数学建模复习资料

1、 关于2012数学建模的学习一、数据收集数据的间接来源：如果与研究内容有关的原信息已经存在，我们只是对这些原信息重新加工、整理，使之成为我们进行统计分析可以使用的数据，则把它们称为间接来源的数据。从搜集的范围看，这些数据可以取自系统外部，也可以取自系统内部。数据取自系统外部的主要渠道有；统计部门和各级政府部门公布的有关资料，如定期发布的统计公报，定期出版各类统计年鉴；各类经济信息中心、信息咨询机构、专业调查机构、各行业协会和联合会提供的市场信息和行业发展的数据情报；各类专业期刊、报纸、书籍所提供的文献资料；各种会议，如博览会、展销会、交易会及专业性、学术研讨会上交流的有关资料；从互联网或图书馆

2、查阅到的相关资料等等。取自系统内部的资料，如果就经济活动而言，则主要包括业务资料，如与业务经营活动有关的各种单据、记录；经营活动过程中的各种统计报表，各种财务、会计核算和分析资料等。数据的直接来源：（1）通过调查方法获得数据调查数据方法：随机抽样调查、分层抽样调查、系统抽样调查收集数据的方法：问卷、面访、电话、收集数据应考虑的几个问题：1、抽样框中的有关信息2、目标总体的先后3、调查问题的内容4、有形辅助物的使用5、实施调查的资源6、管理与控制7、质量要求（2）通过实验方法获利数据实验方法获得数据要注意控制变量法的应用，实验过程中会遇到一些问题如人的意愿、心理问题、道德问题，实验获得数据还要考

3、虑采用好的统计方法二、数据分析1、图表展示分析数据，根据图表可以直观地看出数据分布情况及走势。（统计图：表格、条形统计图、拆线统计图、扇形统计图、频数分析直方图、频率分布直方图）2、数学参数分析数据总数集中程度：平均数、中位数、众数（即出现次数最多的，在一定程度上可以代表一组数据，异众比率（v=1-众数）能够说明众数是否准确刻画整组数据，比率大则可以用众数代表整组数据）离散程度：异众比率、方差、标准差、极差分布形状：偏态SK（偏态是对数据分布对称性的测度：s3是样本标准差的三次如果一组数据的分布是对称的，则偏态系数等于0;如果偏态系数明显不等于0，表明分布是非对称的。若偏态系数大于1或小于-1

4、，被称为高度偏态分布；若偏态系数在0.51或-1-0.5之间，被认为是中等偏态分布；偏态系数越接近0，偏斜程度就越低）、峰态K（峰态是刻画平峰或尖峰程度的测度峰态通常是与标准正态分布相比较而方的。如果一组数据服从标准正态分布，则峰态系数的值等于0;若峰态系数的值明显不等于0,则表明分布比正态分布更平或更尖，通常称为平峰分布或尖峰分布K=+1忆(厂xL(厂x)C-Js表示标准差)(n-1)(n-2)(n-3)s4数学期望三、数据处理数据处理有是优化处理的内容好坏，即如何有效有利用、选择数据常见方法有分组取组中的平均数进而减少数据量分析数据所反应的信息。四、线性回归一元线性回归模型；y=B+Bx+

5、8在一元线性回归模型中，y是x的01线性函数(p+pX)加上误差项8，P+Px反映了由于X的变化而引起的y0101的线性变化；e是被称为误差项的随机变量，反映了除x和y之间的线性关系之外的随机因素对y的影响，是不能由x和y之间的线性关系所解释的变异性。式中p和p称为模型的参数01上述模型的前提是因变量与自变量有线性关系在重复抽样中，自变量的取值是固定的，即自变量不是随机的误差项8是一个期望值为0的随机变量，即e()=0对于所有的自变量，8的方差b2都相同误差项8是一个服从正太分布的随机变量，且独立，即8N(0,b2)描述因变量的期望值如何中依赖于自变量的方程称为回归方程E(y)=B+Px01样

6、本统计量0A0和0;代替回归方程中的未知参数卩和卩，得到估计的0101回归方程：=00+0 x(该方程用最小二乘法来实现，即用MATLAB程序来实现PL0YFIT(X,Y,2)利用回归方程进行预测预测是指通过自变量的取值来预测因变量的取值用Excel时行回归分析的操作步骤；1、选择工具下拉菜单，并选择数据分析选项2、在分析工具中选择回归然后单击确定3、当对话框出现时；在Y值输入区域方框内输入数据区域($A$2：$a$26)，在X值输入区域方框内输入数据区域($B$2：$B$26)，在置信度选项中给出所需的数值，在输出选项中选择输出区域($c$30)，在残差分析选项中选择所需的选项相关系数(Mu

