2020-2021广州中考数学 相似 综合题

1、 2020-2021 广州中考数学 相似 综合题一、相似1如图，在平面直角坐标系中，直线 y= x+ 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、A，与直线y= 相交于点 C动点 P 从 O 出发在 x 轴上以每秒 5 个单位长度的速度向 B 匀速运动，点Q 从 C 出发在 OC 上以每秒 4 个单位长度的速度，向 O 匀速运动，运动时间为 t 秒（0t2）（1）直接写出点 C 坐标及 OC、BC 长；（2）连接 PQ，若 OPQ 与 OBC 相似，求 t 的值；（3）连接 CP、BQ，若 CPBQ，直接写出点 P 坐标【答案】（1）解：对于直线 y= x+ ，令 x=0，得到 y= A（0， ），令

2、y=0，则 x=10， B（10，0），由，解得， C（，） OC=8，BC=10 （2）解：当时， OPQ OCB， t=当时， OPQ OBC， t=1，综上所述，t 的值为 或 1s 时， OPQ 与 OBC 相似（3）解：如图作 PHOC 于 H OC=8，BC=6，OB=10， OC+BC =OB ，222 OCB=90， 当 PCH= CBQ 时，PCBQ PHO= BCO=90， PH BC， PH=3t，OH=4t， tan PCH=tan CBQ， t= 或 0（舍弃）， t= s 时，PCBQ【解析】【分析】（1）根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出 A,B 点的坐标，解联立

3、直线AB,与直线 OC 的解析式组成的方程组，求出 C 点的坐标，根据两点间的距离公式即可直接算出 OC,OB 的长；（2）根据速度乘以时间表示出 OP=5t，CQ=4t，OQ=8-4t，当 OPOC=OQOB 时， OPQ OCB，根据比例式列出方程，求解得出 t 的值；当 OPOB=OQOC 时， OPQ OBC，根据比例式列出方程，求解得出 t 的值，综上所述即可得出 t 的值；（3）如图作 PHOC 于 H根据勾股定理的逆定理判断出 OCB=90，从而得出当 PCH= CBQ 时，PCBQ根据同位角相等二直线平行得出 PH BC，根据平行线分线段成比例定理得出 OPOB=PHBC=OH

4、OC,根据比例式得出 PH=3t，OH=4t，根据等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义，由 tan PCH=tan CBQ，列出方程，求解得出 t 的值，经检验即可得出答案。2如图，在一块长为 a(cm)，宽为 b(cm)(ab)的矩形黑板的四周，镶上宽为 x(cm)的木板，得到一个新的矩形（1）试用含 a，b，x 的代数式表示新矩形的长和宽；（2）试判断原矩形的长、宽与新矩形的长、宽是不是比例线段，并说明理由【答案】（1）解：由原矩形的长、宽分别为 a(cm)，b(cm)，木板宽为 x(cm)，可得新矩形的长为(a2x)cm，宽为(b2x)cm（2）解：假设两个矩形的长与宽是成比例线段，

5、则有，由比例的基本性质，得 ab2bxab2ax， 2(ab)x0. ab， ab0， x0，又 x0， 原矩形的长、宽与新矩形的长、宽不是比例线段【解析】【分析】（1）根据已知，观察图形，可得出新矩形的长和宽。 （2）假设两个矩形的长与宽是成比例线段，列出比例式，再利用比例的性质得出 x=0，即可判断。3如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴分别交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，且 OA=1，OB=3，顶点为 D，对称轴交 x 轴于点 Q（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）点 P 是抛物线的对称轴上一点，以点 P 为圆心的圆经过 A、B 两点，且与直线 CD 相切，求点 P

6、 的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 M，使得DCM BQC？如果存在，求出点 M的坐标；如果不存在，请说明理由【答案】（1）解：代入解得，得 抛物线对应二次函数的表达式为：（2）解：如图，设直线 CD 切P 于点 E连结 PE、PA，作点 由得对称轴为直线 x=1， 为等腰直角三角形为等腰三角形中，设在整理，得解得， 点 P 的坐标为或（3）解：存在点 M，使得如图，连结为等腰直角三角形，由（2）可知，分两种情况当时，解得 当时，解得综上，点 M 的坐标为或【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由（1）中的解析式易求得抛物线的对称轴为直线 x=1，顶点 D（1，4），点

