2017高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.5 空间向量

1、 2017高考数学一轮复习第八章立体几何8.5空间向量与立体几何课时练理时间：45分钟基础组2016枣强中学猜题若直线l的方向向量为a=(l,1,2),平面a的法向量为u=(2,2,4)，贝X)laB.l丄aClaDl与a斜交答案B解析因为直线l的方向向量a=(1,1,2)与平面a的法向量u=(2,2,4)共线,贝说明了直线与平面垂直,故选B.2016衡水中学期中正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在Aq上且AM=|mCi,N为B1B的中点，贝|MN|为(A.216B.66C.D.pl3答案A解析MN=MA+AB+BN一3aci+ab+bn=3(AB+AD+AA)+AB+|AA31

2、21A.平行C.垂直2016武邑中学期中平面a的一个法向量为(1,2,0),平面0的一个法向量为(2,1,0)，则平面a和平面0的位置关系是()相交但不垂直D.重合答案C解析由（1,2,0）（2,1,0）=1X2+2X（1）+0X0=0,知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直B再4.2016衡水中学期末如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCAq,CA=Cq=2CB,A並A.5c容53D-5答案A解析设CB=1,则CA=Cq=2,故B(o,o,l),q(0,2,0),A(2,0,0),B(0,2,l),则叫=(0,2,1),AB=(2,2,1),cosBC,AB=11BCAB11_35=

3、百5I叫I|AB1|即直线叫与直线AB1夹角的余弦值为学故选A.5.2016冀州中学猜题如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中的中点，则EF和平面ABCD所成角的正切值为（）,E,F分别是AB,B1CB乎11 D21C2答案B解析如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,则点C(o,l,o),D1(0,0,1),Bi（i,i,i）,f（2,，2）E（i，2,aef=（-2,2,2叫=(0,0,1)为底面的一个法向量,TOC o 1-5 h zEFDD13cosEF,DD1=L=ffV335|EF|DDJ所以EF和平面ABCD所成角3的正弦值为sin。=tansin3=2cos2故选

4、B.2016武邑中学仿真过正方形ABCD的顶点A作线段PA丄平面ABCD,若AB=PA,则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角为()A.30B.4560D.90答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=PA=1,知A(0,0,0),B(1,O,O),D(O,1,O),C(1,1,O),P(O,O,1)由题意得，AD丄平面ABP,设E为PD的中点，连接AE,则AE丄PD,又TCD丄平面PAD,.：AE丄CD,又PDnCD=D,.AE丄平面CDP.：.AD=(0,1,0),AE=(O,2,2分别是平面ABP、平面CDP的法向量，而AD,AE=45,平面ABP与平面CDP所成的锐二面角为45.

5、2016衡水中学模拟若平面a的一个法向量为n=(4,l,l),直线l的一个方向向量为a=(2,3,3)，则l与a所成角的正弦值为.答案4亘口案33解析设l与a所成角为6,则sin6=|cosn，a1=n+i+i4+9+9=33-2016冀州中学期中已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形,高为4,则点兔到截面ABR的距离是.4答案3解析如图建立空间直角坐标系Dxyz,则兔(2,0,4),A(2,0,0),B：(2,2,4),叮0,0,4),AD1=(2,0,4),AB1=(0,2,4),AA1=(0,0,4),设平面ABH的法向量为n=(x,y,z),nAD=0,一2x

6、+4z=0,2y+4z=0,nAB=0,解得x=2z且y=2z,不妨设n=(2,2,1),设点A到平面ABD的距离为d.11143.|AAn|则d=L|n|2016衡水中学仿真已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ZACB=90,AC=BC=2,AA1=4,D是棱AA勺中点.如图所示.求证：叫丄平面BCD；求二面角ABDC的大小.解(1)证明：按如图所示建立空间直角坐标系BiDB/I由题意，可得点C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),D(2,0,2),A/2,0,4),q(0,0,4).于是,DC1=(2,0,2),DC=(2,0,2),DB=(2,2,2)可算得DCDC=0,DC

