北大力学课件00数学补充知识

1、0第零章 数学补充知识A 行列式B 矢量的代数运算C 一元函数微积分D 多元函数微积分1A 行列式A.1 行列式2元素：i: 行标; j: 列标三阶行列式可以一般地表述成2阶、1阶、零阶行列式分别表述成3行列式的运算规则可用下述递归方式定义：定义4性质1：行列可互换性5性质2：一行的公因子可以提出6性质4：如果行列式中两行成比例， 那么行列式为零。性质3：对换行列式中两行的位置， 行列式反号。7A.2 应用引入分母行列式线性代数方程组8引入分子行列式方程组的解能表述为9例1. 公比0q1的无穷等比级数求和10例2. 求无穷串并联系列的电阻RAB设AB间的电阻为RAB则有11思考题1：取火柴游戏

2、 N根火柴，2人取，每人一次取1至a根，最后取者为负（a1) 对先取者，什么样的N是必胜态，什么样的N是必败态12思考题2：机器猫与玩具鼠 鼠 猫不动0 1 2 3 只要猫捉到鼠，游戏结束，问猫捉到鼠的概率P=？13B 矢量的代数运算B.1 矢量的叠加与分解既有大小，又有方向的量是矢量，记为标量：只有大小，没有方向矢量的大小称为矢量的模，记为 A单位方向矢量14万有引力定律Mm15矢量的代数性质矢量的叠加:矢量的和标积和矢积：矢量的乘矢量与标量的关系数乘：标量与矢量的乘积仍是一个矢量矢量之间的关系16两个矢量的和矢量的叠加满足交换律和结合律17矢量的分解x轴单位矢量y轴单位矢量z轴单位矢量可简

3、写为:18k维空间K维空间矢量矢量的模矢量的和19思考题3： k维空间正方“体”顶点数棱数面数面积体积3维正方体81266a2a32维正方“体”4444aa21维正方“体”2122a20从度量的角度分析，为什么数学上给出 S1=2(2)对k维空间正方“体”， 用递归方法求出它的顶点数、棱数和“面”数； 若棱长为a，再求它的“体积” Vk和“面积” Sk21B.2 矢量的标积显然有矢量的模量22矢量标积的一些基本性质23三维空间单位矢量的标积满足正交性归一性矢量的某一分量24k维空间正交归一性25例题3 重力功的计算26B.3 矢量的矢积三维空间两个矢量的矢积定义为27矢积的一些基本性质反交换律

4、分配律进一步可导出其它较复杂的公式,例如28矢积只能在三维空间中进行, 对于坐标基矢有矢积的行列式表示29例4 矢积在物理学中的应用一力矩角动量洛仑兹力30安培力毕奥-沙伐尔定律abP例5 矢积在物理学中的应用二31B.4 矢量的三重积几何意义：平行六面体的体积三重标积的循环可交换性三重标积32矢量的三重矢积三重矢积必在B、C确定的平面内， 是B、C的线性组合。33A组2、3、6、8、10、11、14、15、18B组22、23、24数学补充知识作业题34C 一元函数微积分C.1 微分一元函数可记为或O自变量 x 的增量:函数增量:35线性函数当自变量的增量很小时，其它函数的增量能否写成类似的形

5、式？36抛物线函数含有高阶无穷小，其它函数类似。3738自变量增量时, 称为自变量微分,改记成dx相应的函数增量, 称为函数微分,记成dydy与dx的关系微分 忽略高阶无穷小39数学上可以证明, 对无穷小量dx, 有40C.2 微商（导数） 定义OxxyyPQ几何意义: 平均变化率函数在x处的导数等于函数曲线在x处切线的斜率41例6 函数导数的几个实例42导数的一些重要性质43复合函数的微商链式法则:44例7 几个函数的求导可看作45可变换为即得46可变换为即得47可递归地得到既有48三个常用导数公式是任意实数49二阶导数简写成依此类推, n阶导数记作50例如51极大值或极小值? 则由该点的二

6、阶导数来确定导数与极值OxyyPxQM52极大值点极小值点OxyyPxQMN53非极值点，称为拐点在 x = 0 处54例题 找出 的全部极值点 极大值点极小值点55泰勒展开导数的一个重要应用函数的幂级数展开自变量函数增量也可写成猜想函数有如下的幂级数展开-泰勒(Taylor)级数56确定泰勒级数的展开系数展开式两边对 x 依次求导, 再取 x = x0, 可确定所有项的系数泰勒级数的收敛性因为y(x)是有限的, 所以至少要求57 函数y(x)若能在x0两侧某范围内展开为泰勒级数，便称这一范围为y(x)的收敛区域。x0= 0的泰勒级数，也称为马克劳林(Maclaurin)级数58第1项前3项前

7、2项前4项前9项59奇函数偶函数例题8 导出欧拉(Euler)公式60比较得61矢量微商许多物理量是矢量，一般都随时间和空间坐标而变化。任意矢量A(t)可分解为其中基矢均不随t变化。A对t的导数为即有62例如质点位矢 r 分解成速度加速度63矢量A(t)与矢量B(t)的标积即得6465C.3 积分若称 f (x) 是 F (x) 的导函数， F (x) 是 f (x) 的原函数定积分Oxyxx+dx66积分的上限积分的下限原函数求导导函数积分积分是求导的逆运算67最简单的积分Oxyxx+dx68不定积分: 求函数的所有原函数几个常用公式:69不定积分的一个重要性质定积分的几何意义Oxyxx+d

8、x70例题9 定积分与曲线长度Oxyxdxdydly = f (x)71D 多元函数微积分D.1 偏微商（偏导数）多元函数是由多个独立自变量构成的函数理想气体的状态方程长方形的体积72仅由自变量x1的无穷小变化引起的函数增量称为函数对x1的偏微分类似可引入函数对其它自变量的偏导数函数对x1的偏微商或偏导数73例如：理想气体的状态方程T 对p求偏导数时将V处理为常量T 对V 求偏导数时将p处理为常量74k 个自变量均有无穷小增量时引起的 y 增量例如 理想气体的状态方程多元函数的全微分75或或D.2 线积分、面积分和体积分 物理学中的物理量一般都是空间位置r的函数，经常需要沿着某一路径、在某一曲面上、在某一体积内积分，所以引入多元函数的线积分、面积分和体积分。标量矢量它可分解成三个分量76线积分将a到b的一段曲线分成一系列无穷短的线段，称为线元，记作dl沿L的线积分L是闭合曲线矢量对闭合曲线77面积分面元矢量化内外积分是在曲面的二维空间中进行，是二重积分.78内外在 S 面上的标积性面积分标量和矢量在闭合曲面上的面积分，特别地写成例如 流体的流量，电磁场的