概率论样本及其分布

1、第四 章 样本及抽样分布引言随机样本抽样分布4.1 随机样本一、总体与样本 1. 总体：我们把研究对象的全体称为总体（母体）。总体通常指研究对象的某项数量指标，如：产品的使用寿命，学生的身高等等。2.个体:组成总体的每个单元（或元素）称为个体。从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布。 为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体X1，X2,Xn进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体数目n称为样本容量.2. 样本 当抽样还未进行时，样本是随机变量，容量为n的样本可以看作n维随机变量(X1,X2,Xn

2、).但是，一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数 (x1,x2,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 .2. 独立性： X1,X2,Xn是相互独立的随机变量. 由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法. 最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”，它要求抽取的样本满足下面两点:1. 代表性： X1,X2,Xn中每一个与所考察的总体有相同的分布. 由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本，它可以用与总体独立同分布的n个相互独立的随机变量X1,X2,Xn表示.常见的简单随机抽样是随机放回抽样，在实际问题中，当总体很大，而样本容量很小时，随机

3、不放回抽样也可看成是简单随机抽样。今后，如未加说明。凡是提到样本都是指简单随机样本。 若总体的分布函数为F(x)，则其简单随机样本(X1,X2,Xn)的联合分布函数为F(x1,x2 xn)=PX1 x1,X2 x2,Xn xn = PX1 x1 PX2 x2 PXn xn =F(x1) F(x2) F(xn)总体（理论分布） ？ 样本 样本值 统计是从手中已有的资料-样本值，去推断总体的情况-总体分布F(x)的性质. 总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体. 样本是联系二者的桥梁二、统计量定义4.1：设(X1,X2,Xn)是来自总体X的一个样本

4、， g(X1， ，Xn )是样本X1， ，Xn 的函数，若g是连续函数，且g中不含任何未知参数，则称g(X1， ，Xn )为一个统计量。 若(x1,x2,xn)是样本(X1,X2,Xn)的一个观察值，则g(x1,x2,xn)是统计量g(X1， ，Xn )的一个观察值. 2.几个常见统计量样本均值样本方差-它反映了总体均值的信息-它反映了总体方差的信息样本k阶原点矩样本k阶中心矩 k=1,2,样本标准差 三. 统计量的三大分布分布1、分布是由正态分布派生出来的一种分布.记为定义: 设 相互独立, 都服从正态分布N(0,1), 则称随机变量： 所服从的分布为自由度为 n 的 分布.2.2分布的密度

5、函数f(y)曲线由 分布的定义，不难得到以下性质：2. 设 且X1,X2相互独立，则这个性质叫 分布的可加性.1. 设 ,则3. 设 ,则当n充分大时的分布近似正态分布N(0,1).记为Tt(n). 定义: 设XN(0,1) , Y , 且X与Y相互独立，则称变量所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.2、t 分布t(n)的概率密度为当n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形.由定义可见，3、F分布F(n2,n1)定义: 设 X与Y相互独立，则称统计量服从自由度为n1及 n2 的F分布，n1称为第一自由度，n2称为第二自由度，记作 FF(n1,n2) .若XF(n1,n2)， X的概

6、率密度为3. 分位点 设X为连续型随即变量，其概率密度为f(x),对于给定的：011).解 因为XN(10,32), 设 又从而所以例2：设X1， ，X10是取自N（0，0.32)的样本,求解 因为所以则从而查表得所以例3：设X1， ，Xn是取自N（,2)的样本,求样本方差S2的期望。解4.2.3 直方图 设X是一个随机变量，如何根据样本值x1,x2,xn近似求出它的概率密度(或分布函数)呢？现在介绍一种近似求概率密度的图解法直方图(1)先把样本值x1,x2,xn进行分组：(i)找出样本值x1,x2,xn的最小值与最大值，分别记为a=t0t1t2tmtm+1=b其中(iii) 数出样本值落在区

7、间(ti,ti+1中的个数，记为ni(i=0,1,2,m)为了掌握分组的三个步骤(i),(ii),(iii),看104页例4.4下面根据分组情况来做直方图。(2) 记则fi是样本值落入区间(ti,ti+1的频数。 由于n个样本的抽取是独立的，有概率的统计定义可知， fi近似等于随机变量X落入区间(ti,ti+1的概率，即现假设X的概率密度为f(t),则有在上式中， fi(i=0,1,m)是已知的，而 f(x)是未知，但它们之间有近似关系。怎样由fi去近似得出f(x)呢？为直观起见，我们借助于图形。 (3) 在平面上，画一排竖着的长方形：对每个i(0i m) ,以ti,ti+1为底，以oxyt1titi+1直方图这个图的好处就在于，它大致地描述了X的概率分布情况，因为每个长方形的面积，刚好近似地代表了X取值落入“底边”的概率。只要有了直方图，就可大致画出概率密度曲线：让曲线大致经过每个竖着的长方形的“上边”。 上面介绍的直方图法对于连续型的随机变量才用得上，现在介绍一种方法，无论对连续型的或离散性的随机变量