7、DB=0.因此,DC丄DC,DC丄DB.11又DCnDB=D，所以叫丄平面BDC.11 #11 nAD=0.又AB=(-2,2,0),AD=(0,0,2),所以-2x2y=0,2z=0.x=l,取y=i,可得y=i，、z=0.即平面ABD的一个法向量是n=(1,1,0).由知，Dq是平面DBC的一个法向量,记n与Dq的夹角为3,nDC12n贝卩cos3=二-=23=3.|n|DC1|结合三棱柱可知，二面角ABDC是锐角，故所求二面角ABDC的大小是号.10.2016枣强中学预测如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2求证：D卩丄平面AB1C；求二面角BAB1C的大小

8、.D、MADC0Bx解(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系,则点0(1,1,0),D(0,0,V2),0D=(1,1,/2),又点B(2,2,o),M(1,1,迈),OD=BM，又VOD与BM不共线，ODBM.1又OD平面DAC，BM平面DAC，.BM平面DAC.证明：连接OB,TOD0B=(1,一1,迈)电)=0,0DAC=(1,1,2)(一2,2,0)=0,.0D丄OB,OD丄AC,即0D丄OB,OD丄AC,111111又OBnAC=O,.DO丄平面ABC.VCB丄AB,CB丄BB,CB丄平面ABB,BC=(2,0,0)为平面ABB的一个法向量.VOD丄OB,OD丄AC,111OD=(

9、1,1,寸2)为平面AB的一个法向量.cosBCODBCOD2_=12X2=2|BC|OD1| BC与OD的夹角为60，即二面角BABC的大小为60.2016冀州中学一轮检测如图1,在RtAABC中,ZACB=30,ZABC=90,D为AC中点，AE丄BD于点E,延长AE交BC于点F,将厶ABD沿BD折起，使平面ABD丄平面BCD,如图2所示.AA图1图2求证：AE丄平面BCD；求二面角ADCB的余弦值；在线段AF上是否存在点M使得EM平面ADC?若存在，请指明点M的位置；若不存在,请说明理由.解(1)证明：因为平面ABD丄平面BCD,交线为BD,又在ABD中，AE丄BD于点E,AE平面ABD

10、,所以AE丄平面BCD.(2)由中AE丄平面BCD可得AE丄EF.由题意可知EF丄BD，又AE丄BD,如图，以E为坐标原点，分别以EF,ED,EA所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Exyz,不妨设AB=BD=DC=AD=2,则BE=ED=1.3由图1条件计算得AE=：3BC=,3,BF=3-，则E(0,0,0),D(0,1,0),B(0,1,0),A(0,0,；3),0，0C3,2,0),DC=(丹1,0),AD=(0,1,；3.由AE丄平面BCD可知平面DCB的法向量为EA,EA=(0,0,；3),设平面ADC的法向量为n=(x,y,z),JnDC=O,则nAD=O,J：3x+y

11、=0,即ly73z=0.令z=l,则y=:3,x=1,所以n=(1,冷3,1).因为平面DCB的法向量为EA,所以cosn,EA=EAn|EA|n|所以二面角A-DC-B的余弦值为晋.设AM=hAF,其中A0,1.由于AF=,0,-呵所以AM=AF=其中A丘0,1.所以EM=EA+AM=0,1-A呵由EMn=0,即一爭+(1Ah，3=0,解得A=4(0,1).所以在线段AF上存在AM3点M使EM平面ADC,且丽=孑2016武邑中学一轮检测如图，在长方体ABCD-ABCD中，AD=AA=1,AB=2,点E在棱AB上移动.(1)求证:甲丄犁；当E点为AB的中点时，求点E到平面ACR的距离;AE为何

12、值时，二面角D厂ECD的大小为?解(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,1)B(l,2,0),C(0,2,0),C(0,2,1),D(0,0,1).VE在棱AB上移动，.设E(l,a,0),0WaW2.DE=(1,a,1),AD=(1,0,1),.DEAD=0,.DE丄AD.111111设平面AC。】的法向量为m=(x,y,z),点E到平面AC”的距离为h.VAC=(1,2,0),AD=(1,0,1),-x+2y=0,I令y=l，则m=(2,1,2).、一x+z=0,又E(1,1,0),CE=(1,1,0),CE与平面AC*所成角的正弦值

