北师大版七年级数学寒假班讲义(基础班)

第一讲整式的乘方

一.同底数鬲的乘法

优（其中明〃都是正整数）.即同底数幕相乘，底数不变，指数相加.

要点诠释:（1）同底数幕是指底数相同的幕，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.

（2）三个或三个以上同底数幕相乘时，也具有这一性质,即屋•"=屋…"（机n.〃都是正整数）.

（3）逆用公式：把一个鬲分解成两个或多个同底数幕的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的

指数之和等于原来的幕的指数。即a”（m,〃都是正整数）.

例题

1.计算a6・a2的结果是（)

A.a23B.a4C.a8D.a12

2.下列各式计算结果不为a"的是（

A.a7+a7B.a2*a3*a4*a5*C.(-a)2・(-a)3・(-a)%(-a)5D.a5*a9

3.化简（-a）2a3所得的结果是（)

A.a5B.-a5C.a6D.-a

同步练习

1.计算(x-y)3*(y-x)=()

A.(x-y)4B.(y-x)4C.・(x・y)4D.(x+y)4

2.21。40.51。。的计算结果正确的是（)

A.1B.2C.0.5D.10

3.已知Xm=2,Xn=3,则xm+n的值是()

A.5B.6C.8D.9

二.幕的乘方与积的乘方

鬲的乘方法则：（""）”二产（其中相，〃都是正整数津口幕的乘方，底数不变，指数相乘.

要点诠释：（1）公式的推广：）"）〃=，几〃，〃均为正整数）

（2）逆用公式：，根据题目的需要常常逆用鬲的乘方运算能将某些靠变形，

从而解决问题.

积的乘方法则：（aby=an-b"（其中〃是正整数）.即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得

的鬲相乘.

要点诠释：（1）公式的推广：（abc）n=优0V”（〃为正整数）.

（2）逆用公式：优〃〃=（,疝）"逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，

计算更简便如x2,0=^x2^|=1.

例题：

1.计算丹3・（&3）2的结果是（）

A.a8B.a9C.a11D.a18

2.下列运算正确的是（）

A.a2«a3=a6B.a3+a2=a5C.(a2)4=a8D.a3-a2=a

3.计算（-a2b尸的结果是（）

A.-a6b3B.a6bC.3a6b3D.-3a6b3

4.（-5x3y）2计算的结果是（）

A.25x5y2B.25x6y2C.-5x3y2D.-lOxy

5.计算（a2）3.（a2・a3）的结果是（)

A.0B.1C.aD.a3

同步练习：

1.计算：(X4)2+(X2)4-X(X2)2-x3-(-X)3・(-x2)2*(-x)

2.计算：(2m2n3n3.

3.已知ax=-2,ay=3.求:

(1)ax+y的值;

(2)a3x的值；

(3)a?x+2y的值.

4.计算:(-x)3*x2n-1+x2n*(-x)2.

m+122

5.计算:(-3am)2-am+i.am-1+2(a)-ra.

三.单项式乘以单项式

单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的

指数作为积的一个因式.

要点诠释：(1)单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幕的乘法法则的综合应用.

(2)单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理

数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幕的乘法，按照"底数

不变，指数相加"进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积

的一个因式.

(3)运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.

(4)三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.

例题：

1•计算：4a3b.eabc),

2.算：(-2x2y3)2-x?y4・3xy2.

3.计算：

(l).2a*3a2(2).[(-x)乎.

4.计算

(1).(-3a).(2ab)(2).(-2x2)3+4X3・X3.

同步练习：

1.计算：

(1).a6*a5*a7;(2).2(m2)4+m4(m2)2.

2.计算：

(1).x2*y2(-xy3)2.(2),,&2bl.(-2a2b2c产

3.化简.5a3b・(-3b)2+(-ab)(-6ab)2.

四.单项式乘以多项式

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即+Z?+c)=ma+mb+me.

要点诠释：(1)单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的

问题.

(2)单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.

(3)计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的

(4)对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项E寸，必须合并，从而得到最简的结果.

例题：

1.化简：(1).4m+2(m-2n)(2).(2x)3-6x(x2+2x-1).