7、ltipleR)反映两个变量之间线性关系强度的统计量(-g,0.3)G.3,0.5)(0.5,0.8)G.8,+8)不相关或相关程度极弱低度相差中度相关高度相关判定系数(RSquare)是对估计的回归方程拟合优度(回归直线与各观测点的接近程度)的度量，其取值范围【0，1】判定系数越接近于1则回归直线与各观测点越接近。反之，越接近于0则回归直线的拟合程度越差。调整的判定系数(AdjustedRSquare)标准误差观测值的个数显著性水平(SignificaneeF)五、时间序列分析和预测第一部份、时间序列及其分解时间序列是同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的序列。它可以分平稳序列和非平稳序

8、列两大类，平稳是基本上不存在趋势序列。非平稳序列是包含趋势、季节性或周期性的序列，它可能只含有其中的一部份，也可能是几种成分的组合。趋势是时间序列在长时期内呈现出来的某种持续上升或持续下降的变动，也称为长期趋势。时间序列中的趋势可以是线性也可以非线性的。季节性也称为季节变动，它是时间序列在一年内重复出现的周期性波动周期性也称循环波动，它是时间序列中呈现出来的围绕长期趋势的一种波浪形或振荡式变动。时间序列中除去趋势、周期性和季节性之后的偶然性变动，称为随机性，也称为不规则波动综合上述时间序列可分为；趋势(T)、季节性或季节变动(S)周期性或循环波动(C)、随机性或不规则波动(I)传统时间序列分析

9、的一一项主要内容就是把这些成分从时间序列中分离出来，并将它们之间的关系用数学关系予以表达，而后分别进行分析。按4种成分时间序列的影响方式不同，时间序列可分解为加法模型、乘法模型等。其中较为常用的是乘法模型，其表现形式Y二TxSxCxIttttt第二部份、时间序列的描述分析1、图形描述作图可以为选择预测模型提供基本依据2、增长率分析增长率是对现象在不同时间的变化状况所做的描述。由于对比的基期不同，增长率有不同的计算方法。增长率也称增长速度，它是时间序列中报告其观察值与基期观察值之比减1后的结果，用表示。由于对比基期不同，增长率可以分为环比增长率和定基增长率。环比增长率是报告期观察值与前一时期观察

10、值之比减1,说明现象逐期增长变化的程度；定基增长率是报告期观察值与某一固定时期观察值之比减1，说明现象在整个观察期内总的增长变化程度。设增长率为G，则环比增长率和定基增长率可表示为；一YY环比增长率；G=i=11i=1,2,niYYi1i1一YY定基增长率；G=io=41i=1,2,niYY00在上式中Y表示用于对比的固定基期的观察值0平均增长率；也称平均增长速度，它是时间序列中逐期环比值的几何式中，表示平均增长率;平均数减1后的结果，计算公式为;n为环比值的个数关于增长率分析中应注意以下两个问题1、当时间序列中有观察值出现0或负数时，不宜计算增长率2、在有些情况下，不能单纯就增长率论增长率，

11、要注意增长率与绝对水平的结合分析。第三部份、时间序列预测的程序对时间序列进行预测包括以下步骤；1、确定时间序列所包含的成分，也就是确定时间序列的类型第一、确定趋势成分确定趋势成分是否存在，可以从绘制时间序列的线图入手。观察是否存在趋势，以及所存在的趋势是线性的还是非线性的。判断趋势成分是否存在的另一种方法是利用回归分析拟合一条趋势线，然后对回归系数进行检验。如果回归系数显著，就可以得出线性趋势显著的结论。第二、确定季节成分确定季节成分至少需要两年的数据，而且数据需要按季度、月份、周或天等来记录。确定季节成份也可以从绘制时间序列的线图入手，但这里需要一种特殊的时间序列图，即年度折叠时间序列图。绘

12、制该图时，需要将每年的数据分开画在图上，也就是横轴只有一年的长度，每年的数据分别对应纵轴。如果时间序列只存在季节成分,年度折叠时间序列图中的折线将会有交叉；如果时间序列既含有季节成份又含有趋势，那么年度折叠时间序列图中的折线将不会交叉，而且如果趋势是上升的，后面年度的折线将会高于前面年度的折线，如果趋势是下降的，后面年度的折线将低于前面年度的折线。2、找出适合此类时间序列的预测方法时间序列数据平滑法预测季节性预测法趙势预测方法简单平均法季节多元回归模型线性趋势推测移动平均法季节自回归模型非线性趋势推测指数平滑法时间序列分解自回归预测模型关于平稳序列折预测1、简单平均法简单平均法适合对较为平稳的

13、时间序列进行预测，即当时间序列没有趋势时，用该方法比较好。但如果时间序列有趋势或季节成份，该方法预测不准确。此外简单平均法将远期的数值和近期的数值看做对未来对等重要。但从预测的角度看，近期的数值要比远期的数值对未来有更大的作用，因此简单平均法预测的结果不够准确。简单平均是根据过去已有的t期观察值通过简单平均来预测下一期的数值。设时间序列已有的t期观察值为Y,Y,Y则t+1期的预测值；12tF=1(YYt+1t12ttii=1当到了t+1期后，有了t+1期的实际值，便可以计算出t+1期的预测误差e为：e=YFt+1t+1t+1t+1于是，t期的预测值为；t+2F=丄(Y+Y+Y+Y)=丄送丫t+