13、为|m=3=2,：h=|CE|=1|m|CE|设平面D1EC的法向量为n=(x1,y1,z1),TOC o 1-5 h zVD1E=(1,a,1),D1C=(0,2,1),X+ayz=0,111令y=1,得n=(2a,1,2).2yz=0,111易知平面ECD的一个法向量为DD1=(0,0,1),2f2则|cos:；a=2一I3或a=2+：3(不符合，舍去)，1寸a2+52乙.当AE=2迪时，二面角D1ECD的大小为手能力组2016武邑中学月考如图所示，在四棱锥PABCD中，PC丄平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中，ZB=ZC=90,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB

14、与平面ABCD成30的角.求证：CM平面PAD；平面PAB丄平面PAD.证明以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.PC丄平面ABCD,ZPBC为PB与平面ABCD所成的角，.ZPBC=30,PC=2,.BC=2冷3,PB=4,.D(O,1,O),B(2：30,0),A(2；34,0),P(0,0,2),M申,0，,DP=(0，1,2)，DA=(W3，3,0)，CM=0，设n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,DPn=y+2z=0,由lDAn=2-j3x+3y=0lx=令y=2,得n=(：3,2,1)VnCM=-：3x+2X0+1x2=0,

15、.n丄CM.又CM平面PAD,.CM平面PAD.则E&1,2,1),BE=(迪,2,1).PB=AB,.BE丄PA又VBEDA=(“J3,2,1)(2边，3,0)=0,.BE丄DA,.BE丄DA.又PAnDA=A,：BE丄平面PAD.又VBE平面PAB,平面PAB丄平面PAD.142016衡水中学热身在三棱柱ABCAiBiCi中，侧面ABB为矩形，AB=1,AA=边，D为AA的中点，证明：BC丄ABj(2)若OC=OA，求直线C与平面ABC所成角的正弦值.AD-2AB12解证明：由题意tanZABD=AB=?,tanZABp=BB=?，1注意到0ZABD,ZABiBn2-,所以ZABD=ZAB

16、B.所以ZABD+ZBAB=ZABB+ZBAB=n.所以AB丄BD.11121建立空间又CO丄侧面ABBA，所以AB丄CO.又BD与CO交于点O,所以人匕丄面CBD.又因为BC面CBD,所以BC丄AB】.B0,13丿,0,0.又因为CC=2AD,丿所以C1所以AB=平AC=(0,当,尊,卡,爭设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则根据ABn=0,ACn=0可得n=(1,远,迈)是平面ABC的一个法向量,设直线qD与平面ABC所成角为a.则sina|DCn|3肩=5515.2016冀州中学期末如图,的正投影分别为A,B,C,且AB丄BC,|DC1|n|在几何体ABCA1B1C1中，点兔,B

17、,C在平面ABC内AA=BB=4，AB=BC=CC=2，E为AB中点.1111求证:CE平面ABC；求二面角B1-AC1-C的大小.解(1)证明：由题知AA丄平面ABC,BB丄平面ABC,CC丄平面ABC,：AABBCC.111如图，取A.B1中点F,连接EF,FC1，E为AB1中点，.EF綊1AA.TAA=4,CC=2,2111CC綊1AA,121EF綊CC1,.四边形EFC1C为平行四边形，CECF.1CE平面ABC,CF平面ABC,1111111CE平面ABC.(2)由题知,AB丄BC,又BB|丄平面ABC,.BB丄AB,BBBC,分别以BA,BC,BB所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图

18、所示的空间直角坐标系.则A(2,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,4),C/0,2,2),AC=(-2,2,0),CC=(0,0,2),AB=(-2,0,4),BC=(0,2,-2).设平面AC的法向量为m=(X,yi，z),贝ymAC=O,meq=0,f-2x+2y=011，令x=1,得m=(1,1,0),2z=011设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),11222贝9nAB=0,nBC=0,1112x+4z=0fx=2,丿22令z=1,得屮22y2z=0,2y=1,222.n=(2,1,1).cosm,n=右：|=由图知，二面角B1AC1C是钝角，.二面角B1AC1C的大小为150.16.2016衡水中学预测在直角梯形ABCD中，ADBC,BC=2AD=2AB=,2,ZABC=90。，如图所示，把AABD沿BD翻折，使得平面ABD平面BCD,如图所示.求证：CD丄AB；若点M为线段BC的中点，求DM与平面ACD所成角的正弦值；在线段BC上是否