真题大串讲直播5线性代数

1、1.秩的基本问题（1）r A r A中有r阶子式不为0,所有r 1阶子式全为0；r A 3 A中所有3阶子式全为0； r A 2 A中有2阶子式不为0.（2）r A A列秩 A行秩；若Ax 0有非零解,则其线性无关的解有n r A个；若A能相似于对角矩阵, 1 2 2是二重根,则n r 2E A 2.（5）r A r kAk 0, r A B r A r B , r AB min r A, r B ， r A r AT A r AAT r AT ,若A可逆,则r AB r B, r BA r B，若AB 0,则r A r B n A的列数,B,则r A r B.若A12300a,则r AB 2

2、BA 3A .设A, B都是3阶矩阵, 满足A 2 AB E, 且B 02补例105 A1 B 2C 3 D 42.证明向量组 1 , 2 ,s线性无关（1）定义法 设k11 k22 kss 0 必有k1 k2 ks 0.r 1,2, ,s s.（2）用秩3.证明可由向量组 1 , 2 ,s线性表出（1）定义法 存在一组k1, k2 , ks ,使得 k11 k22 kss ;r 1,2, ,s , r 1,2, ,s ;（2）用秩（3）证k 0（4）反证法（5）若1,2, ,s无关, 且1,2, ,s , 相关,则 可由1,2, ,s线性表出,且表达式唯一.4.基础解系1,2, ,s是Ax

3、0的基础解系,则1,2,s是Ax 0的解；1o2o 3o1,2,s线性无关；,s可以表示Ax 0的任一解或n r A =s. 1,2, Ax 0的通解:k11 k22 kss.5.Ax =b的解的性质及结构r A r A, b n Ax b有唯一解；（1）r A r A, b n Ax b有无穷解；r A r A, b,即r A +1=r A,b Ax b无解.（2）若1,2是Ax b的两个解,则1 2是Ax 0的解； Ax b的通解: k11 k22 kss.6.公共解与同解7.矩阵方程8.求特征值、特征向量（1） 定义法:A , 0;特征多项式法: E A 0 i E A x 0 i用相似

4、:AB,即P1AP B若A , 0,则B P1 P1 ；若B , 0,则A P P .补例2 设n阶矩阵A的各行元和均为2,且满足A2 kA 6E 0,则k .9.A和相似的判断及A和相似时求可逆矩阵P使P-1AP = .（1） A A有n个线性无关的特征向量； k重特征值k有k个线性无关的特征向量,即n r k E A k; A是实对称 A有n个不同特征值.可逆矩阵P是由A的特征向量拼成的；对角阵是由A的特征值拼成的；注意P与的次序要对应.注意 : 若1,2是A的特征值1的特征向量,则k11 k22 0仍是A的特征值1的特征向量；若1,2分别是A的特征值1和2的特征向量,则k11 k22 0

5、不再是A的特征向量.10.A和B相似的判断及A和B相似时求可逆矩阵P使P-1AP =B.（1） ABB , aii bii , A B , r A r B ;A （2） A, B,则AB；A,则存在可逆P , 使P1AP ，111B,则存在可逆P , 使P1BP ，222故P1AP =P1BP ,则P P1AP P1 B,11222 11 2所以取P PP1,则P1AP B.1 211.相似的应用（1） 求An若A,则P1AP P1An P n An Pn P1.（2） 求An若 k11 k22 k33 A A k k k k A k An k An k k k .nnnnnn1 12 23 31122331 1 122 23 3 3（3） 求A若A,则P1AP A PP1.12.实对称矩阵实对称矩阵的性质？既可用可逆矩阵P相似对角化又可用正交矩阵Q对角化.正交矩阵Q的特点？13.用正交变换化二次型为标准形的步骤？14.二次型的正定（1）A是正定矩阵A 0 aii 0（2）A是正定矩阵 x 0, 有xT Ax 0 特征值 0 A与E合同,即存在可逆矩阵C, 使得CT C A A的正惯性指数p n A的各顺序主子式大于015.等价、相似、合同A等价于B定义：A经过有限次初等变换得到B充要条件: A、B同型且r A r BA相似于B定义：