函数的奇偶性的经典总结

1、函数的奇偶性一、函数奇偶性的基本概念1偶函数：一般地，如果对于函数fC)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x),f(-x)-f(x)=0，那么函数f(x)就叫做偶函数。2奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任一个x，都有f(-x)二-f(x)，f(-x)+f(x)=0，那么函数f(x)就叫做奇函数。注意：(1)判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断f(-x)二土fC)之一是否成立。(2)在判断fC)与f(-x)的关系时，只需验证f(-x)土f0=0及/U=土1是否成立即f(x)可来确定函数的奇偶性。

2、题型一判断下列函数的奇偶性。f(x)=x2+|x|，(2)f(x)=x3-x(3)G(x)=f(x)f(x),xeR(5)f(x)=xcosx(6)f(x)=xsinx(7)f(x)=2x-2-x，(8)提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。常见的奇函数有：f(x)=x，f(x)=x3，f(x)=sinx，常见的奇函数有：f(x)=x2，f(x)=|x|，f(x)=cosx若f0、gC)都是偶函数,那么在f0与gC)的公共定义域上，fC)+gC)为偶函数，fC)-gC)为偶函数。当g0时，也为偶函数。g(x)若fC),gC)都是奇函数，那么在f

3、C)与g(x)的公共定义域上，fC)+g(x)是奇函数，f(x)-g(x)是奇函数，fC)gC)是偶函数，当g(x)/0时，凹是偶函数。g(x)(6)常函数f(x)=c(c为常数)是偶函数，f(x)=0既是偶函数又是奇函数。(7)在公共定义域内偶函数的和、差、积、商分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(8)对于复合函数FC)=fgC)；若gC)为偶函数，f(x)为奇(偶)函数，则FC)都为偶函数；若gC)为奇函数，fc)为奇函数，则F(X)为奇函数;若gC)为奇函数，fc)为偶函数，则F(x)

4、为偶函数.题型二三次函数奇偶性的判断已知函数/(x)二ax3+bx2+cx+d，证明：(1)当a二c二0时，f(x)是偶函数当b=d=0时，f(x)是奇函数提示：通过定义来确定三次函数奇偶性中的常见题型，如f(x)二ax2+bx+c，当b二0,f(x)是偶函数；当a二c二0，f(x)是奇函数。题型三利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值函数f(x)二ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为a-1,2a，则a+b=3-2设f(x)=ax2+bx+2是定义在11+a,2上的偶函数，则f(x)的值域是-10,2_.sinx3已知f(x)=是奇函数，则a的值为1(x-1)(x+a)4已知f(x)=s

5、inxln(x+*x2+a)是偶函数，则a的值为1提示：(1)上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)。(2)因为是填空题，所以还可以用f(-1)=-f(1),f(-1)=f(1)。还可以用奇偶性的性质，如奇函数乘以奇函数是偶函数，奇函数乘以偶函数是奇函数等题型四利用函数奇偶性的对称1下列函数中为偶函数的是(B)A.y=x2sinxy=xB.y=x2cosxC.y=|lnxD.y=2-x2下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是AA.B.C.D.3下列函数中，为偶函数的是(C)Ay=x+1B.yC.y=x4D.y=xx4函数f(x)-x的图像关于(C)

6、xA.y轴对称B.直线y-x对称C.坐标原点对称D.直线yx对称5已知函数f(x+1)是R上的奇函数，且f(-1)4，则f=-46已知函数f(x+2)是R上的偶函数，则f(-3)-3，则f(7)=-3提示：(1)上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，f(-x)f(x),f(-x)-f(x)。奇函数关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。在原点有定义的奇函数必有f(0)0。已知函数f(x+1)是R上的奇函数，则f(x)关于点(t,0)对称。已知f(x+1)是偶函数，则f(x)关于直线xt对称。题型五奇偶函数中的分段问题1设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x+2x+b(b为常数)，

7、则f(-1)-32已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)=x|x-，求x0时，f(x)2x3-x2，则f(-3)=-45已知f(x)是偶函数，当x0时，f(x)x2+2x，求f(-4)24设偶函数f(x)满足f(x)2x-4(x0)，则(x-2)xIx4提示：(1)已知奇函数f(x)，当x0，f(x)g(x)，则当x0，f(x)g(x)，则当x0时，f(x)g(-x)。类型六奇函数的特殊和性质1已知函数f(x)=ax3+2，求/(一2)+/的和为42已知f(x)=x7-bx5+ex3+dx+6,且f(-3)=12，则f=03已知f(x)=x5+ax3+bx-8,f(-2)=10,f(2)=

