2012年广州一模理科数学试卷及答案

1、 注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。2选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5考生必须保

2、持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。1S3 1xx x222方差s2x x x x x xx1212nnn一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 1已知复数i i 1 i （其中a b aAB1y logB2 的定义域为集合 ，则x 2已知全集U R ，函数2UA 2, 1 f x sin3如果函数0 的相邻两个零点之间的距离为 ，则 的值为x612A3B6C12D2422224已知点，0 ）是圆 ：内一点，直线 的方程为lax by r 0 ，那么直abO 线 与圆 的位置关系是lOB相切C相交21 ，对于任意正

3、数 ，是成立的ax x a1212B必要非充分条件D既不充分也不必要条件abab3, 4 ，其 中 为 与 的夹角若则的值为C886，ABCBC 6D概率为11123C6328从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 10 个数字中任取 3 个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的是 3 的倍数，则满足条件的点的个数为A252B216C72D42（一）必做题（913 题）22229如图 1 是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为222kx 1 dx4正(主)视图侧(左)视图12在区间 0,11已知幂函数y m2m2，12已知集合，213两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙

4、滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，1 ，第2个五角形数记作5 ，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作a 22 ，若按此规律继续下去，则，若145 ，则n 4 2215BAB的中点，OCP1DPcm A3OlC参数方程分别为 ：ls2y t若l 与 相交于 、 两点，则 ABCAB三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）已知函数 ( ) tan 3f x x 4f9（2）设，若2 ，求cos ,f234417（本小题满分12分）5X18

5、（本小题满分14分）如图 5 所示，在三棱锥 P ABC 中，AB BC6 ，平面 PAC平面AC 于点 ，D，CD 3 ， PDACDB （2）求直线与平面所成角的正弦值PBCAP等比数列的各项均为正数，2 , , 4 成等差数列，且 2a aa aaa43532n a的通项公式；n，求数列abnnnn2A B C A B1的左，右两个顶点分别为 、 曲 线 是以 、 两点为顶点，离心率为 524与椭圆相交于另一点 TPAP（1）求曲线 的方程；C（2）设 、 两点的横坐标分别为 、 ，证明： 1 ；x x PTx212与，求OSS S221212的取值范围x2x3xn设函数 ( ) e (

6、e 为自然对数的底数)， ( ) 1L（x2! 3!n( ) ；f ( x) g x10 时，比较( ) 的大小，并说明理由；g xx n 1 222232n（3）证明：1e （L g 23 n 说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3

7、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共8小题，每小题5分，满分40分12345678DBCABDCA二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分其中 1415题是选做题，考生只能选做一题第 13 题仅填对 1 个，则给 3 分 1, 2910113121335，10146 2（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）f93343 分3 4 分34tan f34

8、44 tan tan 2sin 所以2 ，即sin 2 cos cos 22 1由、解得cos 2 9 分552511 分444522522（本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）11 a 93 95) ，1 分(87 89 96 96)(87 9044解得3 .2 分（2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为x 92 .3 分187 92293 92293 922224（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4 4 16 种可能的结果6 分 这两名同学成绩之

9、差的绝对值 的所有情况如下表：X甲96987643364338611所以 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，6，8，9.8 分X1214由表可得 (P X 0)，.16161616所以随机变量 的分布列为：X901234681214231210 分16随机变量 的数学期望为X12142312 18 9 11 分161668174.12 分16 （本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明 1：因为平面平面，平 面平面，平面ABCABCACPAC所以平面记中，所以AC

10、ABC 2因为因为6 ，4 ，所以622 3 分AC222，所以为直角三角形PD ACPCDP因为所以连接2 CD32 3 4 分22E，在 Rt 中，因为2 ，D E 1ACD2所以因为2 DEB22平面，平面ABCABC中，因为3 ，3 ，22所以336 6 分2 3 ， BD22在6 ， PB 6 ，PCPBC所以所以BC2 PB2 PC2为直角三角形7 分平面 ，平面 I 平面 平面 ，PAC PD ACPBC，ABC所以平面记中，因为ACABCAB BC2因为连接所以在所以6 ，62 3 分AC22，在 Rt 中，因为 BED 90 ，2 ，oBE 2 DE23 4分226 ， 3

11、，BCBCD，所以5分 BD C D BDBC222BC平面，平面，ABC6分，所以平面BD PD D平面BC为直角三角形7分 的垂线，垂足为 ，连HAPBC则为直线与平面所成的角8 分APPBC1的面积2 2 9 分ABCS2ABC112 6因为2 23 10 分 PD 333ABC6 ，6 ，3 11 分BC11所以的面积66 SPBC22PBC因为三棱锥与三棱锥，12 6即3，所 以33中，因为3 ，2所以312 2 13 分 AD222 6326因为sin（资料来源：中国高考吧 ）36与平面PBC3解法 2：过点 作D，则与平面所成的角8 分PBCPBC，且，P PB P所以因为平面平