7、 C（0，3），由题意可设点 P（1，m），计算易得 DCF 为等腰直角三角形， DEP 为等腰三角形，在直角三角形 PED 和 APQ 中，用勾股定理可将 PE、PA 用含 m 的代数式表示出来，根据 PA=PE 可列方程求解；（3）由 DCM BQC 所得比例式分两种情况：或，根据所得比例式即可求解。4在平面直角坐标系中，二次函数（1，0）两点，与 y 轴交于点 C的图象与 轴交于 A（3，0），B（1）求这个二次函数的解析式；（2）点 P 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 P，使 ACP 的面积最大？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）点 Q 是直线 AC

8、 上方的抛物线上一动点，过点 Q 作 QE 垂直于 轴，垂足为 E是否存在点 Q，使以点 B、Q、E 为顶点的三角形与 AOC 相似？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由；【答案】（1）解：由抛物线过点 A（3，0），B（1，0），则 解得 二次函数的关系解析式（2）解：连接 PO，作 PMx 轴于 M，PNy 轴于 N设点 P 坐标为（m，n），则PM =，AO=3当时，2 OC=2 10， 当时，函数有最大值此时 存在点，使 ACP 的面积最大（3）解：存在点 Q，坐标为：，分 BQE AOC， EBQ AOC， QEB AOC 三种情况讨论可得出【解析】【分析】（1）由题意

9、知抛物线过点 A（3，0），B（1，0），所以用待定系数法即可求解；（2）因为三角形 ACP 是任意三角形，所以可做辅助线，连接 PO，作 PMx 轴于 M，PNy 轴于 N则三角形 ACP 的面积=三角形 APM 的面积+矩形 PMON 的面积-三角形 AOC的面积-三角形 PCN 的面积。于是可设点 P 的 横坐标为 m，则纵坐标可用含 m 的代数式表 示出来，即 M（m, m + 2）,则三角形 ACP 的面积可用含 m 的代数式表示，整理可得是一个二次函数，利用二次函数的性质即可求解；（ 3 ） 根 据 对 应 顶 点 的 不 同 分 三 种 情 况 （ BQE AOC ， EBQ A

10、OC ， QEB AOC）讨论即可求解。5在平面直角坐标系中，抛物线与 轴的两个交点分别为 A（-3，0）、B（1，0），与 y 轴交于点 D(0，3)，过顶点 C 作 CHx 轴于点 H.（1）求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标；（2）连结 AD、CD，若点 E 为抛物线上一动点（点 E 与顶点 C 不重合），当 ADE 与 ACD 面积相等时，求点 E 的坐标；（3）若点 P 为抛物线上一动点（点 P 与顶点 C 不重合），过点 P 向 CD 所在的直线作垂线，垂足为点 Q，以 P、C、Q 为顶点的三角形与 ACH 相似时，求点 P 的坐标.【答案】 （1）解：设抛物线的解析式为 抛物线过

11、点 A(-3，0),B(1，0)，D(0，3)，解得，a=-1，b=-2，c=3，顶点 C（-1,4）； 抛物线解析式为（2）解：如图 1， A(-3，0)，D(0，3), 直线 AD 的解析式为 y=x+3，设直线 AD 与 CH 交点为 F，则点 F 的坐标为(-1，2) CF=FH，分别过点 C、H 作 AD 的平行线，与抛物线交于点 E，由平行间距离处处相等，平行线分线段成比例可知， ADE 与 ACD 面积相等， 直线 EC 的解析式为 y=x+5，直线 EH 的解析式为 y=x+1，分别与抛物线解析式联立，得，解得点 E 坐标为(-2，3)，；（3）解：若点 P 在对称轴左侧（如图

12、 2），只能是 CPQ ACH，得 PCQ= CAH，分别过点 C、P 作 x 轴的平行线，过点 Q 作 y 轴的平行线，交点为 M 和 N，由 CQM QPN， 得=2， MCQ=45，设 CM=m，则 MQ=m，PN=QN=2m，MN=3m， P 点坐标为(-m-1，4-3m)，将点 P 坐标代入抛物线解析式，得，解得 m=3，或 m=0(与点 C 重合，舍去) P 点坐标为(-4，-5)；若点 P 在对称轴右侧（如图），只能是 PCQ ACH，得 PCQ= ACH，延长 CD 交 x 轴于 M， M(3，0)过点 M 作 CM 垂线，交 CP 延长线于点 F，作 FNx 轴于点 N， M

