数学相关线性代数第三章la3

1、3.6 线性变换及其矩阵表示 定义3.6.1 设A、B是两个集合，若有一个确定的法则，使对A中每个元素x，都有B中唯一确定的元素y与之对应，则称这个法则是A到B的一个映射。 此时称y为x在 下的象，称x为y在 下的原象。 如果 是A到B的映射，则记为如果 通过 对应 ，则记为一、映射 例3.6.1 设 则 是A到B的映射。 例3.6.2 在解析几何中，设A表示空间中所有点的集合， 则在建立空间直角坐标系后，存在A到B的一个映射。 例3.6.3 设 则 是A到B的映射。由上面三个例子可知： （1）A与B可以是相同的集合，也可以是不同的集合； （3）一般来说，B的元素不一定都是A中元素的象。 （2

2、）对A中每个元素x，需要B中一个唯一确定的元素与它对应； 设 : AB,记 (A) = (x), xA，称之为A在映射 下的象集合。显然 (A) B。 定义3.6.2 设 是A到B的映射，若 则称 为满射；若 ,均有 则称 为单射；若 既是单射又是满射，则称 为双射，也称为一一对应。 定义3.6.3 设 是A到B的两个映射， 若 都有 ，则称 与 相等，记为 定理3.6.1 设 是集合A到B的映射， 是集合B到C的映射,则确定集合A到C的一个映射，称之为 与 的乘积，记为 ，即 不难发现 在解析几何中，常需要把空间中的点向某一固定平面作投影，例如向xoy面投影。在线性代数中，这实际上是实数域R

3、上的3维向量空间R3到自身的一个映射 :二、线性变换的概念 定义3.6.4 设 是数域F上的线性空间V的一个变换。如果对任意的 均有 (3.6.1)那么就称 是V的一个线性变换。 一个集合 S 到自身的映射称为 S 的变换。所以， 是向量空间 的一个线性变换。我们引入其中 与 是 中任意向量， 是任一实数。即， 保持 中的线性运算的线性性质，因此 可称为是线性的。 例3.6.5 变换是 的一个线性变换。 例3.6.4 求导变换D:是 的一个线性变换。 是线性变换的充要条件为证明 设 ，则 例3.6.6 取定 定义V 的变换易证 是V 的一个线性变换，称之为数乘变换。 故命题得证。事实上， 特别

4、地，当 时，称此变换为零变换，记为 ， 即 当 时，称此变换为恒等变换或单位变换，记为 ,即 例3.6.8 设 是V上的线性变换， 是V的恒等变换，则 = = 。 因而所以由此可知，该变换不是线性的。 例3.6.7 在 中，定义变换 例 在 中定义变换则 不是 的一个线性变换因为，对（当 时）所以， 不是线性变换。性质3.6.1 设 为线性变换，则 （1）（2） 保持线性组合与线性关系式不变（3） 把线性相关的向量组变成线性相关的 向量组。 证故 注 也可能把非零向量变为零向量。即线性组合的象等于象的线性组合且组合系数相同（3）由（1）与（2）可证（3）.（2）设 ,则 定义3.6.5 设是线

5、性空间V的一个变换。若存在V的另一个变换,使则称是可逆变换，称是的逆变换,记为 注 （3）的逆不成立， 也可能把线性无关的向量组变成线性相关的向量组。 定理3.6.2 可逆线性变换的逆变换也是线性变换。 则由逆变换的定义可得已知 是线性的，故 证 设 是可逆线性变换， 是它的逆变换。任取 ，令 注 变换 可逆当且仅当 是双射，并且当 可逆时， -1 唯一。 由此得同理，由 ，又得所以， 也是线性的。小结要证一个变换 是线性变换，必须证 保持加法和数量乘法，即若证一个变换 不是线性变换，只须证 不保持加法或数量乘法，并且只须举出一个反例即可。 设 是 n 维线性空间V 的一个基。三、线性变换的矩

6、阵表示若 是V 的一个线性变换，则 唯一确定仍在V 中的像 定义3.6.6 设 是线性空间Vn 中的线性变换，在Vn中取定一个基 ，如果这个基在变换 下的象为上式记其中可表示为那么，A就称为线性变换 在基 下的矩阵。 例3.6.9 零变换 0*在任一组基下的矩阵都是零矩阵，恒等变换 I*在任一组基下的矩阵都是单位矩阵。 注 取定数域F 上的n 维线性空间V 的一组基 1,2, n，则V 的线性变换 在基 1,2,n 下的矩阵是数域 F 上的n 阶方阵且唯一确定。 反之，对数域F上的任一n阶方阵A，将A的每一列作为关于基1, 2, , n 的坐标，则可以得到n个向量 1 , 2 , , n ,

7、以 1 , 2 , , n 为1, 2, , n 的像，可唯一确定V 的一个线性变换 ，使其在基1,2,n下的矩阵是 A。 实际上，规定即，在取定基后，线性变换与其矩阵一一对应。其中 a1, a2, , an 是 关于基 1, 2, , n 的坐标，则 就是所求的线性变换，同时， 是唯一的。 例 在3维向量空间R3中，构造变换 ： (x1,x2,x3)= (x3,0, x2 -2x1)， (x1,x2,x3)R3（1）证明 是线性变换；（2）求在R3的自然基下的矩阵。 解 （1）任取 ，因所以， 是线性变换。（2）取R3的自然基故因即， 在R3的自然基 下的矩阵为 例3.6.10 设D是多项式

8、空间Fxn上的求导变换，求D在Fxn的自然基下的矩阵。 解 取Fxn的自然基 f1=1, f2=x, f3=x2, fn=xn-1则由 D(f1)=0, D(f2)=1, D(f3)=2x, D(fn)=(n-1)xn-2可得所以， D在Fxn的自然基 f1, f2, fn下的矩阵为 例 在矩阵空间R22 上构造线性变换 ： ( X )=AX, X R22 这里求 在R22的自然基下的矩阵。解 取R22的自然基因为所以，由此得， 在R22的自然基下的矩阵为 定理3.6.3 设是n维线性空间V 的线性变换，1, 2,n是V 的一组基，在基1, 2, n下的矩阵为A。任取V，若关于基 1, 2,n的坐标为 ( x1, x2, xn )T ( )关于基 1, 2,n的坐标为 ( y1, y2, yn )T则 证因而所以线性变换在不同基下的矩阵 定理3.6.5 在线性空间 中取定两组基由基 到基 的过渡矩阵为P。设 中的线性变换 在这两个基下的矩阵依次为A和 B，那末 于是证明因为 线性无关，所以 。给定了线性空间 的一组基以后， 中的线性变换与 中的矩阵形成一一对应因此