12、面，平面则平面ADNCD所以为直线与平面 DMNPBC3 ，2312 2 11 分 AD22DM3，所以，即223 ，3 ，3 36所以13 分62PB 626因为sin，3326所以直线与平面14 分AP3解法 3：延长CB 至点 ，使得，连接GAGP在所以在所以PCG C PG 90oK中，因为2 3 ，PACPCP A 2EACD，PA222B所以CP PA因为I，GPA PG PAK PG因为平面，AK PAG因为所以所以I平面PCG，BC PB所以2 3 EB所以在所以22 2 12 分中，2 2 ，P A 2PG13 分PA2222 26因为sin2 336与平面所成角的正弦值为P

13、BC3解法 4：以点 为坐标原点，以，E，8 分 则0, 1, 3 PzABCP于是3 ，0, 3, 3 设平面的法向量为PBCnEAyDCn则Bx2 x y 3z 0,即取3 y 3z 0.，则3 ，2 （资料来源：中国高考吧 ）z x 2 ,1, 3 12分PBC与平面APAP n4636与平面3，EECxy，1 分E xyz zP则2 , 0, 0 ，BC 于是因为BP BC EAyDC 所以Bx所以所以BP BC为直角三角形7分0, 2, 0 （2）由（1）可得，A于是2 ,1,3 ，0, 3,设平面的法向量为PBCn n则取即，则2 y 1z 所以平面设直线PBC与平面PBCAP n

14、46则sin cos AP ,n 3AP n6所以直线与平面3（本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）n,45即23453a 2a .223232,234所以由于11222111a ,1,0 ，q 0或15 分a 1. 1. q21又0,，6 分a 1211n *）7 分n N（ann1（2）解：由（1），得b a nnn2112nn11n 1n 所以S b b n12n11111122n 1 211故数列bnnn（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化

15、、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力），A(1, 0)y设双曲线 的方程为Cx2b2，所以51y21 3 分x24（2）证法 1：设点 ( , ) 、 ( , ) （0 ，0 ，i 1, 2 ），直线P x yT x yAP1122y k ( x 1)y2 1.4 整理，得 4240 ， k x k x k 22222所以6 分x 2227 分x 14 k所以1 8 分12证法 2：设点 ( , ) 、 ( , ) （P x y T x y0 ，y 0 ，i 1, 2 ），i1122 yy则，k1k2APxAT1yyy2y2因为，所以，即k1212x 2APATx 12

16、1x1212y2y21 ，Tx21x224412 即，y22 1y21122 22x 所以所以，即121212x x 1 8 分12y证法 3：设点 ( , ) ，直线P x y的方程为x 1) ，4 分y 1(111x 1yy x 1 ,1x 11y2x2 1.4整理，得 4(2x2222221112x 121112将4，得y22x 1x 112xxxy111所以1 8 分x x 12（3）解：设点 ( , ) 、 ( , ) （0 ，y 0 ，i 1, 2 ），iP x yT x y1122，1则1,1111122215 ，即16 9 分x11111y2因为点 在双曲线上，则P44 16

17、，即 x21x22x241111因为点 是双曲线在第一象限内的一点，所以12 10 分P1 因为所以| | ，|222111S22 y2y22242412212112112x1设4 ，t x t 14 5 t S212t 2 t 2 t44 设5，则 1，f t t f ttt2t24 时， f tf t 在 1, 2 上单调递增，在 2, 4 上单调递减所以函数f t因为1 ，140 ，ffx 4 0 12 分所以当t 4 ，即2112minx S22 2 113 分112max 的取值范围为 0,1 14 分所以S221说明：由54S222S212121212max21（本小题满分 14

18、分）（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）证明：设 ( )1 ，x f x g x e x x111 1 分x1当x xxx111, 0) 上单调递减，在(0,) 上单调递增，在x 0 处取得唯一极小值，2 分x1因为 (0) 0 ，所以对任意实数 均有 ( ) (0) 0 x x111f x g x 1( ) 3 分f x g x1数学（理科）参考答案及评分标准 第 10 页（共 12 页） 0 时，( ) 4 分f ( x) g xx n当( ) n f ( x) g x1假设当（*）时，对任意f ( x) g x( ) ，5 分n k Nkk( )( ) ，xxx