高中数学必修二 6.4.1平面几何中的向量方法 6.4.2向量在物理中的应用举例

1、6.4平面向量的应用6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例课后篇巩固提升基础巩固1.在RtABC中,ABC=90,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cosBDC=() A.-725B.725C.0D.12答案B解析如图建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),DB=(-3,-4),DC=(3,-4).又BDC为DB,DC的夹角,cosBDC=DBDC|DB|DC|=-9+1655=725.2.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90时,合力的大小为20 N,则当它们的夹角为120时,合力的大小为()A.40 NB.102

2、NC.202 ND.10 N答案B解析对于两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90,合力的大小为20 N时,由三角形法则可知,这两个力的大小都是102 N;当它们的夹角为120时,由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形,因此合力的大小为102 N.3.河水的流速为2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为()A.10 m/sB.226 m/sC.46 m/sD.12 m/s答案B解析由题意知|v水|=2 m/s,|v船|=10 m/s,作出示意图如图.|v|=102+22=104=226(m/s).4.(多选题)已知O是四边形AB

3、CD内一点,若OA+OB+OC+OD=0,则下列结论错误的是()A.四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心B.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的对角线交点C.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的外接圆的圆心D.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD对边中点连线的交点答案ABC解析由OA+OB+OC+OD=0知,OA+OB=-(OC+OD).设AB,CD的中点分别为E,F,由向量加法的平行四边形法则,知OE+OF=0,O是EF的中点;同理,设AD,BC的中点分别为M,N,则O是MN的中点,所以O是EF,MN的交点.5.已知A(3,2),B(-1

4、,-1),若点Px,-12在线段AB的中垂线上,则x=.答案74解析设AB的中点为M,则M1,12,MP=(x-1,-1),由题意可知AB=(-4,-3),MPAB,则MPAB=0,所以-4(x-1)+(-1)(-3)=0,解得x=74.6.一个物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m,且力F所做的功W=2502 J,则F与s的夹角等于.答案4解析设F与s的夹角为,由W=Fs,得2502=1050cos ,cos =22.又0,=4.7.如图所示,在等腰直角三角形ACB中,ACB=90,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:ADCE.证明AD

5、CE=(AC+CD)(CA+AE)=AC+12CBCA+23AB=AC+12CBCA+23CB-23CA=AC+12CB13CA+23CB=-13|CA|2+13|CB|2.因为CA=CB,所以-13|CA|2+13|CB|2=0,故ADCE.8.某人骑车以速度a向正东方向行驶,感到风从正北方向吹来,而当速度为2a时,感到风从东北方向吹来,试求实际风速的大小和方向.解设实际风速为v,由题意可知,此人以速度a向正东方向行驶时,感到的风速为v-a,当速度为2a时感到的风速为v-2a.如图,设OA=-a,OB=-2a,PO=v.PO+OA=PA,PA=v-a,这就是速度为a时感到的由正北方向吹来的风

6、速.PO+OB=PB,PB=v-2a,这就是速度为2a时感到的由东北方向吹来的风速,由题意知PBO=45,PABO,BA=AO,POB为等腰直角三角形,APO=45,|PO|=|PB|=2|a|,即|v|=2|a|.实际风速的大小是2|a|,为西北风.能力提升1.已知ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且3OA+4OB+5OC=0,则OCAB的值为()A.-15B.15C.-65D.65答案A解析因为3OA+4OB+5OC=0,所以3OA+4OB=-5OC,所以9OA2+24OAOB+16OB2=25OC2.因为A,B,C在圆上,所以|OA|=|OB|=|OC|=1.代入原式得OAOB=0,所以

7、OCAB=-15(3OA+4OB)(OB-OA)=-15(3OAOB+4OB2-3OA2-4OAOB)=-15.2.一条渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际行程为8 km,则河水的流速是 km/h.答案23解析如图,用v1表示河水的流速,v2表示船的速度,则v=v1+v2为船的实际航行速度.由图知,|OA|=4,|OB|=8,则AOB=60.又|v2|=2,|v1|=|v2|tan 60=23.即河水的流速是23 km/h.3.已知ABC是等腰直角三角形,B=90,D是BC边的中点,BEAD,垂足为E,延长BE交AC于F,连接DF,求证:ADB=

8、FDC.证明如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设A(0,2),C(2,0),则D(1,0),AC=(2,-2).设AF=AC,则BF=BA+AF=(0,2)+(2,-2)=(2,2-2).又DA=(-1,2),由题设BFDA,所以BFDA=0,所以-2+2(2-2)=0,所以=23.所以BF=43,23.所以DF=BF-BD=13,23.又DC=(1,0),所以cos ADB=DADB|DA|DB|=55,cos FDC=DFDC|DF|DC|=55,又ADB,FDC(0,),所以ADB=FDC.4.已知e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点P从P0(-1,2)开始,沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|e1+e2|;另一动点Q从Q0(-2,-1)开始,沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|3e1+2e2|.设P,Q在t=0 s时分别在P0,Q0处,当PQP0Q0时所需的时间t为多少秒?解e1+e2=(1,1),|e1+e2|=2,其单位向量为22,22;3e1+2e2=(3,2),|3e1+2e2|=13,其单位向量为313,213.依题意知,|P0P|=2t,|Q0Q|=13t,P0P=|P0P|22,22=(t,t),Q0Q=|Q0Q|31