高中数学必修二 第七章 7.1 7.1.2

1、7.1.2复数的几何意义知识点一复平面的相关概念如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数zabi可用点Z(a，b)表示这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做eq o(,sup4(01)复平面，x轴叫做eq o(,sup4(02)实轴，y轴叫做eq o(,sup4(03)虚轴复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应关系，即复数zabieq o(,sup7(一一对应)复平面内的点Z(a，b)知识点二复数的向量表示如图，设复平面内的点Z表示复数zabi，连接OZ，显然向量eq o(OZ,sup6()是由eq o(,sup4(01)点Z唯一确定的；反过来，点Z也可以由向量eq o(,sup4(02

2、)eq o(OZ,sup6()唯一确定复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系(实数0与零向量对应)，即复数zabieq o(,sup7(一一对应)平面向量eq o(OZ,sup6().这是复数的另一种几何意义，并且规定相等的向量表示eq o(,sup4(03)同一个复数知识点三复数的模的定义公式向量eq o(OZ,sup6()的模叫做复数zabi的模或绝对值，记作eq o(,sup4(01)|z|或eq o(,sup4(02)|abi|，即|z|abi|eq r(a2b2)(a，bR)如果b0，那么zabi是一个实数eq o(,sup4(03)a，它的模等于eq o(,s

3、up4(04)|a|(a的eq o(,sup4(05)绝对值)知识点四共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为eq o(,sup4(01)共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫eq o(,sup4(02)共轭虚数1复数的向量表示(1)任何一个复数zabi与复平面内一点Z(a，b)对应，而任一点Z(a，b)又可以与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量eq o(OZ,sup6()对应，这些对应都是一一对应，即(2)这种对应关系架起了联系复数与解析几何的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径

4、讨论复数的运算性质和应用时，可以在复平面内，用向量方法进行2共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称(2)实数的共轭复数是它本身，即zeq o(z,sup6()zR.利用这个性质，可以证明一个复数是实数(3)zeq o(z,sup6()|z|2|eq o(z,sup6()|2R.z与eq o(z,sup6()互为实数化因式1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上()(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数()(3)复数的模一定是正实数()(4)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件()答案(1)(2)(3)(4)2做一做(1)

5、若eq o(OZ,sup6()(0，3)，则eq o(OZ,sup6()对应的复数为_(2)复数z14i位于复平面上的第_象限(3)复数eq r(3)i的模是_(4)复数56i的共轭复数是_答案(1)3i(2)四(3)eq r(3)(4)56i题型一 复平面内复数与点的对应例1在复平面内，若复数z(m2m2)(m23m2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线yx上，分别求实数m的取值范围解复数z(m2m2)(m23m2)i的实部为m2m2，虚部为m23m2.(1)由题意得m2m20，解得m2或m1.(2)由题意得eq blcrc (avs4alco1(m2m20，)eq bl

6、crc (avs4alco1(1m2或m1，)1m0，解得m5，所以当m5时，复数z对应的点在x轴上方(2)由题意得(m25m6)(m22m15)40，解得m1或meq f(5,2)，所以当m1或meq f(5,2)时，复数z对应的点在直线xy40上.题型二 复平面内复数与向量的对应例2已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,32i，24i，试求：(1)eq o(AO,sup6()表示的复数；(2)eq o(CA,sup6()表示的复数；(3)点B对应的复数解由题意得O为原点，eq o(OA,sup6()(3,2)，eq o(OC,sup6()(2,4)(1)eq o(A

7、O,sup6()eq o(OA,sup6()(3,2)(3，2)eq o(AO,sup6()表示的复数为32i.(2)eq o(CA,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()(3,2)(2,4)(5，2)，eq o(CA,sup6()表示的复数为52i.(3)eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()(3,2)(2,4)(1,6)，eq o(OB,sup6()表示的复数为16i，即点B对应的复数为16i.复数与平面向量一一对应是复数的另一个几何意义，利用这个几何意义，复数问题可以转化为平面向量来解决，平面向量问题也可以用复数

8、方法来求解(1)复数43i与25i分别表示向量eq o(OA,sup6()与eq o(OB,sup6()，则向量eq o(AB,sup6()表示的复数是_；(2)在复平面内，O为原点，向量eq o(OA,sup6()对应复数为12i，则点A关于直线yx对称点为B，向量eq o(OB,sup6()对应复数为_答案(1)68i(2)2i解析(1)因为复数43i与25i分别表示向量eq o(OA,sup6()与eq o(OB,sup6()，所以eq o(OA,sup6()(4,3)，eq o(OB,sup6()(2，5)，又eq o(AB,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OA,su

9、p6()(2，5)(4,3)(6，8)，所以向量eq o(AB,sup6()表示的复数是68i.(2)点A(1,2)关于直线yx对称的点为B(2,1)，所以eq o(OB,sup6()2i.题型三 复数模的综合应用例3设zC，则满足条件|z|34i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？解由|z|34i|得|z|5.这表明向量eq o(OZ,sup6()的长度等于5，即点Z到原点的距离等于5.因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以5为半径的圆巧用复数的几何意义解题(1)复平面内|z|的意义我们知道，在实数集中，实数a的绝对值，即|a|是表示实数a的点与原点O间的距离那么在复数集中

10、，类似地，有|z|是表示复数z的点Z到坐标原点间的距离也就是向量eq o(OZ,sup6()的模，|z|eq o(OZ,sup6()|.(2)复平面内任意两点间的距离设复平面内任意两点P，Q所对应的复数分别为z1，z2，则|PQ|z2z1|.运用以上性质，可以通过数形结合的方法解决有关问题设zC，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？(1)1|z|2；(2)|zi|1.解(1)根据复数模的几何意义可知，复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，不包括环的边界(2)根据模的几何意义，|zi|1表示复数z对应的点到复数i对应的点(0,1)的距离为1.满足|zi|1的点Z的集合为以(0,1)为圆心，以1为半径的圆内的部分(不含圆的边界)1已知aR，且0a1，i为虚数单位，则复数za(a1)i在复平面内所对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案D解析0a0且a10，故复数za(a1)i在复平面内所对应的点(a，a1)位于第四象限故选D2复数z(a22a)(a2a2)i对应的点在虚轴上，则()Aa2或a1 Ba2且a1Ca0 Da2或a0答案D解析由点Z在虚轴上可知，点Z对应的复数是纯虚数和0，a22a0，解得a2或a0.3已知复数z12i(i是虚数单位)，则|z|_.答案eq r(5)解析因为z12i，所