高中数学选择性必修一 1.1 空间向量及其运算（精讲）(含答案)

1、1.1 空间向量及其运算(精讲)思维导图常见考法考点一 概念辨析【例1】(2021全国高二课时练习)下列关于空间向量的说法中正确的是( )A若向量，平行，则，所在直线平行B若，则，的长度相等而方向相同或相反C若向量，满足，则D相等向量其方向必相同【答案】D【解析】A中，对于非零向量，平行，则，所在的直线平行或重合；B中，只能说明，的长度相等而方向不确定；C中，向量作为矢量不能比较大小；D中，由相等向量的定义知：方向必相同；故选：D.【一隅三反】1.(2021全国高二课时练习)下列命题中，假命题是( )A同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C只

2、有零向量的模等于0D共线的单位向量都相等【答案】D【解析】A.向量是有向线段，不能比较大小.真命题.B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同.真命题.C.零向量：模长为0的向量.真命题.D.共线的单位向量是相等向量或相反向量. 假命题.故选：D.2(2021全国高二课时练习)下列说法：若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；若向量，满足，且与同向，则；若两个非零向量与满足，则，为相反向量；的充要条件是A与C重合，B与D重合.其中错误的个数为( )A1B2C3D4【答案】C【解析】错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关.错误.

3、向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.正确. ，得，且，为非零向量，所以，为相反向量.错误. 由，知，且与同向，但A与C，B与D不一定重合.故选：C3(2021全国高二专题练习)在下列结论中：若向量共线，则向量所在的直线平行；若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；若三个向量两两共面，则向量共面；已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得其中正确结论的个数是( )A0B1C2D3【答案】A【解析】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故错两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故错.三个向量两两共面，这三个向量未必共面

4、，如三棱锥中，两两共面，但它们不是共面向量，故错根据空间向量基本定理，需不共面才成立，故错故选:A考点二 共线共面问题【例2-1】(1)(2020全国高二课时练习)设，是空间两个不共线的向量，已知，且A，B，D三点共线，则k_.(2)(2021全国高二)在下列条件中，使与，一定共面的是( )ABCD【答案】(1)8(2)C【解析】(1)又A，B，D三点共线，所以，即所以：，解得.故答案为：8(2)对于A选项，由于，所以不能得出共面.对于B选项，由于，所以不能得出共面.对于C选项，由于，则为共面向量，所以共面.对于D选项，由得，而，所以不能得出共面.故选：C【例2-2】(2021福建)如图，已知

5、为空间的9个点，且， ，求证：(1)四点共面，四点共面；(2)；(3).【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】证明：(1)，A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面(2).(3).【一隅三反】1(2021云南)已知为空间任意一点，若，则四点( )A一定不共面B一定共面C不一定共面D无法判断【答案】B【解析】由空间向量共面定理的推论若，满足，则四点共面，而，故四点共面.故选：B.2(2021河北)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且，F在对角线A1C上，且，求证：E，F，B三点共线. 【答案】证明见解析.【解析】设，而，.,又,，即

6、E，F，B三点共线.3(2021河南)已知，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足.(1)判断，三个向量是否共面；(2)判断点是否在平面内.【答案】(1)共面；(2)点在平面内.【解析】(1)由题意，知：，即，故共面得证.(2)由(1)知：共面且过同一点.所以四点共面，从而点在平面内.考点三 空间向量的线性运算【例3】(2021山东)如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式：(1)； (2)；(3)； (4)【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【解析】(1)(2)(3)(4)【一隅三反】1(2021天津)已知M，G分别是空间四边形ABCD的两边BC，CD的中点，化简下列各式：(1)；(2

7、)；(3)【答案】(1)；(2)；(3).【解析】(1)如图所示，.(2)取BD的中点H，连接MG，GH.因为M，G分别为BC，CD的中点，所以MGBH，MGBH，所以BMGH为平行四边形，所以，从而.(3)分别取AB，AC的中点S，N，连接SM，AM，MN，则易证得ASMN为平行四边形，所以，所以.2(2021广东)如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简：(1)；(2)【答案】(1)(2).【解析】(1)(2)因为E，F，G分别为BC，CD，DB的中点所以所以3(2021全国高二课时练习)如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分

8、别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且，.求证：四边形EFGH是梯形.【答案】证明见解析.【解析】因为分别为的中点，所以,则 ，所以且，又由不在直线上，所以四边形为梯形.4(2021广东潮州)如图，在长方体中，E、F分别为棱、AB的中点(1)写出与向量相等的向量；(2)写出与向量相反的向量；(3)写出与向量平行的向量【答案】(1)；(2)；(3)【解析】(1)由相等向量的定义知，大小相等，方向相同的两个向量为相等向量，所以与向量相等的向量为；(2)由相反向量的定义知，大小相等，方向相反的两个向量为相反向量，所以与向量相反的向量为；(3)由平行向量的定义知，方向相同或相反的两

9、个向量为平行向量，所以与向量平行的向量为.考点四 数量积【例4】(2021广东湛江)如图，在平行六面体中，求：(1)； (2)的长； (3)的长【答案】(1)10；(2)；(3)【解析】(1)；(2)，即的长为；(3)，即的长为.【一隅三反】1(2021宁夏银川市)如图，平行六面体，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的长为( )A1BCD3【答案】C【解析】，因此有：，所以的长.故选：C2(2021宁夏)如图所示，在平行六面体中，ABADA1，ADABBAD60，求：(1)A的长；(2)B的长.【答案】(1)；(2).【解析】(1)1112112112116.A.(2)111211()211211()2.3(2021云南)已知空间四边形OABC中，且OA=OB