中科大数学实验课件

1、2022/9/8何谓“数学实验”对数学进行折腾连蒙带猜找规律从问题出发学生自己动手、动眼、动脑借助于计算机（成千上万次折腾）尝试数学的探索、发现和应用2022/9/8实验一：微积分基础函数图象： sin(x)及其Tylor逼近。 sin(x)+sin(3x)/3+ sin(1/x)在x=0附近的性状。2022/9/8Sin(x) 及其 Tylor 逼近 2022/9/8sin x+sin3x/3+sin nx/n2022/9/8Sin (1/x) 在 x=0 附近2022/9/8d=Table1/n,Sinn, n,1,1000 (定义点集）ListPlotd （画出点集）点集中显现出什么曲线

2、？画数据点集合2022/9/8 Table1/n,Sinn, n,1,100002022/9/8实验二: 的计算 想一想：怎样算 ？ 当一回祖冲之！2022/9/8圆的面积单位圆的面积等于 计算第一象限内的单位圆的面积，方法为：把它分成n个窄的曲边梯形，计算S大，S小，其中n可以为1000, 10000, .2022/9/8 S小 S大2022/9/8数值积分：2022/9/8无穷级数法arctan x =x-x3/3+x5/5-x7/7+x9/9-. /4 = arctan 1 =1-1/3+1/5-1/7+1/9-收敛太慢！|x| 应当比 1 小很多，级数收敛才快。 /4 = arctan

3、 1/2 + arctan1/3 /4 = 4 arctan 1/5 - arctan 1/2392022/9/8蒙特卡洛方法求出S=/4占S正方形ACBO的比例。随机投点P(x,y)P在圆内x2+y21/4的近似值为落在圆内 的点数与总投点数的 比值ASCBO2022/9/8 某次随机投点的结果2022/9/8实验三: 最佳分数近似值问题： 祖冲之的圆周率为 A. 3.141592， B. 355/113 ? 上述哪一个值更佳？2022/9/8评选最佳何为最佳？误差d小，分母v小。选法1：递增选v，使d 递减。选法2：递增选v，使 vd 递减。选法3：按 v2d 从小到大选十佳。2022/9

4、/8快速寻佳2022/9/8音阶的频率比声音越高，频率越高。1，2，3，4，5，6，7，i 频率各是多少？高8度 i 是 1 的2倍。其余的音是 1 的几倍？十二平均律：频率等比上升，每半度升高 21/12。比例都是无理数。但为了音乐和谐，比例应是简单分数。矛盾的解决办法：用最佳分数近似值！2022/9/8音阶的频率比高8度 i 是 1 的2倍。其余的音是 1 的几倍？十二平均律：频率等比上升，每半度升高 21/12:1,1#, 2,2#, 3, 4,4#, 5, 5#, 6, 6#, 7, i 1, 22/12, 24/12, 25/12, 27/12, 29/12, 211/12, 2比例

5、都是无理数: 1, 1.12246, 1.25992, 1.33484, 1.49831, 1.68179, 1.88775, 2但为了音乐和谐，比例应是简单分数怎样解决矛盾：用分母尽可能小的分数近似值： 1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8, 22022/9/8实验八: 天体运动 万有引力定律 - 开普勒定律太阳位置 (0,0)时刻 ti: 天体位置(xi,yi), 速度 (vix,viy)ri2=xi2+yi2,加速度大小 | ai|=k/(ri2), 加速度矢量（ aix,aiy)=(-|ai| xi/ri,-|ai| yi/ri)ti+1= ti+ d: v

6、i+1,x=vix+aixd , vi+1,y=viy+aixd; xi+1 = xi + vi+1,x d, yi+1 = yi + vi+1,y d从初始位置和初速度开始,一段段画出轨道2022/9/8万有引力定律 - 开普勒定律2022/9/8不同的初速度对轨道的影响2022/9/8凹面镜的正确形状画图观察球面镜是否将平行光线聚于一点？要求凹面镜将平行光线聚于一点F，画出凹面镜截面曲线：从顶点 P0出发，向垂直于入射光线的方向前进一小段到 P1。一般的，设曲线已到Pi，则反射光线为P i F。按反射定律确定镜面曲线的走向，前进一小段到 P i+1 点。重复此过程。观察猜测上面画出的是什么

7、曲线？验证。2022/9/8球面镜的反射2022/9/8球面镜的反射 正确的聚光镜 形状2022/9/8点电荷组的电力线与等势线从一个点电荷的位置 P0 向任一方向出发走一小段到 P1 点。利用库伦定律计算 P1点电场强度方向，从 P1点出发向此方向走一小段到 P2 点。重复此过程可画出一条电力线。换另外的方向出发可画出另外的电力线。同理可画出等势线。2022/9/8 异种电荷 同种电荷2022/9/8微分方程 dy/dx=x2+y2的解2022/9/8实验七: 几何变换(x,y) (x,y) x=f1(x,y), y=f2(x,y)曲线C: x=x(t),y=y(t) 曲线C：x=f1(x(

8、t),y(t), . y=f2(x(t),y(t) 2022/9/8线性变换 x=a1x+b1y, y=a2x+b2y. 画出由平面直线段或曲线段组成的图形C及其象C。观察：直线、平行、垂直、长度、角度、圆 ?2022/9/8线性变换前后的图形2022/9/8线性变换的特征向量 观察向量方向变化情况：左偏，右偏，不变，反向。变换作用多次，观察趋势。2022/9/8向量方向的变化2022/9/8变换的迭代2022/9/8射影变换 x = x / (1-x), y= y / (1-x). 直线、相交、平行 ？ 相交于x=1的直线 ？ 圆(与x=1相离、切、交) ?2022/9/8相交直线变成平行直线2022/9/8圆变成圆锥曲线2022/9/8代数基本定理复多项式 f (z)有复零点 z0. f (x+y i) = x+ y i 决定实变换 j : (x,y) (x,y). 画半径R的圆CR CR. R很大,CR含原点。R 0时 CR连续缩为一点。必扫过原点。2022/9/8 复多项式f(z)引起的变换： 变换前为半径r的圆2022/9/8实验十一: 最速降线 重力场中高度不同的两点A，B。在A静止的质点沿怎样的路径下滑到B点，时间最少？202