高中数学必修二 19-20 第6章 6.1.1向量的实际背景与概念 6.1.2向量的几何表示 6.1.3相等向量与共线向量VIP

1、 6.1平面向量的概念6.1.1向量的实际背景与概念6.1.2向量的几何表示6.1.3相等向量与共线向量学 习 目 标核 心 素 养1.理解向量的有关概念及向量的几何表示(重点)2理解共线向量、相等向量的概念(难点)3正确区分向量平行与直线平行(易混点)1.从物理背景、几何背景入手，从矢量概念引入向量的概念，提升数学抽象的核心素养2类比实数在数轴上的表示，给出向量的几何意义，培养数学抽象和直观想象的核心素养3通过相等向量和平行向量的学习，提升逻辑推理的核心素养.1向量与数量(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量(2)数量：只有大小没有方向的量称为数量2向量的几何表示(1)具有方向的线段叫做有

2、向线段它包含三个要素：起点、方向、长度(2)向量可以用有向线段eq o(AB,sup14()来表示向量eq o(AB,sup14()的大小称为向量 eq o(AB,sup14()的长度(或称模)，记作|eq o(AB,sup14()|.向量也可以用字母a，b，c，表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：eq o(AB,sup14()，eq o(CD,sup14().思考：(1)向量可以比较大小吗？(2)有向线段就是向量吗？提示(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小(2)有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量3向量的有关概念零向量长度为0的向量，记作0单位向量长度

3、等于1个单位长度的向量平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量向量a，b平行，记作ab规定：零向量与任意向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量向量a与b相等，记作ab1正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，an，则这n个向量()A都相等B都共线C都不共线 D模都相等D因为多边形为正多边形，所以边长相等，所以各边对应向量的模都相等2有下列物理量：质量；温度；角度；弹力；风速其中可以看成是向量的有()A1个 B2个C3个 D4个B不是向量，是向量3已知|eq o(AB,sup14()|1，|eq o(AC,sup14()|2，若ABC90，则|eq o(BC,sup14()

4、|_.eq r(,3)ABC是以B为直角的直角三角形，所以|eq o(BC,sup14()|eq r(,2212)eq r(,3).4如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是_(填序号)(1)eq o(AD,sup14()与eq o(BC,sup14()；(2)eq o(OB,sup14()与eq o(OD,sup14()；(3)eq o(AC,sup14()与eq o(BD,sup14()；(4)eq o(AO,sup14()与eq o(OC,sup14().(1)(4)由平行四边形的性质和相等向量的定义可知：eq o(AD,sup14()eq o(BC,sup14()，eq o

5、(OB,sup14()eq o(OD,sup14()，eq o(AC,sup14()eq o(BD,sup14()，eq o(AO,sup14()eq o(OC,sup14().向量的有关概念【例1】判断下列命题是否正确，请说明理由：(1)若向量a与b同向，且|a|b|，则ab；(2)若向量|a|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|b|，若a与b的方向相同，则ab；(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反思路探究解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素解(1)不正确因为向量由两个因素来确定

6、，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小(2)不正确由|a|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系(3)正确因为|a|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得ab.(4)不正确依据规定：0与任意向量平行(5)不正确因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定1理解零向量和单位向量应注意的问题(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等(2)单位向量不一定相等，不要忽略其方向2共线向量与平行向量(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别；(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同；(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同提醒：解决与向量概念有关题目

7、的关键是突出向量的核心方向和长度1给出下列命题：若ab，bc，则ac；若单位向量的起点相同，则终点相同；起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；向量eq o(AB,sup14()与eq o(CD,sup14()是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上其中正确命题的序号是_错误若b0，则不成立；错误起点相同的单位向量，终点未必相同；正确对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；错误共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量eq o(AB,sup14()，eq o(CD,sup14()必须在同一直线上向量的表示及应用【例2】(1)如图，B，C是线段A

8、D的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出_个向量(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：eq o(OA,sup14()，使|eq o(OA,sup14()|4eq r(2)，点A在点O北偏东45；eq o(AB,sup14()，使|eq o(AB,sup14()|4，点B在点A正东；eq o(BC,sup14()，使|eq o(BC,sup14()|6，点C在点B北偏东30.(1)12可以写出12个向量，分别是：eq o(AB,sup14()，eq o(AC,sup14()，eq o(AD,sup14()，eq o(BC,sup14()，eq o(

9、BD,sup14()，eq o(CD,sup14()，eq o(BA,sup14()，eq o(CA,sup14()，eq o(DA,sup14()，eq o(CB,sup14()，eq o(DB,sup14()，eq o(DC,sup14().(2)解由于点A在点O北偏东45处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等又|eq o(OA,sup14()|4eq r(2)，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量eq o(OA,sup14()如图所示由于点B在点A正东方向处，且|eq o(AB,sup14()|4，所以在坐

