高中数学必修二 10.1.2 事件的关系和运算（含答案）

1、 10.1.2事件的关系和运算导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.了解事件的包含与相等的含义及概率关系2理解事件和(并)、积(交)运算的含义及其概率关系3理解事件的互斥与对立关系，掌握互斥事件的概率加法公式4会进行事件的混合运算【自主学习】知识点1 事件的包含与相等 (1)包含关系一般地，如果事件A_发生_时，事件B一定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”)，记作AB(或BA)用图形表示为：(2)相等关系如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“_A与B相等_”，记作AB知识点2 和事件与积事件 (1)事件的和(并)给定事件A

2、，B，由_所有_A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)，记作AB(或AB)事件A与B的和可以用如图中的阴影部分表示(2)事件的积(交)给定事件A，B，由A与B中的_公共样本点_组成的事件称为A与B的积(或交)，记作AB(或AB)事件A与事件B的积可以用如图中的阴影部分表示知识点3 事件的互斥与对立给定事件A，B，若事件A与B_不能同时_发生，则称A与B互斥，记作AB(或AB)【合作探究】探究一 事件关系的判断【例1】从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从110各1张)中，任取一张(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌

3、点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由分析要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件解(1)是互斥事件，不是对立事件理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件(2)既是互斥事件，又是对立事件理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”

4、，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件(3)不是互斥事件，也不是对立事件理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件归纳总结：(1)利用基本概念互斥事件不可能同时发生；对立事件首先是互斥事件，且一次试验中必有一个要发生(2)利用集合观点设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.若事件A与B互斥，则集合AB；若事件A与B对立，则集合AB且AB.【练习1】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥

5、而不对立的是()A至少有一个红球与都是红球B至少有一个红球与都是白球C至少有一个红球与至少有一个白球D恰有一个红球与恰有两个红球【答案】D解析：根据互斥事件与对立事件的定义判断A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件探究二 事件的运算【例2】掷一枚骰子，下列事件：A“出现奇数点”，B“出现偶数点”，C“点数小于3”，D“点数大于2”，E“点数是3倍数”求：(1)AB，BC；(2)AB，BC；(3)记为事件H的对立事件，求，C，C，.分析利用事件间运算的定

6、义列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算【答案】(1)AB，BC2(2)AB1,2,3,4,5,6，BC1,2,4,6(3)eq xto(D)1,2；eq xto(A)CBC2；eq xto(B)CAC1,2,3,5；eq xto(D)eq xto(E)1,2,4,5归纳总结：进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义；二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.【练习2】盒子里有6个红球，4个的白球，现从中任取3个球，设事件A3个球中有1个红球，2个白球，事件B3个球中有2个红球，1个白球，事件C3个球

7、中至少有1个红球，事件E3个红球，那么事件C与A，B，E的运算关系是( )AC(AB)EBCABECC(AB)EDCABE【答案】B解析：由题意可知CABE.课后作业A组 基础题一、选择题1.抛掷一枚骰子,“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则()A.ABB.A=BC.A+B表示向上的点数是1或2或3D.AB表示向上的点数是1或2或3【答案】C解析设A=1,2,B=2,3,则AB=2,AB=1,2,3,所以A+B表示向上的点数为1或2或3,故选C.2从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列选项中的两个事件是互斥事件的为()A“都是红球”与“至少1个红球”

8、B“恰有2个红球”与“至少1个白球”C“至少1个白球”与“至多1个红球”D“2个红球，1个白球”与“2个白球，1个红球”【答案】DA，B，C中两个事件是包含与被包含关系，只有D，两个事件不可能同时发生，是互斥事件3抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为()A至多有2件次品B至多有1件次品C至多有2件正品D至少有2件正品【答案】B至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品4给出以下三个命题：(1)将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与事件B是

9、对立事件；(2)在命题(1)中，事件A与事件B是互斥事件；(3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件其中命题正确的个数是()A0B1C2D3【答案】B(1)还有可能出现一次出现正面，一次出现反面这种情况，所以事件A和B是互斥事件，但不是对立事件，所以(1)错误；(2)正确；(3)中可能出现2件次品，1件正品的情况，所以事件A与事件B不是互斥事件故选B5如果事件A，B互斥，那么()AAB是必然事件 B是必然事件C与一定互斥 D与一定不互斥【答案】B用集合的表示法中的“Venn图”解决