14、2t+112tt+1t+1ii=12、移动平均法移动平均法是通过对时间序列逐期递移求得平均数作为预测值的一种预测方法，其方法有简单移动平均法和加权移动平均法。这里只说简单平均移动平均法。移动平均法只使用最近k期的数据，在每次计算移动平均值时，移动的间隔都为k。该方法也主要适合对较为平稳的时间序列预测。应用时，关键是确定合理的移动间隔长度K。对于同一个时间序列采用不同的移动步长预测的准确性是不同的。确定移动步长时，可通过试验的方法，选择一个使均方误差达到最小的移动步长。简单移动平均是将最近k期的数据加以平均，作为下一期的预测值。设移动间隔为k(1kt),则t期的移动平均值为：Y+Y+丫+YY=T

15、屮+3t1t(1)tk式(1)是对时间序列的平滑结果，通过这些平滑值就可以描述出时间序列的变化形态或趋势。当然，也可以用它来进行预测t+1期的简单移动平均预测值为Y+Y+Y+YF=Y=ik+s11t+1tk同样，Y+Y+Y+Y+Yt+2=Y=tk丨11k丨241+1t+1k（3）指数平滑法指数平滑法是通过对过去的观察值加权平均进行预测的一种方法，该方法使t+1期的预测值等于t期的实际观察值与t期的预测值的加权平均值。指数平滑法是加权平均的一种特殊形式，观察值时间越远，其权数也跟着呈现指数下降，因而称为指数平滑。指数平滑法有一次指数平滑、二次指数平滑等一次指数平滑法也称为单一指数平滑法，它只有一

16、个平滑系数，而且当观察值离预测时期越久远时，权数变得越小。一次指数平滑是以一段时期的预测值与观察值的线性组合作为t+1期的预测值。其预测模型为F=aY+G-a）F其中Y为t期的实际观察值；F为t期的预测值;t+1tttta为平滑系数（0a0,b丰0,00,b0,0b4_11b-113、Gompertz曲线Gompertz曲线是以英国统计学家和数学家B.Gompertz命名的。它的特点是：初期增长缓慢，以后逐渐加快，当达到一定的程度后，增长率又逐渐下降，最后接近一条水平线。该曲线的两端都有渐近线，其上渐近线为Y=K，下渐近线为Y=0。Gompertz曲线通常用于描述事物的发展由萌芽、成长到饱和的

17、周期过程。其趋势方程为Y=kbb，其中，k、b、b为待定系数。k0、b丰1、0CD2+CD1=0解得CO=-1a/52试验精度5nn次试验后的存优范围原始的因素范围=0.618n-1黄金分割法的核心就在于使得每次划分的比例都等于0.618案例；炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料，使炼出钢满足一定的指标要求。假设为了炼出特定用途的钢，每吨需要加入某元素的量在1000g到2000g之间，问如何通过试验法找到它的最优加入量？用一张纸条标示1000g到2000g，以1000为起标点标出刻度，找出它的黄金分割点x作为第一试点，再对折纸条，找出X的对称点x作112为第2试点，如图所示1000138216

18、182000i曲这两点的材料加入量是x=1000+0.618x(2000-1000)=1618gx=1000+2000-x=1382g21x=小+0.618x(大-小)1x=小+大-xU相当于加两头，减中间21分数法；类似于黄金分割法，要先找到一个分数然后把区域分成分母的分数找第一个点即为分子位置而第二个点用加两头、减中间的方法求得连分数简史;=_1是方程2+-1=0+1)=12即=丄将右边的用丄代替得1+1+继续得-+-=235813F、nFn+1=F+Fu斐波那数列n-1n-2案例；在配置某清洗液时，需加入某种材料。经验表明，加入量大于130ml肯定不好，用150ml的锥形量杯计量加放量，

19、该量杯的量程分别为15格，每格代表10ml。用试验法找出这种材料的最优加入量。把试验范围定为0130ml.我们把它分为13格。对时o的渐进分数列，如果用1=二来代替0.618,那么我们有；13F68x=0+_(130-0)=8013x=0+13080=502七、风险与决策一般地，对于给定的行动方案D和状态H,用L(D,H)表示行动方案D在状态H下的损失大小，并称L(D,H)为损失函数一般地，我们把各个状态出现的概率称为状态分布列一般地，我们用R(D)表示行动方案D所对应损失函数的均值，并且称R(D)为行动方案D的风险(平均损失)例1;某同学需要做一项实验，在该项实验过程中出现设备过热现象的概率为0.2，请专家指导实验，需支出50元指导费，并且出现设备过热现象时会损失10元；自己独立完成实验，出现过热现象时会损失100元，如果在实验过程中没有出现过热现象，则不会造成损失。问该同学是否应该请专家指导实验。状态分