刚体的平面运动

1、刚体的平面运动第1页，共23页，2022年，5月20日，11点15分，星期一14.1 刚体平面运动的基本概念 什么是刚体的平面运动？ 请先看三个动画 ：动画1第2页，共23页，2022年，5月20日，11点15分，星期一14.1 刚体平面运动的基本概念 动画2第3页，共23页，2022年，5月20日，11点15分，星期一14.1 刚体平面运动的基本概念 动画3 沿直线轨道滚动的车轮，曲柄连杆机构中连杆的运动以及行星齿轮机构中行星轮的运动都是刚体的平面运动。它们的运动都有一个共同的特点： 刚体在运动过程中，刚体内任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离。刚体的这种运动称为平面运动。 第4页，共2

2、3页，2022年，5月20日，11点15分，星期一14.1 刚体平面运动的基本概念 刚体平面运动力学模型的简化 先看动画 ： 结论：刚体的平面运动可以简化为平面图形S在自身平面内的运动。 第5页，共23页，2022年，5月20日，11点15分，星期一14.1 刚体平面运动的基本概念 平面运动分解为平动和转动 1.平面运动的分解 运动的合成和分解的概念也可应用于刚体的运动。以车轮滚动为例说明。 上述方法可用来研究任何平面图形的运动。 第6页，共23页，2022年，5月20日，11点15分，星期一14.1 刚体平面运动的基本概念 于是，图形S的绝对运动（对于定系的运动）是所研究的平面运动,它的相对

3、运动 （对于动系的运动）是绕基点A的转动，它的牵连运动（动系对于定系的运动）则是以基点A为代表的平动。因此，刚体的平面运动可分解为随基点的平动和绕基点的转动。 14.1. 3 平面运动分解为平动和转动 请看动画。在平面图形上任取一点A为平动坐标系Axy的原点，A点称为基点。 第7页，共23页，2022年，5月20日，11点15分，星期一14.1 刚体平面运动的基本概念 14.1. 3 平面运动分解为平动和转动 2平面运动的分解与基点选择的关系 请看动画。平面图形S在时间间隔t内由位置运动至位置。 这一运动过程，可以这样认为：平面图形S首先以A点为基点平动到位置，而后再绕A1点逆时针转至位置；也

4、可以认为是：平面图形S先以B点为基点平动到B1A1位置，而后再绕B1点逆时针转至位置。上述两种看法都可表达出平面图形S某一瞬时的运动情况，得到相同的运动结果。但是，选取不同的基点，其平动部分在时间间隔t内走的位移不相同，当然平动速度也就不相同；而在同一时间间隔t内，不论基点如何选取，平面运动刚体转过的角位移是相同的，所以平面图形绕基点转动的角速度都是相同的。即刚体平面运动的平动速度与基点的选取有关，而刚体平面运动的转动角速度则与基点的选取无关。第8页，共23页，2022年，5月20日，11点15分，星期一14. 2 平面运动刚体内各点的速度分析 14.2. 1 基点法 如图所示，已知某瞬时平面

5、图形S上A点的速度vA和平面图形的转动角速度，求图形S上任一点B的速度。 取点A为基点。由于平面图形S的运动可看成随基点A的平动（牵连运动）和绕基点A的转动（相对运动）的合成。可以用点的速度合成定理求解。即 即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点绕基点转动速度的矢量和。这就是基点法，或称平面运动的速度合成法，是求平面运动图形上任一点速度的基本方法。 (a)因 ，代如（a)式，得：（14.1）第9页，共23页，2022年，5月20日，11点15分，星期一14. 2 平面运动刚体内各点的速度分析 14.2. 1 基点法 例14.1 发动机的曲柄连杆机构如图所示。曲柄OA长为r = 200 m

6、m,以匀角速度2 rad/s绕点O转动，连杆AB长为l = 990 mm。试求当OAB90时，滑块B的速度及连杆AB的角速度。 解： （1）选连杆AB为研究对象，连杆AB作平面运动。由于连杆上点A速度已知，所以选点A为基点。(2)B点的运动，可视为随基点A的平移与绕基点A的转动的合成运动。 式中，vA=r= 2002 = 400 mm/s , 方向垂直OA。 vAB垂直AB，指向和大小未知。 B点绝对速度vB沿水平方向。作出速度平行四边形。 由基点法 ：第10页，共23页，2022年，5月20日，11点15分，星期一14. 2 平面运动刚体内各点的速度分析 14.2. 1 基点法 方向如图所示

