新编习题课(导数的应用)课件

1、新编习题课(导数的应用)新编习题课(导数的应用) 拉格朗日中值定理 一、 微分中值定理及其应用1. 微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 拉格朗日中值定理 一、 微分中值定理及其应用1. 微分中2. 微分中值定理的主要应用(1) 研究函数或导数的性态(2) 证明恒等式或不等式(3) 证明有关中值问题的结论2. 微分中值定理的主要应用(1) 研究函数或导数的性态(23. 有关中值问题的解题方法利用逆向思维 , 设辅助函数 .一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在 ,(2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 ,(3) 若结论中含两个或两个以上的中值 ,可用原函数法

2、找辅助函数 .多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理 .必须多次应用中值定理 .(4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 ,(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理 .3. 有关中值问题的解题方法利用逆向思维 , 设辅助函数 .例1. 设函数在内可导, 且证明在内有界. 证: 取点再取异于的点对为端点的区间上用拉氏中值定理,得(定数)可见对任意即得所证 .例1. 设函数在内可导, 且证明在内有界. 证: 取点再例2. 设在内可导, 且证明至少存在一点使上连续, 在证: 问题转化为证设辅助函数显然在 0 , 1 上满足罗尔定理条件,故至使即有少

3、存在一点例2. 设在内可导, 且证明至少存在一点使上连续, 在证:例3证由介值定理,例3证由介值定理,注意到由, 有+ ,得注意到由, 有+ ,得例 4例 4洛必达法则 二、洛必达法则 洛必达法则 二、洛必达法则 用洛必达法则求未定式极限应注意什么？2o. 及时求出已定式的极限.1o. 先做无穷小代换. 用洛必达法则求未定式极限应注意什么？2o. 及时求出已用洛必达法则求未定式极限应注意什么？3o. 需要先验证条件.应该怎么做？.用洛必达法则求未定式极限应注意什么？3o. 需要先验证条件.解：.例1解：.例1例2解：.例2解：.三、导数的应用1会判别函数单调性、凹凸性。能利用函数的单调性做证明

4、题. 2. 熟练掌握求函数极值(确定极大还是极小)和最值以及拐点的方法. 3. 求给定函数的竖直渐近线及斜渐近线. 4. 会做y = f (x)的图形. 5熟悉常用的克劳林公式三、导数的应用1会判别函数单调性、凹凸性。能利用函数的单调性定理 1 函数单调性的判定法定理 1 函数单调性的判定法2. 求函数极值和最值求极值的步骤：(1) 求函数的所有驻点和导数不存在的点；求a,b上连续函数f (x)的最值的步骤：(1) 求函数的所有驻点和导数不存在的点；(2) 把 f (x)在这些点的值与f (a) , f (b)比较，最大者为最大值，最小者 为最小值。注：若连续函数f (x)在区间 I 内有唯一

5、的极值点。则极大值就是最大值； 极小值就是最小值。2. 求函数极值和最值求极值的步骤：(1) 求函数的所有驻点3计算函数凹凸区间3计算函数凹凸区间方法1:方法2:3 计算函数拐点方法方法1:方法2:3 计算函数拐点方法.4. 给定函数 y = f (x) ,求其竖直渐近线及斜渐近线。 .4. 给定函数 y = f (x) ,求其竖直渐近线及.5. 常用马克劳林公式：2m-1阶2m阶.5. 常用马克劳林公式：2m-1阶2m阶.5. 常用马克劳林公式：.5. 常用马克劳林公式：.例1例2例3例4例1例2例3例4例1.证毕.例1.证毕.例2解：.例2解：.例3解：xy( , 0 )( , + )(0, +).( , + )例3解：