10、标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量eq o(AB,sup14()如图所示由于点C在点B北偏东30处，且|eq o(BC,sup14()|6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3eq r(3)5.2，于是点C位置可以确定，画出向量eq o(BC,sup14()如图所示1向量的两种表示方法(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如eq o(

11、AB,sup14()，eq o(CD,sup14()，eq o(EF,sup14()等2两种向量表示方法的作用(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算2某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了10eq r(2)米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点(1)作出向量eq o(AB,sup14()，eq o(BC,sup14()，eq o(CD,sup14()；(2)求eq o(AD,sup14()的模解(1)作出向量eq o(AB,sup14()，eq o(BC,sup14

12、()，eq o(CD,sup14()，如图所示：(2)由题意得，BCD是直角三角形，其中BDC90，BC10eq r(2)米，CD10米，所以BD10米ABD是直角三角形，其中ABD90，AB5米，BD10米，所以ADeq r(52102)5eq r(5)(米)，所以|eq o(AD,sup14()|5eq r(5)米.相等向量和共线向量探究问题1两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？提示不一定因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关2若eq o(AB,sup14()eq o(CD,sup14()，则从直线AB与直线CD的关系和eq o(AB,su

13、p14()与eq o(CD,sup14()的方向关系两个方面考虑有哪些情况？提示分四种情况(1)直线AB和直线CD重合，eq o(AB,sup14()与eq o(CD,sup14()同向；(2)直线AB和直线CD重合，eq o(AB,sup14()与eq o(CD,sup14()反向；(3)直线AB直线CD，eq o(AB,sup14()与eq o(CD,sup14()同向；(4)直线AB直线CD，eq o(AB,sup14()与eq o(CD,sup14()反向【例3】如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且eq o(OA,sup14()a，eq o(OB,sup14()b，eq o(O

14、C,sup14()c.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a，b，c相等的向量思路探究根据相等向量与共线向量的概念寻找所求向量解(1)与a的长度相等、方向相反的向量有eq o(OD,sup14()，eq o(BC,sup14()，eq o(AO,sup14()，eq o(FE,sup14().(2)与a共线的向量有eq o(EF,sup14()，eq o(BC,sup14()，eq o(OD,sup14()，eq o(FE,sup14()，eq o(CB,sup14()，eq o(DO,sup14()，eq o(AO,sup14()，eq

15、o(DA,sup14()，eq o(AD,sup14().(3)与a相等的向量有eq o(EF,sup14()，eq o(DO,sup14()，eq o(CB,sup14()；与b相等的向量有eq o(DC,sup14()，eq o(EO,sup14()，eq o(FA,sup14()；与c相等的向量有eq o(FO,sup14()，eq o(ED,sup14()，eq o(AB,sup14().1本例条件不变，写出与向量eq o(BC,sup14()相等的向量解相等向量是指长度相等、方向相同的向量，所以题图中与eq o(BC,sup14()相等的向量有eq o(AO,sup14()，eq o

16、(OD,sup14()，eq o(FE,sup14().2本例条件不变，写出与向量eq o(BC,sup14()长度相等的共线向量解与eq o(BC,sup14()长度相等的共线向量有：eq o(CB,sup14()，eq o(OD,sup14()，eq o(DO,sup14()，eq o(AO,sup14()，eq o(OA,sup14()，eq o(FE,sup14()，eq o(EF,sup14().3在本例中，若|a|1，则正六边形的边长如何？解由正六边形中，每边与中心连接成的三角形均为正三角形，所以FOA为等边三角形，所以边长AF|a|1.相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向

17、量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些同向共线(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量1向量是近代数学重要的和基本的数学概念之一，有深刻的几何和物理背景，它是沟通代数、几何的一种工具，注意向量与数量的区别与联系2从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段3共线向量

18、与平行向量是一组等价的概念两个共线向量不一定要在一条直线上当然，同一直线上的向量也是平行向量4注意两个特殊向量零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.1判断正误(1)长度为0的向量都是零向量()(2)零向量的方向都是相同的()(3)单位向量的长度都相等()(4)单位向量都是同方向. ()(5)任意向量与零向量都共线()答案(1)(2)(3)(4)(5)2汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是()A汽车的速度大于摩托车的速度B汽车的位移大于摩托车的位移C汽车走的路程大于摩托车走的路程D以上都不对C速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较大小 3在下列命题中：平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；共线向量一定相等；相等向量一定共线；长度相等的向量是相等向量；平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量正确的命题是_由向量的相关概念可知正确4如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，DAB60，分别以A，B，C，D，O中的不同两点为始点与终点的向量中，(1)写出与eq o