工程力学(上)电子教案第十三章

1、 学习好资料欢迎下载第十三章 动能定理教学时数：2 学时教学目标：对功的概念有清晰的理解，能熟练计算重力、弹性力和力矩的功。教学重点：力的功的计算教学难点：教学方法：板书PowerPoint教学步骤：一、力的功1、作用在质点上的力的功： F S F S cos（1）常力沿直线作功：W功是代数量，在国际单位制中，功的单位为Nm,称为焦耳（J）（2）变力沿曲线作功：将曲线分为无限多个无限小的弧段，每一小段弧长为 dS ，与它相对应的无限小位移为 dr ，方向与切向单位矢量 同向。在每一小段弧上，变力F 可视为常力，于是力F 在无限 小 位 移 drW F dr F cos ds F ds上 的 元

2、 功 为M F dsMWF dr 22M1M1 F i F j F k dr d i d j d k用解析式表示： Fxyzxyz 学习好资料欢迎下载M W F dx F dy F dz F dx F dy F dzW2xyzxyzM12. 作用在质点系上力系的功：,ri设质点系内任一质点 M的作用力，矢径和曲线路程分别为 F则力系ii F , F ,F 的总元功等于力系中所有力的元功之和，力系的总功等于力系中所有力的总12n功之和。即： F drF drW几种常见力的功： 重力功： 设有重为mg 的质点 M，由 M xWMi 2iiiiMi13, y , zM x , y , z处沿曲线移至

3、，此11112222 0 F 0F mg时质点的重力在坐标轴上的投影为：Fxyz 质点的重力在曲线路程/上的功为：W mgdz mg(z z )z212z1故重力的功仅与质点的重量及始末位置有关，而与路径无关。（2）弹力功： 设原长为r 的弹簧一端固定于点 O，另一端 M 沿任一空间曲线由M 运动01r至 M ，设弹簧的刚性系数为c(N / m),在弹性范围内，弹性力F c(r r ) 20r r dr F dr c(r r ) 弹性力的元功W0r r r2 r dr d(r) d( ) r d r22弹性力 F 在曲线路程/上的功为：ccW c(r r )dr (r r ) (r r ) (

4、 22 )2122r22201020r1 学习好资料欢迎下载 r r , r r分别表示弹簧在起点和终点的变形量。令110220 作用在转动刚体上力的功：设刚体可绕固定轴 Z 转动，作用在转动刚体上力F 可分解成相互正交的三个分力平行于轴 Z 的轴向力 F ，沿半径的径向力 F ，沿轨迹切线的切向力F 。当刚体有微小转角d 时，zr力作用点的位移为dr ， ds r d ( ) W F dr F r d M F dz( ) ( )W M F d M2zz211 动摩擦力的功：v fF 设质量为 m 的质点 M 在粗糙面上运动，动摩擦力FvN v drW F dr f F fF ds摩擦力的元功

5、vNNMM 摩擦力在曲线上的元功 W fF dsfF ds22NNM1M1可见动摩擦力的功恒为负值，它不仅取决于质点的始末位置，且与质点的运动路径有关。 fF s,特别地，若 F =常量时，Ws 为的曲线长度。nN课堂小结： 学习好资料欢迎下载对于各种功的求法要熟练掌握作业布置：课本习题 13-1教学后记： 学习好资料欢迎下载第二节 质点和质点系的动能第一节 动能定理教学时数：2 学时教学目标：1、能熟练计算平动刚体、定轴转动刚体、平面运动刚体的动能。2、能熟练应用动能定理解动力学问题。教学重点：物体动能的计算动能定理的应用教学难点：动能定理的应用教学方法：板书PowerPoint教学步骤：一

6、、动能（一）质点的动能：瞬时量,与速度方向无关的正标量,具有与功相同的量纲,单位是 J1T mv22122T m vi i（二）质点系的动能：对于任一质点系：（ 为第 i 个质点相对质心的速度）vi柯尼希定理1212T Mv m v 22Ci i刚体的动能：12121212 m v ( m )v Mv Mv1平动刚体T2222Ci ii121212 m v 2 ( m r 2 ) 2 I2定轴转动刚体T2i ii iz3平面运动刚体（P 为速度瞬心）12T I 2P 学习好资料欢迎下载I I Md2PC1 I2121212C( ) M d M v I22222CC二、动能定理1 质点动能定理两

