2023届四川省成都市高三摸底测试数学（理）试题（解析版）

1、试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页第 Page * MergeFormat 19 页 共 NUMPAGES * MergeFormat 19 页2023届四川省成都市高三摸底测试数学（理）试题一、单选题1设集合，则（）ABCD【答案】A【分析】根据已知条件，分别求出集合和集合，进而求出.【详解】集合，又，.故选：A.2复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B【分析】先对复数化简计算，然后再判断其在复平面内对应的点所在的位置【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B3若实数x，y满足约

2、束条件，则的最大值为（）AB2C4D6【答案】D【分析】先画出可行区域，由几何意义求最值即可.【详解】画出可行区域如图，由得，则当直线经过点时，取最大值，.故选：D.4设，则a，b，c的大小关系为（）ABCD【答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；【详解】解：因为，即，又，所以.故选：B5从某小区随机抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50300kwh之间，适当分组（每组为左闭右开区间）后绘制成如图所示的频率分布直方图则直方图中x的值以及在被调查的用户中月用电量落在区间内的户数分别为（）A0.0046，72B0.0046，70C0.0042，72D0.0

3、042，70【答案】A【分析】根据频率分布直方图的面积和为1，计算得x；再根据用电量落在区间内的频率计算用电量落在区间内的户数.【详解】根据频率分布直方图的面积和为1，得，解得，月用电量落在区间内的频率为，所以在被调查的用户中月用电量落在区间内的户数为户.故选：A.6已知函数若，且，则（）AB0C1D2【答案】C【分析】根据函数的解析式求出，结合即可求出，进而得出结果.【详解】由题意知，又，所以，所以，解得.故选：C7已知焦距为4的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的方程为（）ABCD【答案】C【分析】由已知焦距为4，得出，又由双曲线方程求出渐近线方程，而直线与渐近线垂直，得出它们斜率之

4、积为 ，从而得出、之间的关系，代入，解出、，写出方程即可.【详解】由已知焦距为4，所以 ，又双曲线方程的渐近线方程为：，而直线的斜率，且直线与一条渐近线垂直，所以 ，即 ，由 解得 ，所以双曲线方程为： 故选：C.8若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【分析】根据已知条件等价为在上恒成立，即在上恒成立，求解的取值情况即可得出结果.【详解】由题意，已知条件等价为在上恒成立，即在上恒成立，令，在上单调递减，的取值范围是.故选：B.9赵爽是我国古代著名数学之家，他用于证明勾股定理的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小四边形构成，如图所示已知直角三角形的两条直角边长

5、分别为3，4，若在“赵爽弦图”中随机取一点，则该点取自四边形区域内的概率为（）ABCD【答案】B【分析】根据图形可知大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，结合几何概型的计算公式即可得出结果.【详解】因为直角三角形的直角边的边长分别为3、4，所以大正方形的边长为5，小正方形的边长为4-3=1，所以大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，由几何概型的计算公式知，取自内部小正方形部分的概率为.故选：B10若数据9，m，6，n，5的平均数为7，方差为2，则数据11，9，17，的平均数和方差分别为（）A13，4B14，4C13，8D14，8【答案】C【分析】根据数据9，m，6，n，5的平均数和方差，

6、求出，得到数据11，9，17，进而利用平均数和方差的公式求解即可.【详解】数据9，m，6，n，5的平均数为，方差为，化简得 ，解得或，或，则数据11，9，17，为或，两组数据有相同的平均数和方差，平均数为，方差为，故选：C11如图，已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点有下列结论：三棱锥在平面上的正投影图为等腰三角形；直线平面；在棱BC上存在一点E，使得平面平面；若F为棱AB的中点，且三棱锥的各顶点均在同一求面上，则该球的体积为其中正确结论的个数是（）A0B1C2D3【答案】D【分析】对于，根据正投影的特点，作出投影图形，证明并判断正投影图形；对于，以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直

7、角坐标系，求平面的法向量，得出法向量与不垂直，进而得到结论错误；对于，运用向量的坐标表示证明线面垂直，进而得出面面垂直；对于，根据三棱锥的几何特征，找出外接球球心，进而求出外接球半径，得出外接球体积.【详解】对于，设的中点为，连接，如图，为的中点，又平面，平面，点，在平面上的正投影分别为，且点在平面上的正投影分别为其本身，三棱锥在平面上的正投影图为，又，即为等腰三角形，正确；对于，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，则，即， ，即，又，平面，平面，平面，即是平面的一个法向量，而，与不垂直，不与平面平行，错误；对于，如图设的中点为，连接，由知，即，即，又，平面，平面，平面，

8、又平面，平面平面，正确；对于，如图，若为棱AB的中点，又为棱的中点，平面，平面，平面，又，和有公共的斜边，设的中点为，则点到的距离相等，为三棱锥外接球的球心，为该球的直径，该球的体积为，正确.综上所述，正确的结论为.故选：D.12若正实数是函数的一个零点，是函数的一个大于的零点，则的值为（）ABCD【答案】C【分析】依题意得，则，即是，从而同构函数，利用的单调性得到，代入求解即可.【详解】依题意得，即，即， 又，同构函数：，则，又，又，单调递增，.故选：C.【点睛】关键点点睛：（1）函数零点即为函数的取值；（2）对的两个方程合理的变形，达到形式同一，进而同构函数，其中应注意定义域；（3）运用导

