27 高斯过程与白噪声

1、2.7 高斯过程与白噪声2.7.1 高斯过程中心极限定理已证明：大量独立的、均匀微小的随机变量之和都近似地服 从正态分布。高斯过程定义：如果对于任意时刻t (i二1,2,n)，随机过程的任意n维随iii机变量X二X(t )(i二1,2,n)服从高斯分布，则X(t)就是高斯过程。高斯过程的n维概率密度函数为:f (X1,Xn ； t1,1，,t )=(2兀)n 2 C(x _m )T C j( x _m) e _12式中 m,x 为 n 维向量m =EX (t )1EX (t )2=m(t )1m(t )2x =x1x2EX (t )nm(t )nxnc为协方差矩阵:CC (t ,t )X 2

2、n(t1,tn)C (t ,t )X 1 1C (t ,t ) X 2 1CX (tn,t1)C (t ,t )X n n由此可见，正态随机过程的n维概率分布仅取决于其一、二阶矩函数。广义平稳正态过程定义:若正态随机过程X(t)的均值和方差都是与时间无关的常数，即EX(t) = m , DX(t) r 2 ；而自相关函数只取决于时间间隔t , XXR (t, t )二R (t ), t二t -1; i, k二1,2,n，则称此正态过程为广义平稳正态X i kX k _ik _ik i过程。高斯过程有许多特殊性质： 性质 1：宽平稳高斯过程一定是严平稳过程。性质2：若平稳高斯过程在任意两个不同时

3、刻t, t是不相关的，那么也一定是互ij相独立的。证明：由不相关性，可得平稳高斯过程的二维概率密度函数为1(xi -m)2 + (x j -m)22b 2f (x, x ; t, t ) = e-zi j i j2兀b 2(x, - m )2n 维分布为n2b 2f (x , x ,x ; t, t ,t ) =n1 2 n 1 2 n=f (x )f (x )f (x )1 2 n 这说明任何时刻都不相关的高斯过程一定是独立高斯过程。综上所述，高斯过程的宽平稳性和严平稳性是等价的；不相关性和独立性 也是等价的。性质3：平稳高斯过程与确定时间信号之和仍是高斯过程。性质4若正态随机过程X (t)

4、(t G T)在T上是均方可积的，则(t) = i tX (九)d九(a, t g T)(t) = F X (九)h (九,t) d 九(a, t g T)a也是正态过程。性质5：若正态随机过程X (t)(t g T)在T上是均方可微的，则其导数也是正态过 程。2.7.2 噪声信息在传输过程中，不可避免地要受到各种干扰，使信号产生误差。信息传输处理时，信道或设备不理想造成误差的来源匚信号传输处理过程中串入了其它信号广义地说，称这些使信号产生失真的误差源为噪声。来自外部的噪声也称 为干扰。在理论上，噪声是无法预测的。如果能够很好地掌握它的规律，就能降低 它对有用信号的影响。噪声的分类：从噪声与电

5、子系统的关系来看： 内部噪声：系统本身的元器件及电路产生的。 外部噪声：包括电子系统之外的所有噪声。根据噪声的分布： 高斯噪声：具有高斯分布的噪声。 均匀噪声：具有均匀分布的噪声。从功率谱的角度来看： 白噪声：如果一个随机过程的功率谱为常数，无论是什么分布，都称它为白 噪声。色噪声：功率谱中各种频率分量的大小不同。1 理想白噪声一个均值为零，功率谱密度在整个频率轴上为非零常数，即S ()二 N0n 2的平稳过程N(t),称为白噪声过程，简称为白噪声。利用傅立叶反变换可求得白噪声的自相关函数为：R (1 ) = d 5 (T )N2No 5 (t )2N o 5 (0)2白噪声的相关系数：C (

6、T ) R (T ) m 2r (t ) = n = nnN g 2 R (0) m2NNN二厂 1(T 二 0)i o (T H 0)若平稳过程N(t)在有限频带上的功率谱密度为常数，在频带之外为零，则称 N(t)为理想带限白噪声。2低通白噪声若白噪声的功率谱在阿WAe内不为零，而在其外为零，且分布均匀，其表达式为,e Ae，称这类白噪声为低通白噪声。, 其它则其自相关函数为：Rn)= P 喙可得低通白噪声的平均功率为：R (0)二PN3带通白噪声如果N(t)的功率谱密度集中在e为中心的频带内，则称N(t)是带通限带 0白噪声，或称为带通白噪声，其功率谱为P兀Ae0Ae|Ae,e - e e +o 21 o 2,其它它的自相关函数为：R (T)二 PN