2.计算：

(1).(-2xy2)2・3x2y；(2).(-2a2)(3ab2-5ab3)

同步练习：

2

1.计算：(l).6ab(2a2b\b2).(2).(3x3y2-6x2y)Axy

3J

(3).(-3x)(7x2+4x-2)

五・多项式乘以多项式

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即

（加+〃）=am+an+bm+bn.

要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.

多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：

（工+〃）（无+力）=冗2+（4+〃）x+a〃.

例题

1.如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中

间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a=3,b=2时的绿化面积.

2化简(1).「+7)r-6)-(x-2)(x+l)

3.若x+y=3，且(x+2)(y+2)=12.

(1)求xy的值.(2)求x2+3xy+y2的值.

同步练习：

1.先阅读后作答：我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方，实际上还有一些等式也可以用这

种方式加以说明，例如：(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用图①的面积关系来说明.

(1)根据图②写出一个等式：.

(2)已知等式：(x+1)(x+3)=x2+4x+3,请你画出一个相应的几何图形加以说明(仿照图①或图②画出图形即

可).

2.计算：

(1).(■x6)•(-x3)•(-x2)•(-X5)(2).(xm-2yn)(3xm+yn)

3.计算：2x(x-4)+(3x-1)(x+3)

综合考查：

1.下面的计算不正确的是()

A.5a3-a3=4a3B.2m*3n=6m+nC.2m*2n=2m4-nD.-a2*(-a3)=a5

2.已知3n=a,3m=b,则3m+n+1=

3.计算a・a5・(2a3)2的结果为()

A.a6-2a5B.-a6C.a6-4a5D.-3a6

4.计算：-(-X2)3・(-X2)2-x*(-x3)3.

5.已知am=5,an=3,求a2m+3n的值

6.计算：

(1),b3*bm«bm+1(2).(-2a6)2+(-3a3)3豆.

7.计算：

(1).a(a-b)+ab;(2).2(a2-3)-(2a2-l).

8.计算:2x(x-4)+(3x-1)(x+3)

第二讲乘法公式

一・平方差公式

平方差公式：(。+份(。-b)=a2-b2

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

要点诠释：在这里，〃力既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.

抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反

项"，而结果是"相同项"的平方减去"相反项"的平方.常见的变式有以下类型：

(1)位置变化：如(。+力(4+〃)利用加法交换律可以转化为公式的标准型

(2)系数变化：如(3%+5y)(3x-5y)

(3)指数变化:如(〃/十〃2)(，〃3-〃2)

(4)符号变化：如“33一份

(5)增项变化：如(，"+〃+〃)("[-〃+〃)

(6”曾因式变化：如(。一8)(。+6)(/+/)(/+/)

例题:

1.若(2a+3b)()=4a2-9b2,则括号内应填的代数式是()

A.-2a-3bB.2a+3bC.2a-3bD.3b-2a

2.(-5a2+4b2)()=25a4-16b4,括号内应填()

A.5于+4b2B.5a2-4b2C.-5a2-4b2D.-5a2+4b2

3.下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是()

A.(-a+b)(a-b)B.(x+2)(2+x)C.(搂+y)(y-勿D.(x-2)(x+l)

4.下列运用平方差公式计算,错误的是()

A.(b+a)(a-b)=a2-b2B.(m2+n2)(m2-n2)=m4-n4

C.(2-3x)(-3x-2)=9x2-4D.(2x+l)(2x-l)=2x2-1

同步练习

1.计算(a-3b)(a+3b)-(-a-2b)(a-2b)

2.计算:

(1).(x+2y)(2x-y)(2).(2a-3b)(-2a-3b)

3.运用乘法公式计算

（1）.103x97(2).1022

二.完全平方公式

完全平方公式：（a+bf=a2^-lab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2

两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.