7、边点乘以有d mv vdtFdrdtdm1而 (mv)vdt d(vv)d( mv2 )dma F2(mv)2 Fdtdtdr v dt12d( mv2) W动能定理的微分形式：将上式沿路径弧M M 积分，可得动能定理的积分形式121212mv2 mv2 W212 质点系的动能定理12( m v ) W2对质点系中的一质点M ： di iii对整个质点系，有质点系动能定理的微分形式dT Wi1122d( m v ) W d() m v W2 i ii2 i ii将上式沿路径弧M M 积分，可得质点系动能定理的积分形式12T T W21i在 理 想 约 束 的 条 件 下 ， 质 点 系 的 动

8、 能 定 理 可 写 成 以 下 的 形 式dT W( ) ; T T W( )FF21例 1 图示系统中,均质圆盘 A、B 各重 P，半径均为R, 两盘中心线为水平线, 盘 A 上作用矩为 M(常量)的一力偶；重物 D 重 Q。问下落距离 h 时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘 B 作纯滚动，初始时系统静止) 学习好资料欢迎下载W mQh ( h/R)(F )121Q2 g12T I v I 2222OACB1 P1Q2 g1 3 P2 2 g R2 2g2v R 2222ABv216g(8Q7P)T 0由T T Wv216g(F)121M(M /RQ)hg(8Q7P)0( Q

9、)h v4R8Q7P解：取系统为研究对象上式求导得：8Q7P dv M2v ( Q)dt Rdhdtdh(v )dt16g8(M /RQ)ga8Q7P三、动能定理的应用:1、图示的均质杆 OA 的质量为 30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数 k=3kN/m，为使杆能由铅直位置 OA 转到水平位置 OA，在铅直位置时的角速度至少应为多大？388.4(J)解：研究OA杆1212W P1.2 k( 2 2 )(F)30 9.8 1.230000 (2.4 1.2 2) 22121 12 3T 302.4 2 28.8 2 , T 0 T T W2(F)由,100221028.8 38

10、8.420 3.67rad/s0 学习好资料欢迎下载2、行星齿轮传动机构, 放在水平面内。 动齿轮半径 r ,重 P, 视为均质圆盘；曲柄重 Q, 长 l ,作用一力偶, 矩为 M(常量), 曲柄由静止开始转动； 求曲柄的角速度 (以转角 的函数表示) 和角加速度.解：取整个系统为研究对象QlPP r l2Q9P12g22T (l) ( ) l 2 22226g2g4 g r21Ql1 P2 g1 P r2 2 g22T 2 v 2222 3g11W M(F )T 01vlv l , 1r r112Q9Pl22 0M12g根据动能定理，得3gMl 2Q 9P26gM对时间求导得(2Q 9P)l

11、2课堂小结：从以上分析可见，在应用质点系的动能定理时，要根据具体情况仔细分析所有的作用力，以确定它是否做功。应注意：理想约束的约束力不做功，而质点系的内力做功之和并不一定等于零。作业布置： 学习好资料欢迎下载课本习题 13-7、13-12教学后记： 学习好资料欢迎下载第五节 势力场 势能 机械能守恒定律第六节 普遍定理的综合应用教学时数：2 学时教学目标：1、能熟练计算重力和弹性力的势能。2、熟知何种约束力的功为零，何种内力的功之和为零。3、能熟练应用机械能守恒定律解动力学问题。4、能熟练应用动力学基本定理解动力学的综合问题。教学重点：机械能守恒定律的应用。综合应用动力学基本定理。教学难点：综

12、合应用动力学基本定理教学方法：板书PowerPoint教学步骤：一、有势力，势力场，势能：势力场： 在力场中, 如果作用于质点的场力作功只决定于质点的始末位置，与运动路径无关，这种力场称为势力场。有势力（保守力 conservative force）：质点在势力场中受到的场力称为有势力(保守力),如重力、弹力等。势能：在势力场中, 质点从位置 M 运动到任选位置 M , 有势力所作的功称为质点在位置 M0相对于位置 M 的势能，用 V 表示。0MMV F dr Xdx Ydy Zdz00MMV P(zz )Ph01.重力场质点：质点系：2. 弹性力场：取弹簧的自然位置为零势能点V P(z z

