高中数学必修二 19-20 第6章 6.4.3 第3课时正弦定理

1、 第3课时正弦定理(2)学 习 目 标核 心 素 养1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题(重点)2能根据条件，判断三角形解的个数3能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题(难点)1.通过三角形个数判断的学习，体现了数学运算和逻辑推理的素养2借助求解三角形面积及正弦定理的综合应用，提升数学运算素养.1正弦定理及其变形(1)定理内容：eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)2R(R为外接圆半径)(2)正弦定理的常见变形：sin Asin Bsin Cabc；eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)e

2、q f(c,sin C)eq f(abc,sin Asin Bsin C)2R；a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin Aeq f(a,2R)，sin Beq f(b,2R)，sin Ceq f(c,2R).思考：在ABC中，已知acos Bbcos A你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?提示可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acos B2Rsin Bcos A，移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos Bcos Asin B0.2三角形的面积公式任意三角形的面积公式为：(1)SABCeq f(1,2)bcsin Aeq f(1,2)acs

3、in Beq f(1,2)absin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半(2)SABCeq f(1,2)ah，其中a为ABC的一边长，而h为该边上的高的长(3)SABCeq f(1,2)r(abc)eq f(1,2)rl，其中r，l分别为ABC的内切圆半径及ABC的周长1在ABC中，sin Asin C，则ABC是()A直角三角形B等腰三角形C锐角三角形 D钝角三角形B由正弦定理可得sin Asin Ceq f(a,2R)eq f(c,2R)，即ac，所以ABC为等腰三角形2在ABC中，A30，a3，b2，则这个三角形有()A一解 B两解C无解 D无法确定A由ba和

4、大边对大角可知三角形的解的个数为一解3在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a4，b3，C60，则ABC的面积为()A3B3eq r(3)C6D6eq r(3)B由Seq f(1,2)absin Ceq f(1,2)43eq f(r(3),2)得S3eq r(3)，故选B.三角形解的个数的判断【例1】已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答(1)a10，b20，A80；(2)a2eq r(3)，b6，A30. 解(1)a10，b20，ab，A8020sin 6010eq r(3)，absin A，本题无解(2)a2eq r(3)，b6，ab，A3

5、0bsin A，bsin Aab，三角形有两解由正弦定理得sin Beq f(bsin A,a)eq f(6sin 30,2r(3)eq f(r(3),2)，又B(0，180)，B160，B2120.当B160时，C190，c1eq f(asin C1,sin A)eq f(2r(3)sin 90,sin 30)4eq r(3)；当B2120时，C230，c2eq f(asin C2,sin A)eq f(2r(3)sin 30,sin 30)2eq r(3).B160时，C190，c14eq r(3)；B2120时，C230，c22eq r(3).已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出

6、另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值或者根据该正弦值(不等于1时)在0180范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求. 1ABC中，ax，b2，B45.若该三角形有两解，则x的取值范围是 (2,2eq r(2)由asin Bba，得eq f(r(2),2)x2x，2xeq f(,2)，ACeq f(,2)，BCeq f(,2)；ABeq f(,2)Aeq f(,2)Bsin Acos B，cos Asin B.【例3】在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，m(sin A，sin B)，n(cos

7、 B，cos A)，mnsin 2C.(1)求C的大小；(2)若c2eq r(3)，Aeq f(,6)，求ABC的面积. 思路探究(1)由mnsin 2C，利用三角恒等变换求出C的大小；(2)由正弦定理可得b的大小利用三角形的面积公式求解解(1)由题意，mnsin Acos Bsin Bcos Asin 2C，即sin(AB)sin 2C，sin C2sin Ccos C.由0C0.所以cos Ceq f(1,2).Ceq f(2,3).(2)由Ceq f(2,3)，Aeq f(,6)，得BACeq f(,6).由正弦定理，eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)，即eq f(b,

8、sinf(,6)eq f(2r(3),sinf(2,3)，解得b2.所以ABC的面积Seq f(1,2)bcsin Aeq f(1,2)22eq r(3)sin eq f(,6)eq r(3).(变条件，结论)将例题中的条件“m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，mnsin 2C”换为“若ac2b,2cos 2B8cos B50”求角B的大小并判断ABC的形状解2cos 2B8cos B50，2(2cos2B1)8cos B50.4cos2B8cos B30，即(2cos B1)(2cos B3)0.解得cos Beq f(1,2)或cos Beq f(3,2)(舍去)0

9、B，Beq f(,3).ac2b.由正弦定理，得sin Asin C2sin B2sin eq f(,3)eq r(3).sin Asineq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)A)eq r(3)，sin Asin eq f(2,3)cos Acos eq f(2,3)sin Aeq r(3).化简得eq f(3,2)sin Aeq f(r(3),2)cos Aeq r(3)，sineq blc(rc)(avs4alco1(Af(,6)1.0Aeq f(2,3)，eq f(,6)Aeq f(,6)eq f(5,6)，Aeq f(,6)eq f(,2).Aeq f(,3)，Ceq

10、f(,3).ABC是等边三角形借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式1已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况：可能无解，也可能一解或两解首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知的两边的大小情况来确定该角有一个值或者两个值2结合正弦定理，同时注意三角形内角和定理及三角形面积公式、三角恒等变换等知识进行综合应用1判断正误(1)在ABC中，A30，a2，b2eq r(3)，则B60.(

11、)(2)在ABC中，eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)，但无法确定具体值()(3)由两边和一角就可求三角形的面积()答案(1)(2)(3)2在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a1，beq r(3)，B60，则ABC的面积为()A.eq f(1,2)B.eq f(r(3),2)C1D.eq r(3)Ba1，beq r(3)，B60，由正弦定理可得：sin Aeq f(asin B,b)eq f(1f(r(3),2),r(3)eq f(1,2)，ab，A60，A30，C180AB90，SABCeq f(1,2)abeq f(1,2)1eq

12、 r(3)eq f(r(3),2).故选B.3在ABC中，Aeq f(2,3)，aeq r(3)c，则eq f(b,c) .1由eq f(a,sin A)eq f(c,sin C)得sin Ceq f(csin A,a)eq f(1,r(3)eq f(r(3),2)eq f(1,2)，又0Ceq f(,3)，所以Ceq f(,6)，B(AC)eq f(,6).所以eq f(b,c)eq f(sin B,sin C)eq f(sin f(,6),sin f(,6)1.4在ABC中，若b5，Beq f(,4)，tan A2，则sin A ，a . eq f(2r(5),5)2eq r(10)由tan A2，得sin A2cos A，由sin2Acos2A1，得sin Aeq f(2r(5),5)，b5，Beq f(,4)，由正弦定理eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)，得aeq f(bsin A,sin B)eq f(2r(5),f(r(2),2)2eq r(1