13、CH=45，CH=MH=4 MN=FN=2， F 点坐标为(5，2)， 直线 CF 的解析式为 y=，联立抛物线解析式，得，解得点 P 坐标为(， ).， )，综上所得，符合条件的 P 点坐标为(-4，-5)，(【解析】 【分析】（1）将 A（-3，0）、B（1，0）、D(0，3)，代入 y=ax2+bx+3 求出即可；(2)求出直线 AD 的解析式，分别过点 C、H 作 AD 的平行线，与抛物线交于点 E，利用 ADE 与 ACD 面积相等，得出直线 EC 和直线 EH 的解析式，联立出方程组求解即可;(3)（3）分两种情况讨论：点 P 在对称轴左侧；点 P 在对称轴右侧. 6如图 1，在平

14、面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax +bx-5 与 x 轴交于 A(-1，0)，B(5，0)两2点，与 y 轴交与点 C.（1）求抛物线的函数表达式;（2）若点 D 是 y 轴上的点，且以 B、C、D 为顶点的三角形与ABC 相似，求点 D 的坐标;（3）如图 2，CE/x 轴与抛物线相交于点 E，点 H 是直线 CE 下方抛物线上的动点，过点 H且与 y 轴平行的直线与 BC、CE 分别相交于点 F，G，试探求当点 H 运动到何处时，四边形CHEF 的面积最大，求点 H 的坐标及最大面积.【答案】 （1）解：把 A(-1，0)，B(5，0)代入 y=ax +bx-5 可得2，解得二次函数的

15、解析式为 y=x -4x-5.2（2）解：如图 1,令 x=0，则 y=5， C(0,5)， OC=OB， OBC= OCB=45， AB=6,BC=5， 要使以 B,C,D 为顶点的三角形与ABC 相似,则有或，当时，CD=AB=6， D(0,1)，当时， CD= D(0,，)，即：D 的坐标为(0,1)或(0,)；（3）解：设 H(t，t2-4t-5) x 轴，又因为点 E 在抛物线上，即，解得（舍去） BC 所在直线解析式为 y=x-5,则，而 CE 是定值， 当 HF 的值最大时，四边形 CHEF 有最大面积。当时，HF 取得最大值 ，四边形 CHEF 的最大面积为,此时 H( ，)【

16、解析】【分析】（1）根据待定系数法直接确定出抛物线解析式；（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点 D 的坐标；（3）先求出直线 BC 的解析式，进而求出四边形 CHEF 的面积的函数关系式，即可求出最大值； 7如图，在矩形 ABCD 中，AB=2cm， ADB=30P，Q 两点分别从 A，B 同时出发，点 P沿折线 ABBC 运动，在 AB 上的速度是 2cm/s，在 BC 上的速度是 2 cm/s；点 Q 在 BD上以 2cm/s 的速度向终点 D 运动，过点 P 作 PNAD，垂足为点 N连接 PQ，以 PQ，PN为邻边作PQMN设运动的时间为 x（s），PQMN 与矩形 AB

17、CD 重叠部分的图形面积为 y（cm ）2（1）当 PQAB 时，x=_；（2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围；（3）直线 AM 将矩形 ABCD 的面积分成 1：3 两部分时，直接写出 x 的值【答案】（1）（2）解：如图 1 中，当 0 x 时，重叠部分是四边形 PQMNy=2xx=2x 2如图中，当 x1 时，重叠部分是四边形 PQEN y= （2x+2txx=x +2x如图 3 中，当 1x2 时，重叠部分是四边形 PNEQy= （2x+2）x2（x1）=x 32x+4；综上所述，y=（3）解：如图 4 中，当直线 AM 经过 BC 中点 E 时，满足条件则有：

