尺规作图学习知识归纳

1、考点名称：尺规作图尺规作图：是指限定用没有刻度的直尺和圆规来完成的画图。一把没有刻度的直尺看似不能做什么，画一个圆又不知道它的半径，画线段又没有精确的长度。其实尺规作图的用处很大，比如单用圆规找出一个圆的圆心，量度一个角的角度，等等。运用尺规作图可以画出与某个角相等的角，十分方便。尺规作图的中基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线。还有：已知一角、一边做等腰三角形已知两角、一边做三角形已知一角、两边做三角形依据公理：还可以根据已知条件作三角形，一般分为已知三边作三角形，已知两边及夹角作三角形，已知两角及夹边作三角形等

2、，作图的依据是全等三角形的判定定理：SSS, SAS, ASA等。注意：保留全部的作图痕迹， 包括基本作图的操作程序， 只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理。尺规作图方法：任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：通过两个已知点可作一直线。已知圆心和半径可作一个圆。若两已知直线相交，可求其交点。,若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。若两已知圆相交，可求其交点。【学习目标】. 了解什么是尺规作图.学会用尺规作图法完成下列五种基本作图：（1）画一条线段等于已知线段；（2）画一个角等于已知角；（3）画线段的垂直平分线；（4）过已知点画已知直线的垂线；（5）画角平分线. 了解五种基本作图的

3、理由.学会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程.学会利用基本作图画三角形等较简单的图形.通过画图认识图形的本质，体会图形的内在美.【基础知识精讲】.尺规作图：限定只用直尺和圆规来完成的画图，称为尺规作图.注意：这里所指的直尺是没有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺规作图法画出 的图形的精确度更高，它在工程绘图等领域应用比较广泛.尺规作图中的最基本、最常用的作图称为基本作图.3.基本作图共有五种：(1)画一条线段等于已知线段.如图24-4-1 ,已知线段 DE.D E3图 24-4 - 1求作：一条线段等于已知线段.作法：先画射线 AB .然后用圆规在射线 AB上截取AC = MN .线段A

4、C就是所要作的线段.(2)作一个角等于已知角.如图24-4-2 ,已知/AOB .二;图247噌求作：/AOB,使AOB =AOB.作法：作射线OA;以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交 OA于C,交OB于D.以点O为圆心，以OC长为半径作弧，交 OA TC.以点C为圆心，以CD为半径作弧，交前弧于 D经过点D作射线OB , AOB就是所求的角.(3)作线段的垂直平分线.如图24-4-3 ,已知线段AB.求作：线段 AB的垂直平分线.-AB作法：分别以点A和点B为圆心，大于2的长为半径作弧，两弧相交于点 C和D.作直线CD .直线CD就是线段AB的垂直平分线.注意：直线CD与线段AB的交点，就

5、是 AB的中点.(4)经过一点作已知直线的垂线.a.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线，如图 24-4-4 .图 24-4-4已知：直线 AB和AB上一点C,求作：AB的垂线，使它经过点 C.作法：作平角 ACB的平分线CF.直线CF就是所求的垂线，如图 24-4-4b.经过已知直线外一点作这条直线的垂线.如图24-4-5 ,已知：直线 AB和AB外一点C.求作：AB的垂线，使它经过点 C.图 24-4-5作法：任意取一点 K,使K和C在AB的两旁.以C为圆心，CK长为半径作弧，交 AB于点D和E.分别以D和E为圆心，大于2的长为半径作弧，两弧交于点 F.作直线CF.直线CF就是所求的垂线.

6、注意：经过已知直线上的一点， 作这条直线的垂线转化成画线段垂直平分线的方法解决.(5)平分已知角.如图24-4-6 ,已知/AOB .求作：射线 OC ,使/ AOC = /BOC .作法：在 OA和OB上，分别截取 OD、OE.Ide分别以D、E为圆心，大于2的长为半径作弧，在/ AOB内，两弧交于点 C.作射线OC.OC就是所求的射线.注意：以上五种基本作图是尺规作图的基础，一些复杂的尺规作图， 都是由基本作图组成的，同学扪要高度重视，努力把这部分内容学习好.通过这一节的学习，同学们要掌握下列作图语言：(1)过点X和点x画射线x x ,或画射线XX.(2)在射线X X上截取X x = xx