要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）

这两数之积的2倍.以下是常见的变形:

a2+b2=(6z+Z?)2-2ab=(t?-/?)2+2ab

(a+b)2=(a—b)2+4ab

例题：

1.运用乘法公式计算（a-3）2的结果是（)

A.a2-6a+9B.a2-3a+9C.a2-9D.a2-6a-9

2.若(a+b)2=(a・b)2+A"(^()

A.2abB.-2abC.4abD.-4ab

3.运算结果是x4y2-2x2y+l的是()

A.(-l+x2y2)2B.(l+＞：2y2)2C.(-l+x2y)2D.(-1-x2y)2

4.若a+b=3,ab=2,则a?+b2的值是()

A.2.5B.5C.10D.15

同步练习

1.计算(-2m-1产等于()

A.-4m2-4m+lB.4m2-4m+1C.4m2+4m+lD.-(4m2-4m-1)

2.运用完全平方公式计算：992.

3.已知：a+b=-3,ab=2，求a2+b2的值.

b

4.将4个数abcd排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成00,定义&=ad-be.上述记号叫做2阶行

cd|cd|

列式，若"1lr=8.求x的值.

1-xx+1

综合考查：

1.下列各式中能用平方差公式计算的是()

A.(-3x-2y)(3x-2y)B.(-2a-b)(2a+b)C.(x+2y)(2x-y)D.(m-n)(n-m)

2.下列关于962的计算方法正确的是()

A.962;(100-4)2=1002-42=9984B.962=(95+1)(95-1)=952-1=9024

C.96』(90+6)2=902+62=8136D.962=(100-4)2=1002-2x4xl00+42=9216

3.x2-4x+m2是一个完全平方式,则m的值是()

A.2B.-2C.+2和・2D.4

4.如果二次三项式x2-8x+m能配成完全平方式，那么m的值是.

5.若代数式x2-8x+m为完全平方式，则m=

6.(一个正方形的面积是(a2+8a+16)cm2,则此正方形的边长是cm.

7.如果9x2+kx+25是一个完全平方式,那么k的值是.

8.计算：

(l).(2a+l)(-a-2);(2).(x+y-3)(x-y+3).

第三讲相交线及三线八角

一.对顶角和邻补角

对顶角

1.对顶角的模型：

Z1和/2是对顶角，/3和/4是对顶角.

要点诠释：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③角的两边互为反向延长线.

2.对顶角的性质:对顶角相等.

邻补角

1.邻补角：两个角有一条公共边，他1门的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角.

zl和/3是邻补角，zl和/4是邻补角,z2和/3是邻补角，z2和/4是邻补角，

要点诠释：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.

3.邻补角的性质：两个角的和为180°.

例题：

1.如图，直线a、b相交于点O,将量角器的中心与点O重合，发现表示60。的点在直线a上，表示138。的点在直

2.如图，直线AB、CD、EF相交于点O.

(1)写出NBOE的对顶角和邻补角；

(2)若/AOC:zAOE=2:1,zEOD=90°,求NBOC的度数.

同步练习：

1.如图，有一个破损的扇形零件，小明利用图中的量角器量出这个扇形零件的圆心角度数为50。，你认为小明测

量的依据是()

A.垂线段最短B.对顶角相等C,圆的定义D.三角形内角和等于180°

2.下面四个图中，是对顶角的是（)

3.下列各图中，zl和/2可能是邻补角的只有（

二.垂线

垂线

1.两直线相交所形成的角中，当有一个角等于90°时,这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂

线，他们的交点叫做垂足.

2.垂直的模型：

b

O3a-

要点诠释：①直线a是直线b的垂线（或直线b是直线a的垂线），垂足为O.

②直线a垂直于直线b于点。(或直线b垂直于直线a于点0).

结论：两垂直直线形成的四个角都是直角，均为90°.

3.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

垂线段

1.过直线外一点作直线的垂线，以这个点和垂足为端点的线段叫做这个点到直线的垂线段.

2.垂线段模型：

a3

线段AB是点A到直线a的垂线段.

3.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

简单说成：垂线段最短.

4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

注意：距离是长度，不是线段.

例题：

L如图，OMJLNP,ONJLNP,所以ON与0M重合，理由是—

■。

NP

2.如图，直线AB,CD相交于点O,EO_LAB,垂足为O.

(1)写出图中与N1互为余角的角；

(2)若/AOC:z2=3:2,求N1的度数.