9、数研究函数的单调性，进而确定；（4）求解的值时，将替换后应注意分子的取值.二、填空题13已知向量，其中m，若，则的值为_【答案】4【分析】利用求出m、n，进而求出的值.【详解】因为向量，且，所以，所以.故答案为：414记函数的导函数是若，则的值为_【答案】3【分析】求导，令可得，然后可得.【详解】由题可得：所以，解得，所以，所以，故答案为：315设直线（t为参数）与抛物线相交于A，B两点，点则的值为_【答案】【分析】联立直线的参数方程与抛物线的方程，根据直线参数的几何意义求解即可【详解】联立直线的参数方程与抛物线的方程有，即.设对应的参数为，则，故故答案为：16已知椭圆的左，右焦点分别为，以坐

10、标原点O为圆心，线段为直径的圆与椭圆C在第一象限相交于点A若，则椭圆C的离心率的取值范围为_【答案】【分析】根据题意可得，且，再根据焦点三角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可【详解】由题意，因为线段为直径的圆与椭圆C在第一象限相交于点A故半径,即 ，且.又离心率，因为，结合题意有，设，则，易得对勾函数在上单调递增，故在上单调递增，故，即故答案为：三、解答题17设函数，其中若函数的图象在处的切线与x轴平行(1)求a的值；(2)求函数的单调区间【答案】(1)(2)单调递增区间为；单调递减区间为，【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）由（1）得，再求导分析函数的单调区间即可【

11、详解】(1)函数的图象在处的切线与x轴平行，解得此时，满足题意(2)由（1）得，故令，解得或当x变化时，的变化情况如下表：0200单调递减单调递增单调递减函数的单调递增区间为；单调递减区间为，18某建设行政主管部门对辖区内A，B，C三类工程共120个项目进行验收评估，规定评估分数在85分及其以上的项目被确定为“验收合格”项目，未达到85分的项目被确定为“有待整改”项目现通过分层抽样的方法获得了三类工程的12个项目，其评估分数如下：A类：88，90，86，87，79；B类：85，82，91，74，92；C类：84，90(1)试估算A，B，C这三类工程中每类工程项目的个数；(2)在选取的样本中，从

12、B类的5个工程项目中随机选取2个项目进行深度调研，求选出的2个项目中既有“验收合格”项目，又有“有待整改”项目的概率【答案】(1)50，50，20(2)【分析】(1)根据分层抽样的定义即可分别求出三类工程项目的个数；(2)根据题意可知B类工程抽样的这5个项目中“验收合格”的项目有3个，“有待整改”的项目有2个，结合古典概型的概率公式计算即可.【详解】(1)根据分层抽样的定义，有A类工程有；B类工程有；C类工程有A，B，C三类工程项目的个数可能是50，50，20(2)易知在B类工程抽样的这5个项目中，被确定为“验收合格”的项目有3个，所得评估分数分别为85，91，92；被确定为“有待整改”的项目

13、有2个，所得评估分数分别为82，74记选出的2个项目中既有“验收合格”项目，又有“有待整改”项目为事件M在B类工程的5个项目中随机抽取2个项目的评估分数数据组合有，共计10种结果抽取的2个项目中既有“验收合格”项目，又有“有待整改”项目的评估分数数据组合有，共计6种结果故所求概率为19如图，在三棱锥中，已知平面ABC，D为PC上一点，且，(1)求AC的长；(2)若E为AC的中点，求二面角的余弦值【答案】(1)(2)【分析】（1）以A为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系设，分别求出，由求出AC的长；（2）分别求出平面，平面的法向量，由二面角向量计算公式代入即可求出答

14、案.【详解】(1)平面ABC，AB，平面ABC，又，以A为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系则，设则，由，得，则，即，即又，解得AC的长为(2)E为AC的中点，由（）知，则，设平面DBE的一个法向量为由得令，得设平面ABE的一个法向量为设二面角的平面角为，易知二面角为锐角，二面角的余弦值为20已知椭圆的右焦点为，上顶点为H，O为坐标原点，点在椭圆E上(1)求椭圆E的方程；(2)设经过点且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点，若M，N分别为直线AP，BQ与y轴的交点，记，的面积分别为，求的值【答案】(1)(2)【分析】（1）由，得，再将点代入椭圆

15、方程中，结合可求出，从而可求出椭圆方程，（2）设直线，将直线方程代入椭圆方程消去，整理后利用根与系数的关系，可得，表示出直线AP的斜率，直线的斜率，而，代入化简即可【详解】(1)由，得（c为半焦距），点在椭圆E上，则又，解得，椭圆E的方程为(2)由（1）知设直线，由消去x，得显然则，由，得直线AP的斜率，直线的斜率又，21已知函数(1)证明：；(2)设函数，其中若函数存在非负的极小值，求a的取值范围【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过二次导数求函数最小值可证；（2）求导，分类讨论求极小值，然后可得.【详解】(1)令，则，恒成立，即在R上为增函数又，当时，有；当时，有函数在区间上为减

16、函数，在上为增函数，(2)由（1）知在R上为增函数当时，有，即；当时，有，即（i）当时，在R上恒成立，当时，；当时，函数在上为减函数，在上为增函数，即；（ii）当时，由，解得，且在R上单调递减当时，当时，有；当时，有；当时，有，函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数不符合题意；当时，时，有恒成立，故在R上为减函数函数不存在极小值点，不符合题意；当时，当时，有；当时，有；当时，有，函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数不符合题意综上所述，若函数存在非负的极小值，则a的取值范围为【点睛】导数中分类讨论问题通常从以下两个方向进行：1、根据导函数是否存在零点进行分类；2、根据导函数的零点的大小关系分类.22如图，在极坐标系Ox中，圆O的半径为2，半径均为1的两个半圆弧，所在圆的圆心分别为，M是半圆弧上的一个动点(1)当时，求点M的极坐标；(2)以O为坐标原点，极轴Ox为x轴正半轴，的方向为y轴正方向建立平面直