2一、信号的时域分解与卷积积分

1、2.3 卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分1 .信号的时域分解(1) 预备知识问 f1(t) = ? p(t)直观看出(2) 任意信号分解“0”号脉冲高度f(0) ,宽度为，用p(t)表示为：f(0) p(t)“1”号脉冲高度f() ,宽度为，用p(t - )表示为： f() p(t - )“-1”号脉冲高度f(-) 、宽度为，用p(t +)表示为： f ( - ) p(t +)“k”号脉冲高度f(k) 、宽度为，用p(t -k)表示为： f ( k ) p(t -k)表明：任何连续时间信号 都可以被分解成移位加权的单位冲激信号的线性组合。 2 .任意信号作用下的零状态响应yzs(t)f (

2、t)根据h(t)的定义：(t) h(t) 由时不变性：(t -)h(t -)f ()(t -)由齐次性：f () h(t -)由叠加性：f (t)yzs(t)卷积积分3 .卷积积分的定义已知定义在区间（ ，）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分 为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 f(t)= f1(t)*f2(t)注意：积分是在虚设的变量下进行的，为积分变量，t为参变量。结果仍为t 的函数。 零状态响应 = 输入信号 系统的冲激响应 积分上下限的确定f1(t)和 f2(t)均为因果信号f1(t)为因果，f2(t) 为非因果信号f2(t) 为因果， f1(t)为非因果信

3、号例：设求解：换元并由公式得到：显然，对于 ，当 0的时候积分才为非0(图象有重合部分),而对于 ,当 0的时候积分才为非0,因此可确定积分上下限为:则:显然上式中t=0,所以: 可写成下面给出了两个函数的波形,我们如果用图解法解此题,也能比较直观的看出来卷积积分的上下限是多少.二、卷积的图解法 卷积的计算步骤：(1)换元：将f1(t)和f2(t)中的自变量由t改为；(2)反转平移：把其中一个信号翻转得f2(- ) ，再平移t；f2(t)f2(- )f2(-(-t )= f2(t- )翻转平移t（3）乘积： f1() 与f2(t- )相乘；(4)积分：不断改变平移量t，计算f1() f2(t-

4、 )的积分。例 图解法示意说明当t-1当-1t1当1t2当2t4 例： 已知 ，求 解： 1）当 t 0 时， s(t) = 0 2）当 0 t T 时， 3）当 t T 时， 演示例 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。a) - t -1b) -1 t 0y (t) = 0 解：c) 0 1y (t) = 0例 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。c) 0 1y (t) = 0a) - t -1b) -1 t 0y (t) = 0例 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。 练习1：u(t) * u(t) 练习2：计算 y (t) = x(t) * h(t)。

5、= r(t)结论若两个矩形脉冲宽度相等，则卷积积分为三角波。若两个矩形脉冲宽度不相等，则卷积积分波形为等腰梯形波。2个函数卷积的左边界为2个函数的左边界之和，右边界为2个函数的右边界之和。图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。确定积分的上下限是关键。例：f1(t)、 f2(t)如图所示，已知f(t) = f2(t)* f1(t)，求f(2) =？f1(-)f1(2-)解：（1）换元（2） f1()得f1()（3） f1()右移2得f1(2)（4） f1(2)乘f2()（5）积分，得f(2) = 0（面积为0）例：f (t) = e t,（-t)，h(t) = (6e-2t

6、 1)(t)，求yzs(t)。解： yzs(t) = f (t) * h(t)当t t时，(t -) = 0思考2.4 卷积积分的性质 2.4.1 卷积积分的代数性质 （1）交换律 （2）分配律 分配律用于系统分析，相当于并联系统的冲激响应等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和。h2(t)h1(t)x(t) （3）结合律 结合律用于系统分析，相当于串联系统的冲激响应等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积。h2(t)h1(t)x(t)例：若 h1(t) = U(t)， h2(t) = (t-T)， h3(t) = - (t)， 求h(t) 。 解： 2.4.3 卷积积分的时移性质若则 2.4.

7、2 f(t)与冲激函数或阶跃函数的卷积推广：例1：f(t)=tU(t) ， h(t)=U(t)-U(t-2)，求卷积积分y(t)=f(t)*h(t)。=tU(t) *U(t)-U(t-2)解：y(t)=f(t)*h(t)=tU(t) *U(t)- tU(t) *U(t-2)练习。例2：求卷积积分y(t)=e-t U(t)*U(t)。练习。 解:例 计算下列卷积积分。(1)(2)(3)(1)解:例 计算下列卷积积分。(1)(2)(3)(2)利用卷积的平移性质和题(1)的结论(3)2.4.4 卷积积分的微分与积分微分积分推广注意成立条件!当满足:上述推论才成立例： f1(t) = 1， f2(t)

8、 = et(t)，求f1(t)* f2(t) 解：通常复杂函数放前面，代入定义式得 f2(t)* f1(t)=注意：套用 f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) = 0* f2(1)(t) = 0 显然是错误的。例4：已知f1(t)和f2(t)的波形，求y(t)= f1(t) f2(t)t2f1(t)0t2f2(t)031-1解：（微积分性）练习：计算y(t) = x(t) * h(t)。常用的卷积公式求卷积是本章的重点与难点。求解卷积的方法可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。（2）图解法。特别适用于求某时刻点

9、上的卷积值。（3）利用性质。比较灵活。三者常常结合起来使用。2.4.5相关函数信号分析中,有时需要比较两个信号波形是否相似，希望给出两者相似程度的统一描述。可以利用相关系数进行度量：当需要了解信号在不同时延后与其他信号的相关性时,需要使用相关函数.发出信号:收到信号:2倍的传输时间 对于实函数f1(t)与f2(t),如果为能量有限信号,那么它们之间互相关函数定义为:一般来说:不难证明:容易看出: 如果f1(t)与f2(t)是同一个函数,即f1(t)=f2(t)=f(t)，则此时无须区分 与 ，则称为f(t)的自相关函数:相关函数与卷积积分的关系: 对于函数f1(t)与f2(t)有:卷积积分:互相关函数: 为了与卷积积分定义式做比较,可以将互相关函数定义式中的变量t与 互换,得到: 根据卷积积分定义很显然，若f1(t)