10、比较直观，如图所示，I是必然事件，故选B6(多选题)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A两弹都击中飞机，事件B两弹都没击中飞机，事件C恰有一弹击中飞机，事件D至少有一弹击中飞机，下列关系正确的是()AADBBDCACDDACBD【答案】ABC“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，ACBD二、填空题7事件“某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至少4个是黑球”的对立事件是_【答案】某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至多3个是黑球事件“某人从装有5个

11、黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至少4个是黑球”的对立事件是“某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至多3个是黑球”8同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为_一个是5点，另一个是6点；一个是5点，另一个是4点；至少有一个是5点或6点；至多有一个是5点或6点【答案】同时掷甲、乙两枚骰子，可能出现的结果共有36个，“都不是5点且不是6点”包含16个，其对立事件是“至少有一个是5点或6点”9向上抛掷一枚骰子，设事件A点数为2或4，事件B点数为2或6，事件C点数为偶数 ，则事件C与A，B的运算关系是_【答案】CAB由题意可知CAB三、解答题10.某县城有甲

12、、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”判断下列事件是不是互斥事件，如果是，判断它们是不是对立事件(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.【答案】解(1)由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是

13、说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件(4)事件B“至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”事件C“至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”即事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件(5)由(4)的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件11某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，用集合的形式分别写出下列事件，并判断下列每对事件的关系：(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；(3)“至少有1名

14、男生”与“全是女生”；(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”【答案】解设3名男生用数字1,2,3表示，2名女生用4,5表示，用(x，y)(x1,2,3，y4,5)表示选出参加比赛的2名同学，则试验的样本空间为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)(1)设A“恰有1名男生”，B“恰有2名男生”，则A(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，B(1,2)，(1,3)，(2,3)，因为AB，所以事件A与事件B互斥且不对立(2)设C“至少有1名男生”，D“全是男生”，则C(1,2)，(1

15、,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，D(1,2)，(1,3)，(2,3)，因为CDD，所以DC即事件C与事件D不互斥(3)设E“至少有1名男生”，F“全是女生”，则E(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，F(4,5)，因为EF，EF，所以E和F互为对立事件(4)设G“至少有1名男生”，H“至少有1名女生”，则G(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，H(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3

16、,4)，(3,5)，(4,5)，由于GH(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，所以G与H不互斥B组 能力提升一、选择题1.(多选题)下列说法中,不正确的是()A.若事件A与事件B是互斥事件,则P(A)+P(B)=1B.若事件A与事件B满足条件:P(AB)=P(A)+P(B)=1,则事件A与事件B是对立事件C.一个人打靶时连续射击两次,则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D.把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人,每人分得1张,则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件【答案】ABC解析互斥事件的含义是事件A与事件B在任何一次试

17、验中不会同时发生,即AB=;对立事件的含义是事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,AB为不可能事件,且AB为必然事件,即P(AB)=0且P(AB)=1.所以只有D正确.2(多选题)下列各组事件中，是互斥事件的是()A一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分C播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒D检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%【答案】ACD对于B，设事件A1为平均分不低于90分，事件A2为平均分不高于90分，则A1A2为平均分等于90分，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件而A、C、D

18、显然都是互斥事件3(多选题)抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A出现奇数点，事件B出现2点，事件C出现奇数点或2点，则下列成立的是()AACBABCABCDBC【答案】ABC易知ABC，BCB，所以选项A、B、C正确，选项D不正确二、填空题4(一题两空)如图所示，事件A“甲元件正常”，B“乙元件正常”，C“丙元件正常”则ABC表示的含义为_，eq xto(A)eq xto(B)eq xto(C)表示的含义为_【答案】 电路工作正常电路工作不正常三、解答题5某连锁火锅城开业之际，为吸引更多的消费者，开展抽奖活动，前20位顾客可参加如下活动：摇动如图所示的游戏转盘(上面扇形的圆心角都相等)，顾客可以免费获得按照指针所指区域的数字10倍金额的店内菜品或饮品，最高120元，每人只能参加一次这个活动记事件A：“获得不多于30元菜品或饮品”(1)求事件A包含的基本事件；(2)写出事件A的对立事件，以及一个事件A的互斥事件【答案】(1)事件A包含的基本事件为：获得10元菜品或饮品，获得20元菜品或饮品，获得30元菜品或饮品(2)事件A的对立事件是eq xto(A)“获得多于30元但不多于120元菜