7、.(3)以点x为圆心，xx为半径画弧.(4)以点X为圆心，XX为半径画弧，交XX于点X.(5)分别以点X,点X为圆心，以XX, XX为半径作弧，两弧相交于点X.(6)在射线X x上依次截取x x = xx = xx.(7)在/ x X X的外部或内部画/ XXX = /XXX.注意：学过基本作图后，在作较复杂图时，属于基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了.如：(1)画线段xx = xx.(2)画/ xxx = /xxx.(3)画X x平分/ x x x ,或画/XXX的角平分线.(4)过点X画XXXX,垂足为点X.(5)作线段X X的垂直平分线X X ,等等.但要

8、注意保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，不能因为作法的叙述省略而 作图就不按程序操作，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理.【经典例题精讲】例1已知两边及其夹角，求作三角形.如图24-4-7 ,已知：/ a ,线段a、b ,求作：ABC,使/A = /“，AB = a, AC = b .i图 24-4-7作法：作/ MAN =/在射线AM、AN上分别作线段 AB = a, AC = b .连结BC.如图24-4-8 , ZABC即为所求作的三角形.注意：一般几何作图题，应有下面几个步骤：已知、求作、作法，比较复杂的作图题, 在作图之前可根据需要作一些分析.例2如图24-4-9

9、 ,已知底边a,底边上的高h,求作等腰三角形.图 24 4-9已知线段a、h.求作：ABC,使AB=AC,且BC= a,高AD = h.BC的垂直平分析：可先作出底边BC,根据等腰三角形的三线合一的性质，可再作出 分线，从而作出 BC边上的高AD ,分别连结AB和AC,即可作出等腰 ABC来.作法：(1)作线段BC=a.(2)作线段BC的垂直平分线 MN , MN与BC交于点D.在MN上截取DA,使DA = h.连结AB、AC .如图24-4-10 ,祥BC即为所求的等腰三角形.A24-4-10已知三角形的一边及这边上的中线和高，作三角形.如图24-4-11 ,已知线段 a, m, h(mh)

10、.求作：4ABC使它的一边等于 a,这边上的中线和高分别等于m和h(mh).分析：如图24-4-12，假定4ABC已作出，其中 BC=a,中线 AD = m ,高AE=h,在MED中AD =m , AE=h, /AED=90 ，因此这个 RtMED可以作出来(ED为奠基三角BD = DC = - 3形).当RtAAED作出后，由2的关系可作出点 B和点C,于是BC即可得至LE C D H图 34-4*1?作法：(1)作AAED,使/AED=90 ,AE = h, AD = m .DB=-a(2)延长ED至ij B,使 2 .DC= la(3)在DE或BE的延长线上取2 .(4)连结 AB、AC

11、 .则9BC即为所求作的三角形.注意：因为三角形中，一边上的高不能大于这边上的中线，所以如果hm ,作图题无解；若m=h,则作出的图形为等腰三角形.例4如图24-4-13 ,已知线段a.I 1 J图案小邛求作：菱形ABCD ,使其半周长为 a,两邻角之比为1 ：2.a分析：因为菱形四边相等，“半周长为a”就是菱形边长为,，为此首先要将线段 a等分，又因为菱形对边平行，则同旁内角互补，由“邻角之比为 1 ：2”可知，菱形较小内角为60。，则菱形较短对角线将菱形分成两个全等的等边三角形.所以作图时只要作出两个有公共边的等边三角形，则得到的四边形即为所求的菱形ABCD .作法：(1)作线段a的垂直平

12、分线，等分线段 a.AC = -(2)作线段AC,使 上.a分别以A、C为圆心，2为半径，在 AC的两侧画弧，两弧分别交于 B, D.分别连结AB、BC、CD、DA得到四边形 ABCD ,则四边形ABCD为所求作的菱形(如 图 24-4-14).C注意：这种通过先画三角形，然后再画出全部图形的方法即为“三角形奠基法”.例5如图24-4-15 ,已知/ AOB和C、D两点.求作一点P,使PC=PD,且使点P至U/AOB的两边OA、OB的距离相等.A分析：要使PC=PD,则点P在CD的垂直平分线上，要使点P到/AOB的两边距离相等，则P应在/AOB的角平分线上，那么满足题设的P点就是垂直平分线与角

13、平分线的交点了.作法:(1)连结CD.(2)作线段CD的中垂线I.(3)作/AOB的角平分线OM，交l于点P, P点为所求.注意：这类定点问题应需确定两线，两直线的交点即为定点， 当然这两直线应分别满足题目的不同要求.【中考考点】例6 (2000 安徽省如图24-4-16 ,直线1人表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有()图 24-4-16A. 一处B.二处C.三处D.四处分析：到直线0距离相等的点在 b 匕相交所构成的角的平分线上，可利用作角平 分线的方法找到这些点.解：分别作% 相交所构成的角平分线，共可作出六条，三条角平分线相交的交