D

3.如图所示,AD±BD,BC±CD,AB=5cm,BC=3cm,则BD的长度的取值范围是

4.如图,BCJLAC,CB=8cm,AC=6cm,AB=10cm,那么点B至ijAC的距离是_____cm，点A至I」BC的距离

cm,C至!JAB的B巨离是_________cm.

同步练习：

1.如图，点A,B,C,D,E在直线I上，点P在直线I外，PC±I于点C,在线段PA,PB,PC,PD,PE中，

最短的一条线段是，理由是

2.如图，体育课上老师测量跳远成绩是这样操作的：用一块直角三角板的一边附在踏跳板上，另一边与拉直的皮

尺重合，并且使皮尺经过被测试同学的落点，这样做的理由是

三.三线八角

模型：

1.同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角分别在两直线的同一方，并且在第三条直线（截线）

的同旁，则这样一对角叫做同位角.如与/8,Z2与N5.

2.内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线;截线）的两侧，

则这样一对角叫做内错角.如N1与/6,/4与/5.

3.同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同

一旁，则这样一对角叫做同旁内角.如N1与N5,N4与N6.

要点诠释.三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定.在

复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而

另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线.同位角的边构成"F〃形，内错角的边构成"Z"形，

同旁内角的边构成"U"形.

例题：

2.如图，已知直线a,b被直线c,d所截，直线a,c,d相交于点。，按要求完成下列各小题.

（1）在图中的/I~/9这9个角中，同位角共有多少对？请你全部写出来；

（2）z4和/5是什么位置关系的角？z6和/8之间的位置关系与/4和N5的相同吗？

同步练习：

1.如图，直线AB,AF被BC所截，则/2的同位角是（）

A.zlB.z2C.Z3D.z4

2.如图，与是同旁内角的是（）

A.z2B.z3C.z4D.z5

3.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,则/DAC的内错角是（）

A.zABDB.zBDCC.zACBD.zDOC

4.下列所示的四个图形中，N1和/2是同位角的是（）

A.①②B.②③C.①③D.②④

综合考查：

1.如图是一把剪刀，其中/1=/2,其理由是

2.如图，线段AD、AE、AF分别是^ABC的高线，角平分线，中线，比较线段AC、AD、AE、AF的长短，其中最

短的是________________，

3.如图所示,AB±li,AC±I2,则点A到直线li的距离是线段的长度.

4.如图所示，直线AD与直线BD相交于点D,BE±AD,垂足为点E,AC与DC垂直于点C.点B到直线AD的距

离是线=殳的长度，点D到直线AB的距离是线段的长度.

5.如图，直线a、b被直线c所截，互为同旁内角是.

6.如图所示，两只手的食指和拇指在同一平面内，它们构成的一对角可以看成.

7.如图，OC_LAB于点。，N1=N2,则图中互余的角有_________对.

c

8.如图,直线AB、CD相交于点O,0E平分/BOD,zAOC=76°,zDOF=90°,求/EOF的度数.

9.如图所示：

(1)与/B是同旁内角的有哪些角？

(2)与/C是内错角的有哪些角?

它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？

第四讲平行线

一.平行公理及推论

1.在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.直线a与直线b不相交时，直线a与b互相

平行，记作alib.

2.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.

平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

例题：

1.如图,已知OAllCD,OBllCD,那么NAOB是平角,为什么?

A0B

CD

2.如图，ADIIBC,E为AB上任一点，过E点作EFIIAD交DC于F.问EF与BC的位置关系怎样,为什么？

同步练习：

1.如果aiib,bile,那么aiic,这个推理的依据是（）

A.等量代换B.两直线平行，同位角相等

C.平行公理D.平行于同一直线的两条直线平行

2.对于同一平面内的直线a、b、c,如果a与b平行，c与a平行，那么c与b的位置关系是

二.平行线的判定

1.平行线的判定方法：

，上:C

8S1图2S3

判定方法1两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等,,那么这两条直线平行.

简单说成：同位角相等，两直线平行.

如图1,,.,z4=z2,..alib.

判定方法2两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等,，那么这两条直线平行.

简单说成：内错角相等，两直线平行.

,

如图2,.z4=z5z/.alib.

