2022-2023学年湖南省衡阳市耒阳市蔡伦中学高三数学理联考试卷含解析

1、2022-2023学年湖南省衡阳市耒阳市蔡伦中学高三数学理联考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知不等式的解集为，则实数的取值范围（ ）（A） （B） （C） （D） 参考答案：B略2. 已知的最大值为A，若存在实数、，使得对任意实数x总有成立，则的最小值为（）A. B. C. D. 参考答案：C【分析】先化简，得，根据题意即求半个周期的A倍【详解】解：依题意,，的最小值为，故选：C【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图像与性质，考查三角函数恒等变换，属中档题3. 中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一

2、个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示为 1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则的运算结果可用算筹表示为（ ）A B C D参考答案：D4. 已知集合A=x|x22x=0，B=0，1，2，则AB=（）A 0B0，1C0，2D0，1，2参考答案：C略5. 关于直线与平面，有以下四个命题：若且，则；若且，则； 若且，则；若且，则.其中真命题有 A1个 B2个 C3个 D4个参考答案：B略6. 已知实数，则“”是“”的（ ） A充分不必要条件 B必要

3、不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件参考答案：D试题分析：当时，故若，则不成立；若，则不成立；故“”是“”的既不充分也不必要条件，故选项为D.考点：充分，必要条件的判定.7. 函数周期为，其图像的一条对称轴是，则此函数的解析式可以是（ ）A B C D参考答案：A略8. 已知全集，集合，则A B C. D参考答案：D考查补集与交集的运算。因为，所以，。9. 若，则=（ ）A. B. C. D. 参考答案：A10. 已知函数，R，则，的大小关系为（ ）ABC D 参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数f（x）=sinxcosx的最小正周期是参考答案：

4、考点： 二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法专题： 计算题；三角函数的图像与性质分析： 根据二倍角的正弦公式，化简可得f（x）=sin2x，再由三角函数的周期公式即可算出函数f（x）的最小正周期解答： 解：sin2x=2sinxcosxf（x）=sinxcosx=sin2x，因此，函数f（x）的最小正周期T=故答案为：点评： 本题给出三角函数式，求函数的周期，着重考查了二倍角的三角函数公式、三角函数的图象与性质和三角函数周期的求法等知识，属于基础题12. 已知，若，则等于 参考答案：5【考点】93：向量的模【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0；利用向量的数量积公式列出方程求出m，再根据

5、向量模的定义即可求出【解答】解： =（2，1），=（3，m），=（1，1m），（），?（）=2+1m=0，解得，m=1，+=（5，0），|+|=5，故答案为：5【点评】本题考查向量垂直的充要条件、向量的数量积公式，向量的模，属于基础题13. 已知函数在x=0处连续，则a= ；参考答案：-114. 是点集到点集一个映射，且对任意，有。现对集中的点，均有=点为（），则= 。参考答案：由题意知,根据两点间的距离公式可得，从而，所以。15. 如图，求一个棱长为的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到，类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体ABCD，其三对棱长分别为，则此四面体的体

6、积为_；参考答案：216. 在极坐标系中，为曲线上的点，为曲线上的点，则线段长度的最小值是 参考答案：217. 已知= .参考答案：2略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数为常数,)是上的奇函数.()求的值;()讨论关于的方程的根的个.参考答案：解:()由是的奇函数,则,从而可求得.4分()由,令,则,当时, 在上为增函数;当时, 在上位减函数;当时, ,.8分而,结合函数图象可知:当,即时,方程无解;当,即时,方程有一个根;当,即时,方程有两个根. .12分19. （2017?南宁一模）某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学

7、后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下22列联表：非优良优良总计未设立自习室251540设立自习室103040总计354580（1）能否在在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；（2）从该班第一次月考的数学优良成绩中和第二次月考的数学非优良成绩中，按分层抽样随机抽取5个成绩，再从这5个成绩中随机抽取2个，求这2个成绩来自同一次月考的概率下面的临界值表供参考：P（K2k0）0.150.100.050

8、.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）参考答案：【考点】独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（1）由22列联表，计算K2，对照临界值表得出结论；（2）根据分层抽样比例求出所抽取的5个成绩，利用列举法计算基本事件数、计算对应的概率值【解答】解：（1）由22列联表，计算K2的观测值为k=7.879，对照临界值表，得出能在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为设立自习室对提高学生成绩有效；（2）根据分层抽样原理，从第一次月考数学优良成绩中抽取5=3个，

9、记为A、B、C；从第二次月考数学优良成绩中抽取5=2个，记为d、e；则从这5个成绩中抽取2个，基本事件是AB、AC、Ad、Ae、BC、Bd、Be、Cd、Ce、de共10个，其中抽取的2个成绩均来自同一次月考的基本事件有AB、AC、BC、de共4个，故所求的概率为P=【点评】本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题，是基础题20. 如图，已知多面体ABCDE中，AB平面ACD，DE平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CD的中点（）求证：AF平面CDE； （）求面ACD和面BCE所成锐二面角的大小参考答案：解：（）DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF又AC=AD，F为CD中点，AFCD，因CDDE=D，AF平面CDE. 4分（）取CE的中点Q，连接FQ，因为F为CD的中点，则FQDE，故DE平面ACD，FQ平面ACD，又由（）可知FD，FQ，FA两两垂直，以O为坐标原点，建立如图坐标系，则F（0，0，0），C（，0，0），A（0，0，），B（0，1，），E（1，2，0） 6分设面BCE的法向量，则即取又平面ACD的一个法向量为， 面ACD和面BCE所成锐二面角的大小为45-13分略21. 已知函数.（1）证明：当时，函数在上是单调函数；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.参考答案：（1），