数学物理方程与特殊函数第一章课件

1、数学物理方程与特殊函数 课程的内容三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法波动方程、热传导、拉普拉斯方程贝赛尔函数、勒让德函数 数学物理方程定义描述某种物理现象的数学微分方程。一、 基本方程的建立第一章 一些典型方程和定解条件的推导二、 定解条件的推导三、 定解问题的概念一、 基本方程的建立条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅极小的 横振动。不受外力影响。例1、弦的振动研究对象：线上某点在 t 时刻沿纵向的位移。其中：其中：一维波动方程令：-非齐次方程自由项-齐次方程忽略重力作用：例2、热传导所要研究的物理量：温度 根据热学中的傅里叶实验定律在

2、dt时间内从dS流入V的热量为：从时刻t1到t2通过S流入V的热量为 高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分） 热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有热量从高温处流向低温处。热场流入的热量导致V内的温度发生变化 流入的热量：温度发生变化需要的热量为：热传导方程热场稳恒温度场：有热源：附注：在热传导问题中，如果温度分布稳定，即 ，热传导方程变为 此方程称为 Poisson方程。特别的，若 ，即则称此方程为Laplace方程，也称调和方程。Poisson方程或Laplace方程统称为位势方程 初始时刻的温度分布：B、热传导方程的初始条件C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始

3、条件 描述稳恒状态，与初始状态无关，不含初始条件A、 波动方程的初始条件1、初始条件描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度B、热传导方程的边界条件(1) 给定温度在边界上的值S给定区域 v 的边界(2) 绝热状态(3)热交换状态牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。热交换系数； 周围介质的温度第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件1、定解问题三、定解问题的概念(1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；(2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；(3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问

4、题。 把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。定解问题的检验 解的存在性：定解问题是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应 的微小变动。3、线性偏微分方程的分类 按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方程 按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程2、微分方程一般分类 (1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程；(2) 按未知函数及其导数是否线性，分为线性微分方程和 非线性微分方程；(3) 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶 和高阶微分方程。线性方程的解具有叠加特性 4、叠加原理 几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加。(物理上)判断下列方程的类型思考5、微分方程的解 古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方