判定方法3两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.

简单说成：同旁内角互补，两直线平行.

如图3,vz4+zl=180°r/.alib.

2.重要结论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.

注意：条件"同一平面"不能缺少，否则结论不成立.

例题：

1.ABXBC,zl+z2=90°,z2=z3.BE与DF平行吗?为什么?

解:BEIIDF.

\AB±BC,

/.zABC=—。,

即/3+/4=—°.

X/zl+z2=90°z

fiz2=z3,

理由是：________

/.BEliDF.

理由是：____________

同步练习：

2.如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断ABIICD的是（)

B.z3=z4C.zD=zDCED.zD+zACD=180°

3.如图，能判定alib的条件是（)

A.zl=z5B.z2+z4=180°C.z3=z4D.z2+zl=180°

4.如图,已知(3x+24)°,z2=(5x+20)°,要使mIIn,那么N1二（度）.

平行线的性质：

性质1两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.

如图1,,/alibz/.z4=z2.

性质2两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.

如图2,'/alib,.,.z4=z5.

性质3两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.

如图3,valib,/.z4+zl=180c.

例题:

1.如图，zACB=90°,BD平分/ABE,CDllAB交BD于点D,若N1=20°,求/2的度数.

2.如图所示,AB,CD,AE和CE均为笔直的公路，已知ABllCD,AE与AB的夹角/BAE为32°,若线段CF与

EF的长度相等，则CD与CE的夹角/DCE为（）

A.58°B.32°C.16°D,15°

同步练习：

1.把一块直尺与一块三角板如图放置，若/2=140。，则N1的度数为（）

C.40°D.45°

2.如图，将一块三角板叠放在直尺上，若/1=25。，贝k2的度数为（）

B.65°C.75°D.80°

四.平行线的判定与性质的综合运用

两直线平行o同位角相等.

两直线平行=内错角相等.

两直线平行。同旁内角互补.

o"叫做"等价于"，即由左边能推出右边，由右边也能推出左边.

例题:

1.把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由.

如图，点D,E,F分别是三角形ABC的边BC,CA;,,连接DE,DF,DEllAB,zBFD=zCED,连接

BE交DF于点G,试说明：zEGF+zAEG=180°.

理由:/DEIIAB(已知),

.-.zA=zCED(),

又•「NBFD=NCED(已知),

/.zA=zBFD(),

.1.DFllAE()

/.zEGF+zAEG=180°().

同步练习：

1.如图，若/1+/2=180度，则下列结论正确的是()

D.z2+z3=180°.

2.如图所示，AB±EF,CD±EF,ZL=/F=40。，且A,C,F三点共线，那么与/FCD相等的角有()

3.如图，AB与CD相交于点0,如果4=/C=40°,NA=80°,那么NB的度数是()

A.40°B.80°C.60°D.无法确定

五.命题、定理、证明

1.命题：判断T牛事情的语句叫做命题.

数学中的命题常可以写成"如果……那么......"的形式，"如果”后接的部分是题设，"那么"后接的部分是结论.

2.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题.

假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.

3.定理：经过推理证实的真命题叫做定理.

判断一个命题正确性的推理过程叫做证明.

4.判断一个命题是真命题，需要进行证明；判断一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，它符合命题的题

设，但不满足结论就可以了.

例题：

L如图，已知：点A、B、C在一条直线上.

(1)请从三个论断①ADHBE;②N1=/2;③NA:/E中，选两个作为条件,另一个作为结论构成一个真命题：

条件：.

结论：.

(2)证明你所构建的是真命题.

2.下列命题中是真命题的是（)

A.相等的角是对顶角B.相等的角的余角相等

C.若xy=O,则x=0D.若一个数带有根号，则它是无理数

同步练习：

1.下列命题中，属于假命题的是（)

A.三角形的内角和等于180°B.圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴

C.对顶角相等D.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行

2.下列命题是真命题的是（）

A.若awO,则abwOB.所有的命题都是定理

C.g|a|=|b|,则a=bD.定理是用来判断其他命题真假的依据

综合考查：

1.下列说法：①两点之间的距离是两点间的线段的长度；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两点之

间的所有连线中，线段最短；④若a，b,c，b,则a与b的关系是平行；⑤只有一个公共点的两条直线叫做相

交直线；其中正确的是

2.下列结论正确的是（）

A.同位角相等B.同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线

C.过一点有且只有一条直线与已知直线平行D.垂直于同一条直线的两条直线互相平行

3.已矢：!：如图，zl=z2,z3=z4,z5=z6.求证:EDliFB.

