等差数列判断技巧

1、第 页共4页等差数列的判断方法徐福贵（吉林省东辽县职业高中）我们虽然知道什么是等差数列，但对于等差数列的判断还没有很 好的方法。本人根据多年教学实践总结出了一系列等差数列的判断方 法，对于等差数列又有了更深的认识。定理1已知数列an的通项an，若a -耳/的差是一个与n无关 的常数，则数列an为等差数列（证明略）推论1若数列耳的通项q为常数，则 On为等差数列，且公差 为0。（证明略）。推论2数列 a的通项q是关于项数n的一次函数，则数列 a 是等差数列，且公差为一次项的系数（证明略）定理2若an的通项a既不是常数，也不是关于项数n的一次函 数，则数列an不是等差数列（证明略）定理3已知数列%

2、的前n项和Sn为0，则数列an为等差数 列证明t数列 an的前n项和Sn为0,此数列为0,0, 0, , 0,数列耳为等差数列。定理4已知数列 an的前n项和Sn，若Sn是关于项数n的一次函 数，且常数项为0,则数列an是等差数列，且公差为0。证明：T Sn是关于项数n的一次函数，且常数项为0,设Sn = An （A为常数，且A =0）当 n 亠2 时，an = Sn Sn j =An A(n 1)=A,a On= (n -2)又 a1 = S_| =A, % = S2 S_j = 2AA 二 A ,2 - d = 4 - 4=0(n N .)数列q是等差数列，且公差为0。定理5已知数列an的

3、前n项和Sn，若Sn是关于项数n的二次函 数，且常数项为0，则数列耳是等差数列，且公差为二次项系数的 2倍。证明：T Sn是关于项数 n的二次函数，且常数项为0,设Sn 二 An2 Bn(A = 0)。当 n_2 时，耳=Sn Sn4=A n2+Bn A (n1 )2 B( n1)=2A n+B A ( n _2)a2, Op . , an，为等差数列，公差为2 A。又 a = 3 =A + B, a2 = S2 -S.)=4A + 2B AB=3A +BE-ai=2A。 数列a.是等差数列，且公差为二次项系数的 2倍。 定理6 若数列an的前n项和0,且Sn既不是关于项数n 的一次函数，也不

4、是关于项数n的二次函数，则数列 a.不是等差数 列(证明略)例1已知数列an满足下列条件，判断数列an是否为等差数 列？若是等差数列，请指出公差是多少？(1 )an = n+1(2) an = n2(3) S. =n Sn = n2+n(5) Sn 二 n3解：(1)是等差数列，公差为1。不是等差数列。是等差数列，公差为0。是等差数列，公差为2。不是等差数列。例2在等差数列耳、0中，、Tn分别为的等差数列耳、 g的前n项和，求a5Tn n 3b5解：一-、Tn分别为等差数列 an、 g 的前n项和，且 2.可以令 Sn -An(7n 2),Tn =An(n 3)Tn n 3nan的首项为9A,公差为di = 14A, bn的首项为4A,公差为d2 = 2A,二 2 = 4+44 =9A + 56A=65A= t + 4ct = 4A+8A= 12Aa_ 65 A 二 65b5 = 12 A 12第4 页共4 页由此可见，掌握了 等差数列的判断方法，就能根据已