《应用随机过程》课程教学大纲

1、应用随机过程课程教学大纲课程编码：171400050课程性质：专业核心必修课程适用专业： 统计学专业本科学生学时学分： 40学时 2.5学分所需先修课：数学分析、概率论编写单位： 数学与信息科学系一、课程说明 1、课程简介随机过程是研究随时间变化的动态系统中随机现象的统计规律的数学学科，在现代电子技术、金融、保险、生物、经济和管理等方面都有着广泛的应用。它是数学类专业或非数学专业重要的应用性课程。本课程将讨论随机过程的基本概念、泊松过程、马尔可夫链、连续时间马尔可夫链、更新过程。通过对本课程的学习，使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法, 培养学生运用随机方法分析和解决实际问题的能力，并为

2、风险理论、统计学其他后续课程的学习提供坚实的理论基础。 2、教学目的要求通过随机过程课程的学习，使学生掌握随机过程的基本概念、基本理论，为学生深入学习概率论与数理统计和精算学专业的某些专业课程打下坚实的基础。培养学生运用随机过程的方法分析问题、解决问题的能力。3、教学重点难点教学重点是掌握几个常用过程，如泊松过程、马尔可夫链、生灭过程、更新过程、平稳过程及布朗运动的基本概念，难点是掌握这些常用过程的基本理论及分析方法，从而提高学生的数学素质，加强学生运用随机过程的思想方法开展科研工作和解决实际问题的能力。4、考核方式 本课程为考试课，期末考试为闭卷笔试，按百分制评定本课程的成绩，其中平时成绩占

3、20%，期末成绩占80%。5、学时分配表章次教学内容理论课学时数实验(实践)课学时数1预备知识与随机过程的基本概念402泊松过程及其推广1043马尔可夫链1025布朗运动326连续参数马尔可夫链50小计32学时328总计40二、各部分教学纲要预备知识与随机过程的基本概念(4学时)教学目标理解随机过程的定义，了解随机过程的例子，掌握有限维分布和数字特征。理解条件期望的定义及三个常用的性质，掌握三个性质的运用，掌握矩母函数，了解常用概率分布的矩母函数，掌握矩母函数、特征函数性质的运用，了解几乎处处收敛和依概率收敛的含义和相互关系。本章重点掌握有限维分布和数字特征，条件期望常用的三个性质，掌握矩母函

4、数，特征函数及其性质。本章难点矩母函数、特征函数的拉普拉斯变换，几乎处处收敛和依概率收敛的含义和相互关系。教学内容第一节 概率1回顾概率的相关概念样本空间、可测空间概率测度事件独立性第二节 随机变量、分布函数及数字特征1 随机变量与分布函数2 黎曼-斯蒂尔切斯积分3 数字特征3.1 数学期望3.2 方差3.3 协方差3.4 相关系数4 常用随机变量的分布第三节 矩母函数、特征函数和拉普拉斯变换1 矩母函数1.1 定义1.2 常用概率分布的矩母函数2 特征函数2.1 定义2.2 性质2.3 特征函数性质的运用3 拉普拉斯变换第四节 条件数学期望1 离散型随机变量情形2 连续型随机变量情形3 一般

5、随机变量情形4 条件概率与条件分布函数5 条件数学期望的基本性质6 多元随机变量的条件数学期望7 条件乘法公式与条件独立性第五节 随机过程的概念1 概念2 例子3 随机过程的数字特征及有限维分布函数族第六节 随机过程的分类1 独立增量过程2 马尔可夫过程3 平稳过程及二阶矩过程4 更新过程5 计数过程第二章 泊松过程及其推广(14学时)教学目标了解计数过程，掌握计数过程中独立增量和平稳增量的含义，掌握泊松过程的两个等价定义，理解两个定义等价性的证明。了解泊松过程中事件的来到间隔序列的定义，掌握泊松过程的来到间隔序列为独立同分布的指数随机变量。掌握泊松过程中等待时间随机变量的定义、概率密度函数。

6、 在了解顺序统计量的基础上，掌握泊松过程中来到时刻的条件分布，掌握利用条件分布解决排队平均等待时间的方法。掌握非齐次泊松过程的定义。掌握复合泊松过程的定义，理解泊松过程与复合泊松过程的关系及本质区别。理解更新过程的定义，理解泊松过程是一种特殊的更新过程，掌握更新函数的表达式，了解基本更新定理。本章重点泊松过程中关于发生时刻和次数的等价事件、时间间隔的分布、发生时刻的分布、基本更新定理、泊松过程中来到时刻的条件分布。本章难点 泊松过程中来到时刻的条件分布、更新函数的表达式。教学内容第一节 定义及其背景1 引例2 两个等价定义第二节 相邻事件的时间间隔，泊松过程与指数分布的关系1 计数过程2 相邻