4.如图，zA=22°,zE=30°zACllEF,则的度数为

D

5.如图，已知/ABC+/ECB=180°,/P=/Q.求证:zl=z2.

6.如图，zDAB+zD=180°,AC平分/DAB,且NCAD=25°,求/C的度数.

D

AR

第五讲函数

一.常量与变量

在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.

注意：字母可以表示数，但不一定是变量.

例题：

1.我国是一个严重缺水的国家，我们都应该倍加珍惜水资源,节约用水.据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴

水，每滴水约0.5毫升.小燕子同学在洗手时，没有拧紧水龙头，当小燕子离开x（时）后水龙头滴了y（毫升）

水.在这段文字中涉及的量中，哪些是常量，哪些是变量？

同步练习：

1.（如果用总长为60m的篱笆围成一个长方形场地，设长方形的面积为S（m2）周长为p（m）,一边长为a（m）,

那么S、p、a中，常量是（）

A.aB.pC.SD.p,a

2.骆驼被称为“沙漠之舟"，它的体温随时间的变化而发生较大的变化.在这一问题中，自变量是（）

A.时间B.骆驼C.沙漠D.体温

3.在圆的周长公式C=2TIR中，是变量的是（）

A.CB.RC.TI和R口工和口

二.函数的相关概念

1.函数：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对

应，那么我们就说x是自变量,y是因变量，y是x的函数.

2.函数值：在一个函数中，如果当x=a时y=b,那么b叫做自变量的值为a时的函数值.

3.解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫做函数解析式.

4.函数自变量的取值范围

确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义.

例题：

1.某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化其中_______是自变量,___________是因变量.

3.判断下列选项中的变量y是否为x的函数？

①y=2x；②y=2x2；@y2=2x;©y=2|x|;⑤M=2x.

4.求下列函数自变量x的取值范围.

(1)y=-x2-5x+6;

(2)y=V47^3;

⑶y二等

1,x是有理数

5.著名的狄利克雷(DcicHer)函数是这样定义的：y=

0,x是无理数

(1)这个函数的自变量与因变量分别是什么？

(2)这个函数的自变量的取值范围和函数值的取值范围分别是什么？

（3）请分别写出当x=l,&,6.4,3.1415时的函数值.

同步练习：

1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是（）

3.使函数y二后方意义的自变量x的取值范围是（）

A.x>6B.x>0C.x<6D.x<0

4.函数y=l-6的自变量x的取值范围是（）

A.x<lB.x>0C.x>0D.x<0

三.函数的表示方法

①函数的表示方法一图象法

1.函数图象

对于一个函数，如果把自变量x与函数的每对对应值y分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点

组成的图形，就是这个函数的图象.

注：①以满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；

②函数图象上点的坐标满足函数解析5t

2.画函数图象的步骤：

①列表（表中随机取出一些自变量的值及其对应的函数值）；

②描点(在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标，描出表中数值对应的各点);

③连线(按横坐标由小到大的顺序把描出的各点用平滑的曲线连接起来).

3.用图象法表示函数的优缺点

优点：直观的反应两个变量之间的关系，形象的反应函数的一些性质及变化趋势.

缺点：由图象所得到的有关数据和数量关系不准确.

例题：

1.小红帮弟弟荡秋千(如图1),秋千离地面的高度h(m)与摆动时间t(s)之间的关系如图2所示.

(1)根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？

(2)结合图象回答：

①当t=0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义.

2.一天，王亮同学从家里跑步到体育馆，在那里锻炼了一阵后又走到某书店去买书，然后散步走回家如图反映的是

在这一过程中，王亮同学离家的距离s(千米)与离家的时间t(分)之间的关系，请根据图象解答下列问题：

(1)体育馆离家的距离为千米，书店离家的距离为千米；王亮同学在书店待了_______分钟.

