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1、2.3 初等函数一、指数函数二、对数函数三、三角函数四、幂函数将一元实变初等函数推广为初等复变函数的要求：当为实数时，有完全与原实变函数相同。尽量使推广后的复变初等函数仍保留原实变初等函数的某些重要性质(如连续性、可导性等等)一、指数函数 初等实指数函数的一些重要性质：处处可导且有 对任意的实数有对任意的实数有将指数函数的定义域推广到整个复数集中，使其尽可能保持这些特性。即应满足处处可导且有 当即为实数时有定义对于复数称为复指数函数。 性质: 指数函数在整个平面上都有定义，且且有对任意的复数有是以为周期的周期函数，即有 在整个平面上处处解析，注意：但一般不成立。例1 求和解 二、对数函数 定义

2、指数函数的反函数，称为对数函数，记为的所有解。实际上是关于的方程对数函数的定义域设得于是有从而由对数函数注意：对数函数是一个多值函数，同一个z的任意两个函数值之间相差对每一个固定的k值，可得一个单值函数，称为的一个单值分支；特别地称k=0对应的分支为对数函数的主值分支，记为负数也有对数，如 不是周期函数。例2 求下列各式的值。 解(1)(1)(2)(2)例3 解下列方程解(1)(2)对数函数的性质时，当这时对数函数的主值就是原实变数对数函数注意：这些等式右端必须取适当的分支才能等于左端某一分支。若仅对某一分支结论是不一定成立的。例如类似可得：Lnz的各个单值分支在除去原点及负实在除去原点及负实

3、轴的平面内主值支和其他分支处处连续、处处解析;且有仅就主值支而言，在除去原点外的复平面内处处连续，说明：而在原点及负实轴上不连续。所以，函数在除去原点及负实轴的复平面上处处连续。又因为在区域内的反函数是单值的，由反函数的求导法则可知所以，函数在除去原点及负实轴的平面内解析。轴的平面内也是解析的，并且有相同的导数值。 例4验证下列式子并不成立。证明可见，的值是的值的值每隔一个取一个，故任取一个分支所给的值，不一定有对应的值与之相等。 所以有对任何复数z，定义余弦函数和正弦函数如下： 三、三角函数由Euler公式，对任何实数x，我们有：正弦与余弦函数的基本性质1、cosz和sinz是单值函数;2、cosz是偶函数，sinz是奇函数:3、cosz 和sinz 是以 为周期的周期函数.5、则对任何复数z，Euler公式仍成立：注解：由于负数可以开平方，所以由此不能得到例如：z=2i 时，有7、cosz和sinz在整个复平面解析，并且有：证明9、同理可以定义其他三角函数：8、cosz在复平面的零点是sinz在复平面的零点是例5

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