初中数学人教九年级上册（2023年新编）第二十二章 二次函数二 次 函 数

1、二 次 函 数 考纲要求本章知识是中考重点考查内容，除常规题型外，图象阅读、阅读理解，实际应用等新题层出不穷。热点是应用二次函数性质求解的经济类问题，涉及最佳利益的获取、最佳方案的选择、最优途径设计等（以中档应用题为主），分值约12分上下，应特别予以重视。 重点聚焦重点 1经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性；2能够作出和的图象，并能理解它们与的图象的关系，理解、和对二次函数的图象的影响； 3能准确说出的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题 4. 经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种

2、方式之间的联系与各自不同的特点。 5. 经历探索销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。 6. 理解二次函数与轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系；能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根，进一步发展估算能力。难点 理解二次函数与的关系；掌握二次函数的对称轴和顶点坐标公式及利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题 在学习中，首先通过探索，体会及与的图象的关系，获得、对二次函数的影响及、的意义的一些结论，从而获得二次函数的图象的作法；其次经过探索，获得有关的对称轴、顶点坐标公式；第三利用图象研究二次函数的性质，特别是对二次函数的增

3、减性、最大(小)值等性质的探索应尽量结合其图象进行，从而形成数形结合的观念。 能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数表示的问题，并能够根据二次函数的不同表达方式，从不同的侧面对函数性质进行研究。 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，发展解决问题的能力。 理解方程的根与函数图象和轴或直线的交点横坐标之间的关系，及利用图象法求一元二次方程的近似根。知识点精析一、二次函数的图象的性质1、二次函数、的图象比较(1)它们的图象开口方向相同，形状(开口大小)相同，只是位置不同，彼此之间属平移关系(2)它们的对称轴、顶点分别如下表：

4、对称轴轴轴直线直线顶点坐标（0，0）（0，）（，0）（，）2、二次函数与的比较 (1) 与是二次函数的两种不同表达形式前者称为顶点式(其中（，）是其顶点坐标)，后者是一般形式通过整式的乘法，可将前者转化为后者那种形式，而通过配方法则可将后者转化为前者那种形式(2)用配方法将转化成的形式的一般步骤： 提取二次项系数，得； 在括号内加上并减去一次项系数一半的平方，得 配方，得这里，(3) 的图象： 二次函数的图象是抛物线，其图象的开口方向、形状均与的图象相同，其图象的对称轴是直线直线，顶点坐标是 3二次函数的图象的画法 (1)描点法：先利用配方法(或公式法)将二次函数化成顶点式的形式，并确定其图象

5、的开口方向、对称轴和顶点坐标；然后在对称轴两侧，以为中心左右对称地选取的值，并求出相应的函数的值；第三，根据取值描点；第四步用光滑的曲线按从左到右的顺序连接所描各点 (2)平移法： 由于的值相同的抛物线的开口方向及形状完全相同，故可将抛物线的图象平移得到值相同的其他形式的二次函数的图象其步骤为：先把二次函数转化成的形式，确定其顶点（，）；再作出二次函数的图象，并将抛物线平移，将其顶点平移到（，），即得： 具体平移方法如图141： 具体的平移规律是：值为正右移，为负左移；的值为正上移，为负下移即正右、负左；正上、负下 4二次函数的性质 (1)二次函数的性质： 0时：当时，随的增大而减小；当时，随

6、的增大而增大； 当时，有最小值 0时：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值 (2)二次函数的性质： 0时：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当 = 时，有最小值 0时：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当 = 时，有最大值说明在描述二次函数的性质时，可先画出其草图(包括开口方向、顶点坐标和对称轴)，再根据图象进行描述二、抛物线与系数关系其关系可以总结如下表所示的代数式作 用说 明决定抛物线的开口方向决定增减性0开口向上0开口向下决定抛物线与轴交点的位置，交点坐标0交点在轴上方 = 0抛物线过原点0交点在轴下方决定对称轴的位置，对称轴是0对称轴在轴左侧0