14、 点共有四个.答案：D.注意：本题应用了角平分线的性质，在具体作图时，不可只作出位于中心位置的一处， 而要全面考虑其他满足条件的点.例7 （2002 陕西省如图24-4-17 ,9BC是一块直角三角形余料，/ 0=90 ,工人师傅要把它加工成一个正方形零件，使0为正方形的一个顶点， 其他三个顶点分别在 AB、BC、A0边上.图47-17试协助工人师傅用尺规画出裁割线（不写作法，保留作图痕迹）；（2）工人师傅测得 AC = 80 cm , B0= 120cm ,请帮助工人师傅算出按 （1）题所画裁割线加工成的正方形零件的边长.解：（1）作/ACB的平分线与AB的交点E即为正方形一顶点，作 CE线

15、段的中垂线 HK与AC、BC的交点F、D即为所作正方形另两个顶点，如图 24-4-17 .（2）设这个正方形零件的边长为 x cm ,. DE /AC,DE_ BDx _ 120 - k. x = 48 .答：这个正方形零件的边长为48cm .要求读者对基本作图务必掌握，同时对注意：本题是几何作图和几何计算相结合题目, 作出图形的性质要清楚.例8 （2002 山西省如图24-4-18，有一破残的轮片（不小于半个轮），现要制作一个 与原轮片同样大小的圆形零件， 请你根据所学的有关知识， 设计两种方案，确定这个圆形零 件的半径.阳24 I】8分析：欲确定这个圆形零件的半径，可以借助三角板，T形尺或

16、尺规作图均可，图中工MN2是这个零件的半径，图中 OB是这个零件半径.解：如图24-4-18所示.【常见错误分析】例9如图24-4-19 ,已知线段a、b、h.ah. 24 4 19求作ABC,使 BC=a, AC=b, BC 边上的高 AD = h .并回答问题，你作出的三角形唯一吗？从中你可以得到什么结论呢?错解：（1）作法：作 RtMDC ,使AD=h, AC=b.在直线CD上截取CB=a.如图24-4-20 ,则4ABC就是所求作的三角形.li图用1 20(2)作出的三角形唯一.(3)得出结论：有两边及一边上的高对应相等的两三角形全等.误区分析：本题错解在于忽略了三角形的高可能在三角形

17、内部也可能在三角形的外部.正解：如图24-4-21 ,作法：作 RtADC ,使 AD=h, AC = b.在直线CD上截取CB=a(在点C的两侧).则9BC ,那B C都是所求作三角形.(2)作出的三角形不唯一.(3)得出结论有两边及一边上的高对应相等的两三角形不一定全等.注意：与三角形的高有关的题目应慎之又慎.【学习方法指导】学习本单元基本作图， 主要是运用观察法，通过具体的操作，了解各种基本作图的步骤, 掌握作图语言.【规律总结】画复杂的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合所设条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤.有时，也可以根据已知条件和基本作图，先作局部三角

18、形，再以此为基础，根据有关条件画出其余部分， 从而完成全图，这种方法称为三角形奠基法.考点一 尺规作图 1.定义：只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图.2.步骤：（1）根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；（2）分析作图的方法和过程；（3）用直尺和圆规进行作图；（4）写出作法步骤，即作法.考点二 五种基本作图1 .作一线段等于已知线段；2.作一个角等于已知角；3.作已知角的平分线；4.过一点作已知直线的垂线；5 .作已知线段的垂直平分线.考点三 基本作图的应用1 .利用基本作图作三角形（1）已知三边作三角形；（2）已知两边及其夹角作三角形；（3）已知两角及其夹边作三角形；（4）已

19、知底边及底边上的高作等腰三角形；（5）已知一直角边和斜边作直角三角形.2 .与圆有关的尺规作图（1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）.（2）作三角形的内切圆.尺规作图简史：“规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字 .“矩”就像现在木工使用的角尺，由长短两尺相交成直角而成， 两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股.矩的使用是我国古代的一个发明，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女蜗氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水 （公元前2000年）前.史记卷二记载大禹治水时 “左准绳，右规矩”.赵爽注周髀算经中有“禹治洪水， 望山川之形，定高下之势，乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先测量地势的高低，就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述，墨子卷七中说“轮匠（制造车子的工匠）执其规矩，以度天下之方圆.”孟子卷四中说“离娄 （传说中目力非常强的人）之明，公输子（即 鲁班，传说木匠的祖师）之巧，不以规矩，不能成方圆 .”可见，在春秋战国时期，规矩已被 广泛地用于作图、制作器具了 曲于我国古代的矩上已有刻度，因此使用范围较广，具有较 大的实用性