(2)分别求王亮同学从体育馆走到书店的平均速度和从书店出来散步回家的平均速度.

0153550S0110“分钟）

②函数的表示方法一列表法

列表法的优缺点：

优点：可以直接找到函数值.

缺点：只能列出部分自变量与函数的对应值，总结出的规律不一定可靠.

同步练习：

1.父亲告诉小明："距离地面越远，温度越低，”并给小明出示了下面的表格.

距离地面高度(千米)012345

(℃)201482-4-10

根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答.

(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

(2)如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t是怎么变化的？

(3)你知道距离地面5千米的高空温度是多少吗？

(4)你能猜出距离地面6千米的高空温度是多少吗？

③函数的表示方法一解析式法

解析式法表示函数的优缺点

优点：简单准确的反应两个变量之间的关系.

缺点：不能形象直观的反应函数关系的变化趋势.有些函数关系不能用解析式表示.

例题：

1.将长为40cm,宽为15cm的长方形白纸，按图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为5cm.

5

(1)根据图，将表格补充完整.

白纸张数12345•••

纸条长度40110145•••

(2)设x张白纸粘合后的总长度为ycm,求y与x之间的函数解析式.

(3)你认为粘合起来白纸的总长度可能为2017cm吗?为什么？

同步练习：

1.下表反映的是某地区电的使用量x(千瓦时)与应交电费y(元)之间的关系，下列说法不正确的是(

用电量x(千瓦时)1234...

应交电费y(元)0.551.11.652.2...

A.x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数B.用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元

C.当交电费20.5元时，用电量为37千瓦时D.若用电量为8千瓦时，则应交电费4.4元

2.弹簧挂上物体后伸长,已知一弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量m(kg)之间的关系如下表:

所挂物体的质量m/kg012345

弹费的长度y/cm1012.51517.52022.5

下列说法错误的是()

A.在没挂物体时，弹簧的长度为10cm

B.弹簧的长度随所挂物体的质量的变化而变化，弹簧的长度是自变量，所挂物体的质量是因变量

C.弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量m(kg)之间的关系可用关系式y=2.5m+10来表示

D.在弹簧能承受的范围内，当所挂物体的质量为4kg时，弹簧的长度为20cm

综合考老：

1在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化这个问题中因变量是()

A.太阳光强弱B.水的温度C.所晒时间D.热水器

2.生活中太阳能热水器已进入千家万户，你知道吗，在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温所

晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是()

A.水的温度B.太阳光强弱C.所晒时间D.热水器

3.李明准备租用一辆出租车搞个体营运，现有甲乙两家出租车公司可以和他签订合同，设汽车每月行驶x千米，

应付给甲公司的月租费yi元，应付给乙公司的月租费是y2元，vi、丫2与x之间的函数关系的图象如图所示，请

根据图象回答下列问题：

(1)每月行驶的路程在多少时，租甲，乙两家公司的费用相同？

(2)每月行驶的路程在什么范围内时，租甲公司的车合算？

(3)若李明估计每月行驶的路程为2300千米时，租哪家合算？

4.如图表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系,骑车者9时离开家，15时到家，根据图象回答问题：

(1)到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？

(2)第一次休息时离家多远？

(3)返回时的平均速度是多少？

5.哥哥与弟弟两个人跑步，哥哥让弟弟先跑，如图所示的是两个人之间的距离y与时间x之间的函数图象，根据

图中信息回答下列问题.

(1)哥哥让弟弟先跑多少秒？哥哥出发几秒后追上了弟弟？

(2)哥哥与弟弟的速度分别是多少？

6.根据科学研究表明，在弹费的承受范围内，弹费挂上物体后会伸长，测得一弹费的长度y(cm)与所挂的物体

的重量x(kg)间有下表的关系：下列说法不正确的是()

x/kg012345

y/cm2020.52121.52222.5

A.x与y都是变量，且x是自变量,v是因变量B.弹簧不挂重物时的长度为0cm

C.随着所挂物体的重量增加，弹簧长度逐渐变长D.所挂物体的重