424916比例线段及黄金分割 知识讲解

1、比例线段及黄金分割（基础） 知识讲解责编：康红梅【学习目标】1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段；2、会运用比例线段解决简单的实际问题；3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点.【要点梳理】要点一、比例线段【高清课堂： 394495 图形的相似 预备知识】1成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这 四条线段叫做成比例线段，简称比例线段2比例的性质：ac（1）基本性质：如果丁 =丐，那么ad二be.bde+dae（2）合比性质：如果=万，bd如果aebd那么罟=e-d要点诠释：（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长

2、度不同，先化成同一单位，再求 它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数 要点二、黄金分割AC BC定义：点C把线段AB分割成AC和CB两段，如果 =，那么线段AB被点C黄AB AC金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.要点诠释：AC 二AB 0.618AB(5-12叫做黄金分割值）.作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB,经过点B作BD丄AB，使BD= 2 AB.（2）连接AD,在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.要点诠释：一条线段

3、的黄金分割点有两个.典型例题】类型一、比例线段1.（2016兰州模拟）若 a： b=2： 3,A. 2a=3b B. 3a=2b C.-a 3【思路点拨】根据比例的性质，对选项一-答案】 B.【解析】A、2a=3bna： b=3： 2,故选项错误;故选项正确；B、C、D、3a=2bn a：a_b 、=a： b=3：b=2：3，a=2：3，故选项错误；则下列各式中正确的式子是D. b 3分析，选择正确答案.2，故选项错误故选B.【总结升华】考查了比例的性质.在比例里,两个外项的乘积等于两个内项的乘积.举一反三：【变式】（2015崇明县一模）已知=号，那么下列等式中，不一定正确的是（）.A2a=5

4、bB.a +b 7C. a+b=7D丁 =-设2【答案】C.二 ，求 2x2 3yz + z2 的值.4 x2 - 2xy - z2【思路点拨】由已知条件利用解方程的思想不能求出x, y, z的值，因此用设参数法代入化 简.【答案与解析】设-二丄二-=k TOC o 1-5 h z 234贝9 x = 2k, y = 3k, z = 4k HYPERLINK l bookmark38 o Current Document 2x(2k)2 -3x3kx4k+(4k)2-12k21(2k)2 - 2 x 2k x 3k - (4k)2原式一一一一 HYPERLINK l bookmark40 o

5、Current Document -24k22【总结升华】解此类题学生容易误认为设k后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母 能产生公因式约去.类型二、黄金分割如图所示，矩形ABCD是黄金矩形(即兰 二並二1 0.618),如果在其内作正方BC 2形CDEF，得到一个小矩形ABFE，试问矩形ABFE是否也是黄金矩形?DEA【思路点拨(1)矩形的宽与长之比值为壬！，则这种矩形叫做黄金矩形.2(2)要说明ABFE是不是黄金矩形只要证明AE 5 _ 1即可.AB 2【答案与解析】矩形ABFE是黄金矩形.AD - EDABAD EDAB ABAE理由如下：因为AE =AB=?- 护 +)-1 -5

6、+1 -1 _ J5 -1v 5 -1 G;5 - 1)G/5 +1) 厂 厂所以矩形 ABFE 也是黄金矩形.【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法. 举一反三：【变式】以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线 上取点F,使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上，如图所示，F EB1C求AM，DM的长，试说明AM2=ADDM根据(2)的结论，你能找出图中的黄金分割点吗? 【答案(1)T正方形ABCD的边长是2, P是AB中点，.AD=AB = 2, AP=1,ZBAD = 90,PD= Jap 2 + ad 2 = *5VPF=PD, AF=.j5 1，在正方形 ABCD 中，AM=AF=.：5 -1, MD=ADAM=3(2)由(1)得 ADXDM=2 (3)=6 2、.：5，AM 2 二(壬5 -1)2 二 6 - 2扁.AM2=AD DM.3 ）如图中的 M 点是线段 AD 的黄金分割点（2015慈溪市一模）如图，扇子的圆心角为x，余下扇形的圆心角为y, x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x为（ ）.A. 144 B. 135 C. 136 D. 108【答案】B.【解析】由扇子的圆心角为x,余