函数项级数讲稿

1、关于函数项级数第一张，PPT共四十九页，创作于2022年6月第三章 函数的极限与连续性本章学习要求： 了解函数极限的概念，知道运用“”和 “X ”语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函

2、数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。第二张，PPT共四十九页，创作于2022年6月第三章 函数的极限与连续性第六节 幂 级 数一. 函数项级数二. 幂级数及其敛散性三. 幂级数的运算第三张，PPT共四十九页，创作于2022年6月1. 函数项级数的定义设有一函数序列为定义在区间 I 上的函数项级数.一、函数项级数第四张，PPT共四十九页，创作于2022年6月函数项级数 可以利用常数项级数的知识来处理函数项级数第五张，PPT共四十九页，创作于2022年6月2. 函数项级数的敛散性的收敛点 .的发散点 .第六张，PPT共四十九

3、页，创作于2022年6月它的收敛域, 记为 D .它的发散域 .第七张，PPT共四十九页，创作于2022年6月3. 函数项级数的和函数为函数项级数的和函数.第八张，PPT共四十九页，创作于2022年6月称函数项级数的前 n 项之和为其部分和：不论级数在点处是否收敛, 均可写出其部分和.如果级数在点处收敛, 则有第九张，PPT共四十九页，创作于2022年6月4. 函数项级数敛散性判别可以适当地运用常数项级数的敛散性判别法, 判别函数项级数的敛散性.特别注意比较判别法的应用.第十张，PPT共四十九页，创作于2022年6月并求其收敛域.即原级数在整个实数域上是绝对收敛的.所求收敛域为解例1第十一张，

4、PPT共四十九页，创作于2022年6月的敛散性, 并求其收敛域.这是等比级数.故该级数的收敛域为: 要打开思路!解例2第十二张，PPT共四十九页，创作于2022年6月几个问题在级数一致收敛的条件下, 以上两个问题的答案是: 肯定成立 .第十三张，PPT共四十九页，创作于2022年6月5. 函数项级数的一致收敛性一致收敛性的定义由定义: 函数项级数一致收敛则必收敛.第十四张，PPT共四十九页，创作于2022年6月 由于函数项级数的部分和函数以及和函数都是定义在收敛域 D 上的函数, 故可以运用函数极限中的柯西准则来判别函数项级数的一致收敛性.请看书中的柯西收敛原理!第十五张，PPT共四十九页，创

5、作于2022年6月 魏尔斯特拉斯利用正项级数的比较判别法创建了一个十分有用和十分重要的一致收敛判别法魏尔斯特拉斯判别法.魏尔斯特拉斯判别法关键!第十六张，PPT共四十九页，创作于2022年6月证例3第十七张，PPT共四十九页，创作于2022年6月形如的级数称为幂级数, 其中, 称为幂级数的系数.1. 幂级数的定义二. 幂级数及其敛散性第十八张，PPT共四十九页，创作于2022年6月幂级数的一般形式为第十九张，PPT共四十九页，创作于2022年6月当幂级数收敛时, 由可知, 不论“和函数”多么复杂, 我们可以用多项式来近似它. 当 n 的值充分大时, 这种代替可达到相当的精度.第二十张，PPT共

6、四十九页，创作于2022年6月由此可联想到什么？2. 幂级数的敛散性首先进行分析：则由收敛的必要条件 , 有而有极限的量必有界 , 故第二十一张，PPT共四十九页，创作于2022年6月它是收敛的, 结论:第二十二张，PPT共四十九页，创作于2022年6月（）收敛以上分析结论的图示:第二十三张，PPT共四十九页，创作于2022年6月（）发散若在外部一点收敛, 会怎么样？若在内部一点收敛, 会怎么样？不怎么样推出第二十四张，PPT共四十九页，创作于2022年6月则由上面的分析可知, 所有满足这与假设矛盾. 该矛盾说明: 当原级数发散 .第二十五张，PPT共四十九页，创作于2022年6月由以上的分析

7、发现：既有收敛点, 又有发散点, 则从坐标原点开始沿数轴往右(左)走, 最初只可能遇到它的收敛点 ,然后就会只遇到它的发散点, 这两部分的分界是关于坐标原点对称的, 幂级数在分界点处可能收敛, 也可能发散.现将以上的分析用图表示出来.第二十六张，PPT共四十九页，创作于2022年6月（）收发幂级数在一个以坐标原点为中心的对称区间内收敛, 在此区间外发散 , 在区间端点处幂级数可能收敛 , 也可能发散 .当幂级数仅在第二十七张，PPT共四十九页，创作于2022年6月 现在请你回想并归纳一下我们刚才进行的分析工作, 给出你的结论.第二十八张，PPT共四十九页，创作于2022年6月阿贝尔定理第二十九

8、张，PPT共四十九页，创作于2022年6月幂级数敛散性定理都存在一个非负第三十张，PPT共四十九页，创作于2022年6月幂级数的收敛半径我们称上述定理中的非负数 R 为幂级数的收敛半径. 如何求收敛半径？第三十一张，PPT共四十九页，创作于2022年6月求收敛半径的定理 你能证明吗? 有点像达朗贝尔判别法？第三十二张，PPT共四十九页，创作于2022年6月由达朗贝尔判别法：讨论要证第三十三张，PPT共四十九页，创作于2022年6月第三十四张，PPT共四十九页，创作于2022年6月第三十五张，PPT共四十九页，创作于2022年6月故此时幂级数发散, 仅当第三十六张，PPT共四十九页，创作于202

9、2年6月例3解综上所述, 得:第三十七张，PPT共四十九页，创作于2022年6月谁的收敛半径？例4解第三十八张，PPT共四十九页，创作于2022年6月由交错级数判别法, 可知此时级数收敛.第三十九张，PPT共四十九页，创作于2022年6月例5解第四十张，PPT共四十九页，创作于2022年6月由级数收敛的必要条件, 可知综上所述, 第四十一张，PPT共四十九页，创作于2022年6月这是一个缺项的幂级数, 不能直接运用求幂级数收敛半径的计算公式. 今后遇到这类级数应该按照函数项级数的情形处理, 通常是采用达朗贝尔判别法.例6解第四十二张，PPT共四十九页，创作于2022年6月 幂级数的运算 幂级数的四则运算 幂级数的解析运算三. 幂级数的运算第四十三张，PPT共四十九页，创作于2022年6月幂级数的四则运算设有两个幂级数则有以下运算规则第四十四张，PPT共四十九页，创作于2022年6月1. 加、减法第四十五张，PPT共四十九页，创作于2022年6月2. 乘 法 ( 对角线法 )第四十