7、。 由几何关系得 ：，其方向为水平方向。 连杆AB的角速度为 ：，其转向为顺时针方向。 第11页，共23页，2022年，5月20日，11点15分，星期一14. 2 平面运动刚体内各点的速度分析 14.2. 2 速度瞬心法 1速度瞬心法 上式表明，在该瞬时平面图形内各点的运动可看成绕点C的转动。这个速度恰好为零的点，称为平面图形在该瞬时的速度中心，简称速度瞬心或瞬心。 平面图形在其自身平面内运动时，其中任意一点M的速度满足下式： 式中， 表示基点的速度。由于基点 的选择是任意的，若在平面图形（或其延伸部分）能找到这样一点C，其在该瞬时的速度vc= 0,取该点为基点，则上式具有如下的形式，即 ：第

8、12页，共23页，2022年，5月20日，11点15分，星期一14. 2 平面运动刚体内各点的速度分析 14.2. 2 速度瞬心法 1速度瞬心法 方向与CM垂直且顺着的转向。这种应用速度瞬心来求平面图形内各点速度的方法，称为速度瞬心法。 以车轮为例近一步理解速度瞬心的概念。 那么,某瞬时平面图形上是否存在速度为零的点呢？如果存在的话，我们如何找到它？请看推导 。 可见，只要找到平面图形在某一瞬时的瞬心位置，则图形内其它各点在此瞬时的绝对速度就等于它们绕瞬心C转动的速度。以点M为例。若该点到瞬心C的距离为 ,则其速度大小为: 第13页，共23页，2022年，5月20日，11点15分，星期一14.

9、 2 平面运动刚体内各点的速度分析 14.2. 2 速度瞬心法 1速度瞬心法 显然，使用瞬心法的关键是确定瞬心的位置。下面分别加以讨论：(1) 如图所示，物体沿固定面作无滑动的滚动（纯滚动）。此时，物体与固定面的相互接触点的速度相同。由于固定面的速度为零，故物体上与固定面相接触的点C的速度也为零，因此该点即为此瞬时的瞬心。 第14页，共23页，2022年，5月20日，11点15分，星期一14. 2 平面运动刚体内各点的速度分析 14.2. 2 速度瞬心法 1速度瞬心法 显然，使用瞬心法的关键是确定瞬心的位置。(2)如图所示，已知A、B两点的速度 、 的方向，则通过这两点分别作速度 、 的垂线，

10、这两条垂线的交点C,就是此瞬时的瞬心。第15页，共23页，2022年，5月20日，11点15分，星期一14. 2 平面运动刚体内各点的速度分析 14.2. 2 速度瞬心法 1速度瞬心法 显然，使用瞬心法的关键是确定瞬心的位置。(3)如图所示， A、B两点的速度 、 大小不等、方向互相平行且都垂直于AB连线，则瞬心必在AB连线或AB的延长线上。此时，须知道A、B两点速度的大小才能确定瞬心的具体位置。如图所示，瞬心C位于 、 两矢量终点连线与AB直线的交点处。 第16页，共23页，2022年，5月20日，11点15分，星期一(4)如图所示， 任意两点A、B的速度 、 相互平行，且 = ，则该瞬时图

11、形的瞬心C在无穷远处，此时图形的角速度为零，图形上各点的速度都相同。这种情况称为瞬时平移。 14. 2 平面运动刚体内各点的速度分析 14.2. 2 速度瞬心法 1速度瞬心法 显然，使用瞬心法的关键是确定瞬心的位置。第17页，共23页，2022年，5月20日，11点15分，星期一14. 2 平面运动刚体内各点的速度分析 14.2. 2 速度瞬心法 当刚体作瞬时平移时，虽然此瞬时的角速度为零，各点速度相同，但各点的加速度并不相同，角加速度不等于零，故下一瞬时，各点的速度便不再相同，刚体也不再作瞬时平移。 必须指出，刚体在作平面运动的过程中，作为瞬心的那一点的位置不是固定的，而是随时间不断变化的。 例14.2例14.3补充例题1补充例题2第18页，共23页，2022年，5月20日，11点15