初中数学人教九年级上册（2023年新编）第二十四章 圆圆的切线性质与判定复习课

1、圆的切线性质与判定复习课广元市利州区盘龙初级中学： 冯洁平数学与生活密不可分，在生活中我们经常会遇到的一些场景都无不体现了数学中的“圆与切线”这一知识点。我们回顾四川省各市2023年、2023年数学中考题：南充第22题，广元第23题，宜宾第23题，绵阳第23题，我们会发现基本所有的倒数第二题都是关于“圆与切线”的问题，这是一个高频考点。同时，在高中教材内，它也是非常重要的内容。【原题呈现】（2023年南充市数学中考题第22题）已知：如图，在ABC中，以AC为直径的O交AB于点D,连接CD，BCD=A.(1)求证: BC是O的切线；(2)若BC=5，BD=3，求点0到CD的距离。【背景】一、学情

2、分析及对策：此题侧重于考查学生分析问题、解决问题的能力和计算能力。渗透数形结合思想、转化思想和方程思想。难点在于：如何将未知线段的长转化到已知条件中去求解，构建相似三角形。二、考点分析：切线与代数综合应用题，能有效地考查不同层次学生对学习数学知识的掌握及灵活运用程度。在全国各地的中考数学题中，切线与其他知识点的综合应用题总是占有相当的比例。【解法】同一个问题，从不同的角度探究和分析，可有不同的解法。一题多解、多变，有利于沟通各知识的联系，培养学生思维的发展和创造性。(1)求证: BC是O的切线；分析：证明圆切线的四种方法：(1)平行线法（2）直接法（3）间接法（4）三角形全等法证法一（直接证）

3、欲证0CBC 需BCD+ACD=90证明： AC是O的直径， ADC=90 A+ACD=90， BCD=A， BCD+ACD=90 0CBC， 0C是O的半径， BC是O的切线。证法二（直接证）欲证0CBC 需BCD+ACD=90证明： AC是O的直径， ADC=90 B+BCD=90， BCD=A， A+B=90 ACB=180- (A+B)=900CBC， 0C是O的半径， BC是O的切线。本题第二问，(2)若BC=5，BD=3，求点0到CD的距离。常用方法：构造直角三角形；常用思想：转化思想、方程思想、数形结合思想；常用知识点：勾股定理、三角函数、垂径定理、全等和相似。解法一:过点O作O

4、ECD，垂足为E,在RtBCD中，BC=5，BD=3，CD=4 ADC=CDB=90，BCD=A.RtCDBRtCADOECDE为CD的中点又点O是AC的中点，解法二：分析：RtACBRtADC RtOECRtCDB解:过点O作OECD，垂足为E,在RtBCD中，BC=5，BD=3，CD=4 ADC=CDB=90，BCD=A.RtACBRtADCAC2=ADAB=RtOECRtCDB【变式训练】变式1 改变问题2已知：如图，在ABC中，以AC为直径的O交AB于点D,连接CD，BCD=A。(1)求证: BC是O的切线；(2)若BC=5，BD=3，求点0到CD的距离。将原题中第2小题“BC=5”改

5、成“COD=60”，将问题“求点0到CD的距离”。改为“求阴影部分的面积”。本题考查了切线的判定及性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、扇形面积及三角形面积公式等知识，解题的关键是添加常用辅助线。解题分析：（1）S阴影 = SRtABC - SAOD - S扇形OCD（2）S阴影 = SRtABC - SRtACD- S弓形变式2交换题设与结论已知：如图，在ABC中，AC是O的直径，BC是O的切线,连接AB交O交点D,连接CD。求证: BCD=A。此题将原题中条件“BCD=A”结论“BC是O的切线”进行了交换。这样改编后，此题考查了切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理等相关知识。这是高中

6、将学习的弦切角定理，在初中阶段遇到选择、填空题可直接应用此结论。变式3 改变图形的形状如图，ABC中，以AB为直径的O交AC于点M，弦MNBC交AB于点E，且ME=1，AM=2，AE= 。 （1）求证：BC是O的切线；（2）求BN的长。分析(1)： 根据已知，由勾股定理逆定理可知，AEM是直角三角形，从平行的性质得到ABBC,因此得出结论。（1）证明： ME=1 AM=2 AE= AM2=4 ME2+AE2=4 AEM是直角三角形，且AEM=90 MN BC , ABC=AEM=90又 AB是 0 的直径 BC是 0 的切线。分析 (2)：连接ON,在RtEON中，求出半径ON和EON,即可求

7、出BN的长。r2=(AE-r)2+12EON=MOE=2A本题考查了切线的判定、勾股定理的逆定理、平行线的性质、圆周角定理、弧长公式、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题。【拓展】在ABC中，D为AC上一点，且CD=CB,以BC为直径作O，交BD于点E，连接CE，过D作DFAB于点F，BCD=2ABD。（1）求证：AB是O的切线；（2）若A=60，DF= ，求O的直径BC的长。此题考查了切线的判定及性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、圆周角定理推论、勾股定理等相关知识，属于中考常考题。【反思】在教学的过程中，我们要引导学生探索数学问题的解题方法，让学生善于思考，进行一题多解的训练和变式训练，提高数学能力。 解决有关圆的切线问题，添加辅助线是解题关键。可以从“特殊