1期分2期分3期分4期分5期 频数352510已知分3期付款的频率为0.15，并且销售一部苹果7手机，顾客分1期付款，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元，以频率作为

9、概率.()求，的值，并求事件：“购买苹果7手机的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；（）用表示销售一部苹果7手机的利润，求的分布列及数学期望.解：()由，得因为所以 3分 6分（）设分期付款的分期数为，则 8分的所有可能取值为1000，1500，2000. 10分所以的分布列为100015002000P 12分20（本小题满分12分）已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交于点（）证明：抛物线在点的切线与平行；（）是否存在实数，使以为直径的圆经过点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.解：（）解法一：设，把代入得，得 ，点的坐标为2分，即抛物线在点处的切线的斜率为

10、4分直线:的的斜率为， 6分解法二：设，把代入得，得，点的坐标为2分设抛物线在点处的切线的方程为，将代入上式得，4分直线与抛物线相切， ， 即6分（）假设存在实数，存在实数使为直径的圆经过点 是的中点，由（）知 轴， 8分 10分，故，存在实数使为直径的圆经过点 12分21(本小题满分12分) 已知函数（）当时，求的单调区间；（）若函数在其定义域内有两个不同的极值点.（）求的取值范围；（）设两个极值点分别为，证明:解：（）当时，；函数 SKIPIF 1 0 的定义域为 SKIPIF 1 0 ，当时，；当时，.所以，在上单调递减；在上单调递增. 4分() （）依题意，函数 SKIPIF 1 0

11、的定义域为 SKIPIF 1 0 ，xyo1y=lnxy=axA所以方程 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 有两个不同根.xyo1y=lnxy=axA即，方程 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 有两个不同根. （解法一）转化为，函数 SKIPIF 1 0 与函数 SKIPIF 1 0 的图像在 SKIPIF 1 0 上有两个不同交点，如图. 可见，若令过原点且切于函数 SKIPIF 1 0 图像的直线斜率为 SKIPIF 1 0 ，只须 SKIPIF 1 0 . 6分令切点 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，所以 SK

12、IPIF 1 0 ，解得， SKIPIF 1 0 ，于是 SKIPIF 1 0 ， 所以 SKIPIF 1 0 . 8分（解法二）令 SKIPIF 1 0 ，从而转化为函数 SKIPIF 1 0 有两个不同零点，而 SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 ） 若 SKIPIF 1 0 ，可见 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上恒成立，所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 单调增，此时 SKIPIF 1 0 不可能有两个不同零点. 5分若 SKIPIF 1 0 ，在 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，在 SKIPIF 1 0 时， SKI

13、PIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调增，在 SKIPIF 1 0 上单调减，从而 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 6分又因为在 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，在在 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，于是只须： SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 . 7分综上所述， SKIPIF 1 0 8分（）由（i）可知 SKIPIF 1 0 分别是方程 SKIPIF 1 0 的两个根， 即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，不妨设，作差得， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 . 原不等式等价于 令，则， 10分设，函数在上单调递增， ，即不等式成立， 故所证不等式成立 12分请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），曲线 的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（2）设为曲线上一