8、_-26_4已知函数f(x)二匕罕1，若f(a)=2，则f(-a)=(4)x2+133提示：已知f(x)满足，f(x)=g(x)+1，其中g(x)是奇函数，则有f(a)+f(-a)=2t。题型七函数奇偶性的结合性质1设f(x)、g(x)是R上的函数，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则结论正确的是A.f(x)g(x)是偶函数Bf(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数2设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A.f(x)+|g(x)|是偶函B.f(x)-|g(x)|是奇函数C.f(x)|+g(x)|是偶函数D.

9、f(x)-g(x)|是奇函数3设函数与的定义域是且,是偶函数,是奇函数,且,求和的解析式,提示：(1)已知f(x)是奇函数，则If(x)|是偶函数。(2)已知h(x)是R上的函数，且f(x)也是R上的偶函数和也是R上的奇函数，满足h(x)=f(x)+g(x)，则有g(x)=h(-x)+h(x)2f(x)=h(x)一h(-x)题型八函数的奇偶性与单调性1下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+8)上单调递减的是()A1y=xBy=e-xCy=-x2+1D.y=lgx(A)y=cos2x,XeR下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为(B)y=log2|,xeR且xH0C)exe-x

10、(D)y二x3+1,xeR设，则(B)A既是奇函数又是减函数B既是奇函数又是增函数C有零点的减函数D没有零点的奇函数4设奇函数f(x)在(0,+Q上为增函数，且f=0，则不等式f(x)f(x)0，则x的取值范围是(1,3).126已知偶函数在区间单调增加，则满足0时,f(x)0，又f(1)=2(1)求证：f(x)是奇函数；(2)求证：f(x)在R上是减函数；(3)求f(x)在区间-2,6上的最值。最大值1,最小值-3。，且有f2a2+a+10.则f(x)为(B)-1,x0A.偶函数B.奇函数C既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数5已知f(X)为奇函数，则f(x)-x为(A)A奇函数

11、B.偶函数C.既不是奇函数又不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数6已知点6,3)是偶函数f(x)图像上一点，则f(-1)等(B)7若点(-1,3)在奇函数y=f(x)的图象上，则f(1)等于(D)8已知y二f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1若g(x)=f(x)+2，则g(-1)=-1.9设是定义在上的一个函数，则函数，在上一定是(A)A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数10设f(x)是R上的奇函数，且y=f(x)的图象关于直线x=1对称，则2f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=011已知偶函数f(x)的图像关于直线x二2对称，f=3，则f(-1)=_3.12设函

12、数fC)对于任意x,yeR都有f(x+y)=f(x)+f(y)，求证：fC)是奇函数。13已知teR，函数f(x)=2x+,x-0,为奇函数，则t=-1,g(f(-2)=g(x),x0),求f2(x)-4f(x)+3二0的个数7已知偶函数f(x)=x2一4|x|+6(x0)，求f3(x)一12f2(x)+44f(x)一48=0的个数9四、函数奇偶性的性质1已知f(x+3)是偶函数，且f(0)=2，则2f(6)-3的值为1已知f(x)=x+2，则f(一3)+f的值43已知其中为常数，若，则的值等于(-10)b15已知f(x)=ax+2，则f(ln3)+f(ln)的值-4已知f(x)=ax2，则f

13、(-3)+f的值-4xb17已知函数f(x)=In6已知f(x)=ax+-csinx+3，贝gf(ln3)+f(ln)的值6+2，则f(lg5)+flg-k5丿8已知函数f(X)二Inl+9x2-3x1,贝f(lg2)+flg-k2丿9已知函数f(x)=ax3+bsinx+4(a,bgR),f(lg(log10)=5，则f(lg(lg2)=3210设函数f(x)=的最大值为M，最小值为m，则M+m=_2x2+111已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当xg(-0)时，f(x)=2x3+x2，则f=11在R上的奇函数和偶函数满足f(x)+g(x)二ax-a-x+2(0,且)若，则二12若函数f