7、事件的时间间隔3 泊松过程与指数分布的关系第四节 到达时间的条件分布1 顺序统计量2 泊松过程中到达时间的条件分布3 例子第六节 非时齐泊松过程1 非时齐泊松过程的定义2 例子第七节 复合泊松过程1 复合泊松过程的定义2 泊松过程与复合泊松过程的关系第九节 更新过程1 更新过程的定义2 泊松过程是一种特殊的更新过程第十节 若干极限定理与基本更新定理1 极限定理2 例子3 基本更新定理第十一节 更新方程与关键更新定理1 更新方程2 关键更新定理马尔可夫链(12学时)教学目标掌握马尔可夫链和马尔可夫性的定义，掌握马尔可夫链的特征及条件，能熟练写出常见 Markov 链转移概率矩阵。 掌握切普曼-柯

8、尔莫哥洛夫方程以及联合分布概率的计算。掌握马尔可夫链互达，周期，常返，正常返，零常返、遍历等概念。掌握马尔可夫链的极限定理，掌握马尔可夫链中平稳分布、极限分布的概念。能够利用平稳分布求解 Markov 链的极限分布。本章重点互达，周期，常返，正常返，零常返概念的理解，马尔可夫链的极限定理，马尔可夫链中平稳分布、极限分布的概念，切普曼-柯尔莫哥洛夫方程，联合分布概率的计算、转移概率矩阵的计算。本章难点互达，周期，常返，正常返，零常返概念的理解，利用平稳分布求解 Markov链 的极限分布。教学内容第一节 定义与例子1 马尔可夫链的定义、特征2 转移概率矩阵的定义3 实例3.1 随机游动3.2 排

9、队模型第二节 转移概率矩阵1 随机矩阵2 C-K方程第三节 状态的分类1 马尔可夫链互达，周期，常返，正常返，零常返、遍历等概念2 首达时间与首达概率3 相关定理4 状态分类的例子第四节 状态空间的分解1 不可约闭集2 状态空间分解定理3 实例第五节 Pn的极限性态与平稳分布1 马尔可夫链的极限定理2 平稳分布3 马尔可夫链的极限分布4 利用平稳分布求解马尔可夫链的极限分布第五章 布朗运动(5学时)教学目标了解布朗运动的来由和本质，了解布朗运动与随机游动的区别与联系。掌握布朗运动过程的定义和独立增量性，掌握将一般布朗运动转化为标准布朗运动的方法。了解布朗运动路径的性质。掌握独立增量的密度函数，

10、联合密度函数和条件密度函数。掌握布朗运动过程的首达时概念及概率函数，掌握布朗运动过程的最大值概念及概率函数。本章重点布朗运动与随机游动的区别与联系、布朗运动过程的定义和独立增量性，将一般布朗运动转化为标准布朗运动、首达时及最大值的概率函数。本章难点将一般布朗运动转化为标准布朗运动，独立增量的密度函数、联合密度函数和条件密度函数。教学内容第一节 随机游动与布朗运动的定义1 布朗运动的来由和本质2 布朗运动与随机游动的区别与联系3 布朗运动过程的定义和独立增量性4 将一般布朗运动转化为标准布朗运动的方法第二节 布朗运动轨道的性质1 布朗运动轨道的性质2 例子第三节 首中时与最大值1 布朗运动过程的

11、首达时间的分布2 过零点的反正弦定理 第六章 连续参数马尔可夫链(5学时)教学目标掌握连续时间马尔可夫链的定义性质及其与离散时间马尔可夫链的区别，掌握转移速率的概念，掌握 Q 矩阵的概念，掌握柯尔莫哥洛夫向前和向后微分方程。了解生灭过程，了解纯生过程及其与一般生灭过程的关系，了解尤尔过程及其与一般生灭过程的关系。本章重点柯尔莫哥洛夫向前和向后微分方程、转移概率矩阵与Q 矩阵的计算。本章难点Q 矩阵的计算。教学内容第一节 定义与若干基本概念1 连续时间马尔可夫链的定义、性质2 与离散时间马尔可夫链的区别3 转移速率的概念第二节 转移率矩阵-Q矩阵及其概率意义1 Q 矩阵的概念2 Q 矩阵的计算第三节 柯尔莫哥洛夫向前向后微分方程1 柯尔莫哥洛夫向前和向后微分方程2 向前向后微分方程的应用第四节 生灭过程1 生灭过程的定义2 纯生过程3 尤尔过程2 生灭过程的实际例子三、使用教材及参考书使用教材：林元烈主编，应用随机过程，清华大学出版社，2002年.参考书：1 HYPERLINK /search.aspx?index=2&q=(%e7%be%8e)Sheldon+M.Ross t _blank (美)Sheldon M.Ross主编，