13、)P hCC01V k2 2 学习好资料欢迎下载3. 万有引力场：取与引力中心相距无穷远处为零势能位置二有势力的功Gm m1V 2rM0 F dr W在 M 位置 V1110M1M0M 位置：V FdrW2220M2W W W V VM M ：1212102012有势力的功等于质点系在运动的始末位置的势能之差。Fdr Fdr ( )F dr F dr F d BAWABAB三质点系内力的功只要 A、B 两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零四理想约束:约束力的元功的和等于零的约束称为理想约束(1）光滑固定面（2）光滑铰链或轴承约束（3）刚性连接的约束（4）联结两个刚体的铰（5）柔性而不可伸长

14、的绳索约束物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱的又一种度量。 学习好资料欢迎下载五机械能守恒定律 机械能：系统的动能与势能的代数和.设质点系只受到有势力(或同时受到不作功的非有势力) 作用，则机械能守恒定律T V T V 常量这样的系统称为保守系统。1122例 1 长为 l，质量为 m 的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角 q 和质心的位置表达）。解：由于水平方向不受外力，且初始静止，故质心C 铅垂下降。由于约束反力不作功, 主动力为有势力，因此可用机械能守恒定律求解。1 I21212412l2 2T 0,V mg 任一瞬时：T

15、my ml my初瞬时：2222112C2yl212412l20 mg ml2 2 2 ( )my mgy 将由机械能守恒定律后得代入上式，化简lsin2ylsinl2l2 sin ,又 即 yy1 cos6g sin 2y y1 3 sin 2动力学普遍定理及综合应用动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理、动量矩定理和动能定理。动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都可应用研究机械运动，而动能定理还可以研究其它形式的运动能量转化问题。动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学普遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义：一是能根据问题的已知条件和待求量，选择适当的

16、定理求解，包括各种守恒情况的判断，相应守恒定理的应用。避开那些无关的未知量，直接求得需求的结果。二是对比较复杂的问题，能根据需要选用两、三个定理联合求解。求解过程中,要正确进行运动分析, 提供正确的运动学补充方程。 举例说明动力学普遍定理的综合应用： 学习好资料欢迎下载例 1 两根均质杆 AC 和 BC 各重为 P，长 为 l，在 C 处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，C 点高度为 h，求铰 C 到达地面时的速度。解：由于不求系统的内力，可以不拆开。lV mg( y)22研究对象：整体 0，分析受力： F ( )exh( ) 2 Ph1 PW FP2T 01 1

17、 P1 P3 gl22 2 l22T 2 3 g12v lT v2C3 gC2且初始静止，所以水平方向质心位置守恒代入动能定理1 P3 gv 0Ph v 3gh2CC例 2 均质圆盘 A：m，r；滑块 B：m；杆 AB：质量不计，平行于斜面。斜面倾角q，摩擦系数 f，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：滑块的加速度。解：选系统为研究对象 学习好资料欢迎下载2mg S sin f mgScosmg S f( 2sin cos) W(F )12121 1T 0T mv2 mv2 mr2 22 2125v r T mv2运动学关系：425由动能定理 mv240mgS( 2sin f cos)42a (

18、sin fcos)g55例 3 一矿井提升设备如图所示。质量为m、回转半径为p 的鼓轮装在固定轴上，鼓轮上半径为 r 的轮上用钢索吊有一平衡重量 m g。鼓轮上半径为 R 的轮上用钢索牵引重为 m g 的21矿车。设车在倾角为的轨道上运动。如在鼓轮上作用一常力矩M 。求：o（1）矿车的加速度；（2）连接平衡重物钢索中的拉力；（3）鼓轮的轴承约束力。不计各处的摩擦及车轮的滚动摩阻。1 mr Mm gr222m m v 2O m g sin s解：2RRRR12A1A22rrv r vBsr s RARBAM / g m Rsin m ra Rg2O1m R m r m2A2212求钢索拉力和鼓轮轴承约束力研究重物 B,利用质点动力学基本方程,有: 学习好资料欢迎下载rm g F m a maA2TB2 B2RrF