7、对称轴在轴右侧决定抛物线与轴交点的个数0有两个交点 = 0有一个交点0无交点决定顶点的位置 抛物线与轴的交点坐标抛物线与轴两交点间的距离三、用待定系数法确定二次函数的解析式的基本方法二次函数解析式有三种形式：(1)一般式： (为常数，O)；(2)顶点式 (、为常数，0)；(3)交点式： (、是常数，0) 说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式，抛物线的顶点坐标是（，），当=0时，抛物线的顶点在轴上；当=O时，抛物线的顶点在轴上；当危=O且=0时，抛物线的顶点在原点上(2)当抛物线与轴有交点时。即对应二次方程有实数根和存在时，根据二次三项式的分解公式，二次函数可转化为交点式 要确定

8、二次函数解析式，就是要确定解析式中的待定系数(常数)，由于每一 种形式中都含有三个待定系数，所以用待定系数法求二次函数的解析式，需要已知 三个独立条件分为四步一设、二代、三解、四还原完成。 当已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式，然后列出三元一次方程组求解 当已知抛物线的顶点坐标（或对称轴、或最值）与抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式，求解，最后将解析式化为一般形式。 当已知抛物线与轴交点或交点的横坐标时，通常设函数解析式为交点式，求解，最后将解析式化为一般形式。四、实际问题与二次函数1销售利润的计算公式销售利润=(销售单价一单位进价)销售量；或销售利润=销售额一总成本销售

9、额=销售量销售单价2解决能用二次函数表达的实际问题的基本思路(1)理解问题； (2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；(3)用数学的方式表示它们之间的关系；(4)做数学求解；(5)检验结果的合理性，并得出实际问题的答案3利用二次函数解决利润最大问题(1)寻找实际问题中的两个变量之间的等量关系，并用字母表示两个变量；(2)用自变量的代数式表示相关的量；(3)用表达式表示这个等量关系；(4)利用二次函数的知识解决实际问题4利用二次函数解决几何中的最值问题(1)寻找问题中的两个变量及其关系，并用字母表示两个变量；(2)用自变量的代数式表示相关的量；(3)根据相似形、直角三角形、面积等知识，用

10、表达式表示实际问题；(4)用二次函数的知识求解，并获得实际问题的答案五、二次函数与一元二次方程的关系 二次函数的图象与轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点当二次函数的图象与轴有交点时，交点的横坐标就是当y=O时自变量的值，即一元二次方程的根(1)二次函数与轴有两个交点、一元二次方程有两个根，(2)当二次函数与轴只有一个交点时，交点坐标为（ ，0）相应地，一元二次方程有两相等实数根= I(3)二次函数的图象与轴没有交点 一元二次方程没有实数根 利用二次函数图象估计一元二次方程的根 (1)要估计一元二次方程的两个根，可作出二次函数的图象，再确定图象与轴两交点的横坐标分别在哪两个相邻

11、整数之间，再利用计算器探索，可求出方程的两个近似根 如：估计方程的两个近似根时， 第一步：作出函数的图象； 第二步：由图象与轴两交点在-5和-4之间及2和3之间可知，方程的两个根，一个在-5和-4之间，另一个在2和3之间； 第三步：利用计算器探索在-5和-4之间的那个根，可仿照课本那样探索、也可按如下方法探索：先求=-45时，y的值，发现yO；故求=-42时，y的值，发现此时yO；故又求=-44时y的值，又发现此时y0；故又求=时y的值，此时yO可发现上述各y的值中，当=时，最小，故可估计=同样可估计在2和3之间的那个根 (2)在估计方程的根时，构造的二次函数可不唯一 如：估计的根 既可通过抛物线与轴的交点坐标来估计，也可通过抛物线与直线的交点横坐标来估计，还可通过抛物线与直线的交点横坐标来估计，等等，可有无数种方法 (3)用图象法求一元二次方程的近似根时，结果只取到十分位 启示我们既可用图象法求一元二次方程的根，也可用解一元二次方程的方法求抛物线与轴(或其他直线)的交点横坐标，进而求出交点坐标如：可通过解方程 (或或)来求抛物线与轴(或与直线y=l或与直线)的交点横坐标，然后求出其纵坐标问题探究 阅读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化例如：由抛物线 有 抛物线的顶点坐