14、(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)-g(x)二ex，则有(D)Affg(0)Bg(0)ffCfg(0)fD.g(0)f(2)f(3)13若函数f(x)为R上的偶函数且当0 x0)上的最大值为M，最小值为ex+1m，则M+m=4.20奇函数f(x)的定义域为R，若f(x+2)为偶函数，且f(1)=1，则f(8)+f(9)=(1)21设定义在R上的奇函数，满足f(x)=f(x+2)，那么f(1)+f+f(2017)的值022已知函数f(x)是R上的偶函数，当x0，都有f(x+2)=f(x)，且当xe0,2)时，f(x)=log2(x+1)，则有f(-2016)+f(2017

15、)的值1五、函数奇偶性和单调性的应用1已知函数是偶函数，则的递减区间是2设奇函数f(x)在(0,+Q上为增函数，且f=0，则不等式f(x)二f(x)0，则x的取值范围是(-1,3).127已知偶函数在区间单调增加，则满足0),则xI/(x-2)0=xIx410已知函数/(X)是定义在R上的奇函数,且在区间(-+8)上单调递减,若/(3x+1)+/(1)0，则x的取值范围是_(-3，+s)_.11已知/(X)是定义在R上的偶函数，且在区间(-8,0)上单调递增，若实数A满足13/(2iA-1I)/(-迈)，贝UA的取值范围是(_,_)12已知定义在R上的函数/(X)二2x-M-1(m为实数)为偶

16、函数，记a=/(log3),B=/(log5),c=/(2m)，则a,B,c的大小关系为cAb0.5213/(x)是定义在R上的偶函数，在(-8,0上是减函数，且/=0,则使得/(x)0的解集是(4,10),g(x)0的解集为(2,5),则/(x)-G(x)0的解集为(-5,-4)U(4,5)17已知函数f(x)是R上的偶函数，且在0,+8)上是增函数，令2兀5兀5兀a=/(sin),B=/(cos_7),c=/(tan),则a,B,c的大小，caB18已知函数/(x)是R上的奇函数，若当xe(0,+8)时，F(x)=lg(x+4),则满足/(x)0的解集，(-5,0)U(5,+8)19设是奇

17、函数，且在内是增函数，又，则的解集是()20设f(x)是定义在上的偶函数，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围21函数f(x)是R上的偶函数，且在0,+)上单调递增，则下列各式成立的是(B)ABCD22R上的偶函数满足：对任意的，有则A.（A）（B）（C）（D）23设函数f（x）=In（1+x）In（1-x），则f。）是（A）A奇函数，且在(0,1)上是增函数C偶函数，且在(0,1)上是增函数24已知函数f(x)=lnx+ln(2x),则A.f(x)在(0,2)单调递增c.y=f(x)的图像关于直线x=i对称B奇函数，且在(0,1)上是减函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数

18、B.f(x)在(0,2)单调递减D.y=f(x)的图像关于点(1,0)对称25函数在单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是26函数f(x)(x丰0)是奇函数，且当xe(0,+8)时是增函数，若f(1)=0，求不等式f(x10的解集。I2丿27已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y=f(x2+2)+f(2x-m)只有一个4零点，则函数g(x)=mx+(x1)的最小值是(5)x128已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x)，且在区间0,2上是增函数,若方程f(x)=m(m0)在区间L8,8上有四个不同的根x,x,x,x1234x+x+x+x=.-81234已

19、知函数f(x)二x3-4x，求f(x-2)0的解集(0,2)(4,+8)已知R上的奇函数f(x)=x2-4x+4+b(x0)，求f(x)0时，f(x)=1(|x-a21+|x-2a21-32)。若VxeR,f(x-1)f(x)，则实数a的取值范围为-6,11662已知函数f(x)=x-2m2+m+3(meZ)是偶函数，且f(x)在(0,+8)上单调递增.(I)求m的值，并确定f(x)的解析式；(口)g(x)=log32xf(x),求g(x)的定2义域和值域.答案：(I)m=1,f(x)=x2；(n)(8,2已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：是奇函数；(2)在定义域上单调递减；(3)求的取值范围。已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明：(1)函数是上的减函数；函数是奇函数。5已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x).求f(2012)的值；0求证：函数f(x)的图像关于直线x=2对称；若f(x)在区间0,2上是增函数，试比较f(-25),f(11),f(80)的大小.f(-25)f(80)h(log(2a+1)对任意xe1,+刈恒成