18、tan EAB=tan QPB，=，解得 x= 如图 5 中，当直线 AM 经过 CD 的中点 E 时，满足条件 此时 tan DEA=tan QPB，=，解得 x= ，综上所述，当 x= s 或 时，直线 AM 将矩形 ABCD 的面积分成 1：3 两部分【解析】【解答】解：（1）当 PQAB 时，BQ=2PB， 2x=2（22x）， x= s故答案为 s【分析】（1）由题意 BQ=2x,PB=2-2x，当 PQAB 时，根据含 30直角三角形的边之间的关系得：BQ=2PB，从而列出方程，求解即可；（2）如图 1 中，当 0 x 时，重叠部分是四边形 PQMN由题意知：AP=2x，BQ=2x

19、，故平行四边形 AP 边上的高是，根据平行四边形的面积计算方法得出 y 与 x 之间的函数关系式；如图中，当 x1 时，重叠部分的面积等于平行四边形 APQM 的面积减去 AEM 的面积，即可得出 y 与 x 的函数关系式；如图 3 中，当 1x2 时，重叠部分是四边形 PNEQ根据相似三角形的性质，分别表示出 EQ,ME,NE 的长，根据重叠部分等于平行四边形 NPQM 的面积减去 MNE 的面积，即可列出 y 与 x 之间的函数关系；（3）如图 4 中，当直线 AM 经过 BC 中点 E 时，满足条件根据等角的同名三角函数值相等，即 tan EAB=tan QPB，再根据三角函数的定义即可

20、建立方程，求解得出 x 的值；如图 5 中，当直线 AM 经过 CD 的中点 E 时，满足条件根据等角的同名三角函数值相等，即 tan DEA=tan QPB，再根据三角函数的定义即可建立方程，求解得出 x 的值；综上所述即可得出答案。 8（1）如图 1 所示，在中，求证：（2）如图 2 所示，点 在斜边上，点 在直角边上，若.在矩形(或 的延长线)于点 .若 ，求 的长；若点 恰好与点 重合，请在备用图上画出图形，并求 的长.【答案】 （1）证明： 在 中，中，点 在 上，连接 ，过点 作交，.（2）解： 四边形是矩形， ，；如图所示，设，由得，即，整理，得：解得：，所以 的长为或.【解析】

21、【分析】（1）利用平角的定义和三角形的内角和证明即可证得结论；（2）仿（1）题证明，再利用相似三角形的性质即可求得结果；由得，设，根据相似三角形的性质可得关于 x 的方程，解方程即可求得结果.9操作：和都是等边三角形，绕着 点按顺时针方向旋转， 是、的中点，有以下三种图形.探究：（1）在上述三个图形中，是否一个固定的值，若是，请选择任意一个图形求出这个比值；（2）（3）的值是否也等于这个定值，若是，请结合图（1）证明你的结论；有怎样的位置关系，请你结合图（2）或图（3）证明你的结论.与 【答案】 （1）解：是等边三角形，由图（1）得 AOBC，；（2）证明：，（3）证明：在图（3）中，由（2）

22、得， 2+ 4= 1+ 3，即 AEF = AOB AOB=90，.【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得 AOBC，BO= BC= AB，根据勾股定理计算即可求得 AO=可得 AOBC，BO，即 AOBO 是一个固定的值，由同角的余角相等可得， 可 得1；（2）由等边三角形的性质，由（ 1）可得， 根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 可 得，根据相似三角形的；（3）在图（3）中，由（2）得性质可得 1= 2 ，根据对顶角相等得 3= 4 ，则 2+ 4= 1+ 3= AOB=90，即.10在ABC 中， ACB90，AB25，BC15 （1）如图 1，折叠 ABC 使点 A 落在

23、AC 边上的点 D 处，折痕交 AC、AB 分别于 Q、H，若， 求 HQ 的长S ABC9S DHQ（2）如图 2，折叠 ABC 使点 A 落在 BC 边上的点 M 处，折痕交 AC、AB 分别于 E、F若FM AC，求证：四边形 AEMF 是菱形；（3）在(1)(2)的条件下，线段 CQ 上是否存在点 P，使得 CMP 和 HQP 相似？若存在，求出 PQ 的长；若不存在，请说明理由【答案】 （1）解：如图 1 中，在 ABC 中， ACB90，AB25，BC15， AC20，设 HQx ， HQ BC ， AQ x ， S ABC9S DHQ， 20159 x x ， x5 或5（舍弃）

