小六数学第13讲：分数裂项与分拆(教师版)

1、第十三讲分数裂项与分拆1.“裂差型运算将算式中的项进展拆分，使拆分后的项可前后对消，这种拆项盘算称为裂项法.裂项分为分数裂项跟整数裂项，罕见的裂项办法是将数字分拆成两个或多个数字单元的跟或差。碰到裂项的盘算题时，要细心的不雅看每项的分子跟分母，寻出每项分子分母之间存在的一样的关联，寻出共有局部，裂项的标题无需庞杂的盘算，普通基本上两头局部消去的进程，如此的话，寻到相邻两项的类似局部，让它们消去才是最全然的。关于分母能够写作两个因数乘积的分数，即方式的，这里咱们把较小的数写在前面，即，那么有关于分母上为3个或4个天然数乘积方式的分数，咱们有：关于分子不是1的状况咱们有：2.裂差型裂项的三年夜要害

2、特点：分子全体一样，最庞杂方式为基本上1的，庞杂方式可为基本上x(x为恣意天然数)的，然而只需将x提掏出来即可转化为分子基本上1的运算。分母上均为多少个天然数的乘积方式，同时满意相邻2个分母上的因数“首尾相接分母上多少个因数间的差是一个定值。3.庞杂整数裂项型运算庞杂整数裂项特色：从公役必定的数列中顺次掏出假定干个数相乘，再把一切的乘积相加。其巧解办法是：先把算式中最初一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前舒展一个数，用它们的差除以公役与因数个数加1的乘积。整数裂项口诀：等差数列数，顺次取多少个。一切积之跟，裂项来求作。后延减前伸，差数除以N。N取什么值，两数相乘积。公役要乘以，因个加上

3、一。需求留意的是：依照公役向前舒展时，当舒展数小于0时，能够取正数，所以是积为正数，减负要加正。关于小先生，这时分平日是把第一项甩出来，依照口诀先算出前面的后果再加上第一项的后果。别的，有些算式能够先经过变形，使之契合请求，再应用裂项求解。4.“裂跟型运算罕见的裂跟型运算要紧有以下两种方式：裂跟型运算与裂差型运算的比照：裂差型运算的中心环节是“两两对消到达简化的目标，裂跟型运算的标题不只有“两两对消型的，同时另有转化为“分数凑整型的，以到达简化目标。1.庞杂整数裂项的特色及灵敏应用2.分子荫蔽的裂跟型运算。例1：原式例2：盘算：假如式子中每一项的分子都一样，那么确实是一道非常罕见的分数裂项的标

4、题然而此题平分子不一样，而是成等差数列，且等差数列的公役为2比拟拟于2，4，6，这一公役为2的等差数列(该数列的第个数恰恰为的2倍)，原式平分子所成的等差数列每一项都比其年夜3，因此能够先把原式中每一项的分子都分红3与另一个的跟再进展盘算原式也能够直截了当进展通项归结依照等差数列的性子，可知分子的通项公式为，因此，再将每一项的与分不加在一同进展裂项前面的进程与前面的办法一样例3：原式例4：此题为典范的“暗藏在等差数列求跟公式面前的分数裂差型裂项咨询题。此类咨询题需求从最庞杂的项开场动手，经过公式的运算寻寻法则。从第一项开场，对分母进展等差数列求跟运算公式的代入有，原式例5：.这题是应用平方差公

5、式进展裂项：，原式例6：原式A1.原式2.盘算：此题的重点在于盘算括号内的算式：那个算式差别于咱们罕见的分数裂项的地点在于每一项的分子顺次成等差数列，而特不见的分子一样、或分子是分母的差或跟的状况因此该当对分子进展恰当的变形，使之转化成咱们熟习的方式不雅看可知，即每一项的分子都即是分母中前两个乘数的跟，因此因此原式3.盘算：不雅看可知原式每一项的分母中假如补上分子中的数，就会是5个延续天然数的乘积，因此能够先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数即：原式如今进展裂项的话无奈全体相消，需求对分子进展分拆，思索到每一项平分子、分母的对称性，能够用平方差公式：，原式4.原式5.，因此原式6.原式B7.

6、盘算：原式8.盘算：原式9.盘算：式子中每一项的分子与分母初看起来关联不年夜，然而假如将此中的分母依照平方差公式分稳定为，能够发觉假如分母都加上1，那么恰恰基本上分子的4倍，因此能够先将原式乘以4落后展盘算，得出后果后除以4就失掉原式的值了原式10.法1：可先寻通项原式法2：原式11.盘算：先寻通项公式原式12.先寻通项：，原式C13.寻通项原式，经过试写咱们又发觉数列存在以上法则，如此咱们就能够轻松写出全体的项，因此有原式14.原式=15.原式16.盘算：通项公式：，原式17.盘算：此题的通项公式为，没办法进展裂项之类的处置留意到分母，能够看出假如把换成的话分母的值稳定，因此能够把原式子中的

7、分数两两组合起来，最初独自剩下一个将项数跟为100的两项相加，得，因此原式或许，可得原式中99项的均匀数为1，因此原式1.尽管非常轻易看出，然而再细心一看，并不什么后果，因为这不象分数裂项那样能消去非常多项咱们再来看前面的式子，每一项的分母轻易让咱们想到公式，因此咱们又有减号前面括号里的式子有10项，减号前面括号里的式子也恰恰有10项，是不是“一个对一个呢？2.盘算：原式3.原式4.盘算：原式5.盘算：法一：应用等比数列求跟公式。原式法二：错位相减法设那么，收拾可得法三：此题与例3比拟，式子中各项基本上成等比数列，然而例3中的分子为3，与公比4差1，因此能够采纳“借来还去的办法，此题假如也要采纳“借来还去的办法，需求将每一项的分子变得也都与公比差1因为公比为3，要把分子变为2，能够先将每一项都乘以2进展算，最初再将所得的后果除以2即失掉原式的值由题设，那么应用“借来还去的办法可失掉，收拾失掉1.盘算：原式2._；_不雅看可知31415925跟31415927都与31415926相差1，设，原式原式3.盘算：原式4.盘算：原式5，原式6.盘算：此题能够直截了当将两个乘积盘算出来再求它们的差，但灵敏采纳平方差公式能收到更好的后果原式7.盘算：此题能够直截了当盘算出各项乘积再求跟，也能够采纳平方差公式原式此中能够直截了当盘算，但假如项数较多，应