24、， HQ5，故答案为 5（2）解：如图 2 中， 由翻折不变性可知：AEEM ， AFFM ， AFE MFE ， FM AC ， AEF MFE ， AEF AFE ， AEAF ， AEAFMFME ， 四边形 AEMF 是菱形（3）解：如图 3 中，设 AEEMFMAF4m ， 则 BM3m ， FB5m ， 4m+5m25， m， AEEM EC20 CM， QG5，AQ， QC ，设 PQx ， 当时， HQP MCP ，解得：x，当时， HQP PCM ，解得：x10 或，经检验：x10 或 是分式方程的解，且正确，综上所，满足条件长 QP 的值为 或 10 或【解析】【分析】（1

25、）利用勾股定理求出 AC，设 HQ=x，根据 S ABC=9S DHQ ， 构建方程即可解决问题；（2）想办法证明四边相等即可解决问题；（3）设 AE=EM=FM=AF=4m，则BM=3m，FB=5m，构建方程求出 m 的值，分两种情形分别求解即可解决问题.11如图 1，在 ABC 中，在 BC 边上取一点 P，在 AC 边上取一点 D，连 AP、PD，如果 APD 是等腰三角形且 ABP 与 CDP 相似，我们称 APD 是 AC 边上的“等腰邻相似三角形”. （1）如图 2,在 ABC 中 AB=AC, B=50， APD 是 AB 边上的“等腰邻相似三角形”，且AD=DP， PAC= B

26、PD，则 PAC 的度数是_；（2）如图 3，在 ABC 中， A=2 C，在 AC 边上至少存在一个“等腰邻相似 APD”，请画出一个 AC 边上的“等腰邻相似 APD”，并说明理由；（3）如图 4，在 Rt ABC 中 AB=AC=2， APD 是 AB 边上的“等腰邻相似三角形”，请写出AD 长度的所有可能值.【答案】 （1）30（2）解：如图 3 中， APD 是 AC 边上的“等腰邻相似三角形”，理由：作 BAC 的平分线 AP 交 BC 于 P，作 PD AB 交 AC 于 D， BAP= PAD= DPA， CPD= B， DP=DA， CAB=2 C， BAP = C， APD

27、 是等腰三角形且 APB 与 CDP 相似， APD 是 AC 边上的“等腰邻相似三角形”（3）解：如图 3中，当 DA=DP 时，设 APD= DAP=x，若 BPD= CAP=90-x， BDP= CPA=2x， 90-x+2x+x=180， x=45， 三角形都是等腰直角三角形，易知 AD=1；若 PDB= CAP 时，设 APD= DAP=x，得到 PDB= CAP=2x，易知 x=30，设 AD=a，则 AP= BPD CPA，即，解得，如图 4 中，当 PA=PD 时，易知 PDB 是钝角， CAP 是锐角， PDB= CPA，则 BPD CPA，设 AD=a，则 BD=2-a，A

28、C=2，解得 a=，如图 5 中，当 AP=AD 时，设 APD= ADP=x，则 DAP=180-2x，易知 PDB 为钝角， CAP 为锐角， PDB= CPA=180-x， CAP=90- DAP=90-（180-2x）=2x-90，在 APC 中，2x-90+180-x+45=180，解得 x=45，不可能成立综上所述AD 的长为 1 或或【解析】【解答】（1）解：如图 2 中， ABAC，DADP， B C， DAP DPA， PAC BPD， APC BDP DAP DPA， APC B BAP， B PAB50， BAC180505080， PAC30故答案为 30【分析】（1）根据等边对等角和三角形外角的性质证明 B PAB 即可解决问题（2）如图 3 中，作 BAC 的平分线 AP 交 BC 于 P，作 PD AB 交 AC 于 D，根据平行线的性质和角平分线定义可得 BAP= PAD= DPA， CPD= B，结合 A=2 C 可证 APD 是等腰三角形且 APB 与 CDP 相似，即可解决问题（3）分三种情形讨论：如图 3中，当 DADP 时；如图 4 中，当 PAPD 时；如图 5 中，当 APAD 时；分别求解即可解决问题12抛物线 y=ax +bx+3（a0）经过点 A（1，0），B（ ，