数字信号第二章第2章2ok

1、2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 周期序列不满足绝对可和条件，其FT不能用定义式直接计算。由于是周期性的，可展成离散傅里叶级数，引入奇异函数()后，其FT可以用公式表示出来。周期为N的周期序列记为2.3.1周期序列的离散傅立叶级数（DFS）1、周期序列任何一个周期序列 都可看成是长度为N的有限长序列 的周期延拓。 的主值序列是的周期延拓是 主值区间：中从n=0到n=N-1的第一个周期主值序列: 主值区上的序列2、周期序列的离散傅里叶级数（DFS）连续周期信号 傅里叶级数FS Fn为非周期离散，基频 ，谐波频率为 离散周期信号 离散傅里叶级数DFS 基频 ，基频序列为 K次谐波频

2、率为 ，K次谐波序列为: (2.3.1) 因为 l取整数即是周期为N的周期函数，所以离散傅里叶级数中只有N个独立的谐波成分，展成傅里叶级数时，只能取k=0N-1的N个独立的谐波分量。注：连续傅里叶级数有无穷多个谐波分量。求系数ak：上式两边乘以，并对n在一个周期N中求和，即式中(2.3.2) 因为可见是周期为N的周期函数。所以系数是以N为周期的周期序列:(2.3.3) 令 , 并将(2.3.3)式代入， 得到： (2.3.4)系数，用DFS(Discrete Fourier Series)表示。是以N为周期的周期序列,称为 的离散傅里叶级数即(2.3.5)离散傅里叶级数变换对(DFS)： (2

3、.3.7) 用 代替(2.3.1)式中的ak,得到(2.3.6) 记 则离散傅里叶级数变换对： 说明：将周期序列分解成N次谐波，第k个谐波频率为：幅度为 。一个周期序列可以用其DFS系数表示其频谱分布规律。【例2.3.1】设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期进行周期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列，周期为8，求DFS。解：按照（2.3.6）式, 有其幅度特性如图2.3.1(b)所示。 图2.3.1例2.3.1图 频域周期离散时域周期离散周期为N=8四种傅里叶变换非周期连续连续非周期非周期离散连续周期000 tT10离散非周期周期连续离散周期周期离散DFSDTFTFTFS

4、四种傅立叶变换非周期连续周期离散1. 连续非周期 连续非周期() FT2. 连续周期 离散非周期 () FS3. 离散非周期 连续周期（ ） DTFT4. 离散周期 离散周期 DFS 时域频域2.3.2周期序列的傅里叶变换表示式（2.3.8） 1.复指数序列的傅里叶变换表示式连续信号：对于时域离散信号， 2/0为有理数，暂时假定其FT的形式与（2.3.8）式一样，即是在0处的单位冲激函数，其强度为2，即为因：r取整数因此的FT为上式表示复指数序列的FT是在0+2r处的单位冲激函数，强度为2，如图2.3.2所示。（2.3.9） 图2.3.2 的FT 验证：上述假定如果成立，则要求按照（2.2.4

5、）式的逆变换必须存在，且唯一等于 。按照逆变换定义式右边：观察图2.3.2，在区间，只包括一个单位冲激函数(0)，等式右边为，因此得到下式：证明了前面的假设即式（2.3.9）是 的DTFT。频域周期延拓时域采样2.一般周期序列 的傅里叶变换类似于复指数序列的傅里叶变换，其FT可写为：周期序列展成DFS：第k次谐波分量为：因此 的DTFT如下式：式中，k=0, 1, 2, , N1。如果让k在区间变化，上式可简化成：一般周期序列的傅里叶变换（2.3.10）说明：、()表示单位冲激函数，而(n)表示单位脉冲序列。3、周期为 。2、周期序列的频谱是由一系列冲激函数构成，冲激函数位于序列的基频和各次谐

6、波处，强度为傅里叶系数 的 倍。【例2.3.2】求例2.3.1中周期序列的FT。其幅频特性如图2.3.3所示。解：由例2.3.1已知代入得注：1、同一个周期信号，其DFS和FT分别取模的形状相同，不同的是FT用单位冲激函数表示。2、周期序列的频谱分布用DFS或FT表示都可以，但画图时应注意单位冲激函数的画法。图2.3.3周期为8周期为3.周期余(正)弦序列的傅里叶变换为有理数，求其DTFT。上式表明：cos0n的FT是在=0处的单位冲激函数，强度为，且以2为周期进行延拓，如图2.3.4所示。 图2.3.4cos0n的FT 周期正弦序列的傅里叶变换：为有理数。5.一些特殊序列的DTFT（1）全1

7、序列的DTFT已知令则说明：全1序列的FT是以=0为中心，间隔为2 的整数倍的一系列单位冲激函数，强度为2，周期为2。 （2）周期为N的单位抽样序列串的傅里叶变换注：可把全1序列看做周期为N=1的单位抽样序列串将N=1代入，得：（3）阶跃序列的傅里叶变换令对上式进行FT，得到: 对上式进行FT，得到: 又注意：若信号有直流分量，差分运算会丢失直流信息，所以不能直接用差分运算来计算。不能用上述方法计算。表2.3.2基本序列的傅里叶变换 2.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系1、连续信号、理想采样信号、时域离散信号连续信号：理想采样信号：时域离散信号：三者之间的关系：2、连续

8、信号、理想采样信号、时域离散信号FT间的关系理想采样信号和连续信号FT间的关系： X(e j)与Xa(j)之间、数字频率与模拟频率(f)之间有什么关系？令所以理想采样信号和连续信号FT间的关系：令离散信号和模拟信号FT间的关系：周期延拓时域离散信号和连续信号FT间的关系：若使用归一化频率，则刻度相同。结论：1、时域离散信号的频谱也是模拟信号的频谱周期性延拓，周期为。2、计算模拟信号的FT可以用计算相应的时域离散信号的FT得到： 首先按照采样定理，以模拟信号最高频率的两倍以上频率对模拟信号进行采样得到时域离散信号，再通过计算机对该时域离散信号进行FT，得到它的频谱函数，最后乘以采样间隔Ts便得到模拟信号的FT，注意频率轴上的关系式为=T。按照数字频率和模拟频率之间的关系，在一些文献中经常使用归一化频率f=f/Fs或=/s, =/2, 因为f、和都是无量纲量，刻度是一样的，将f、f、的定标值对应关系用图2.4.1表示。图2.4.1模拟频率与数字频率之间的定标关系若不满足采样定理，则会在=附近，或f=Fs/2附近引起频域混叠。例 2.4.1设xa(t)=cos(2f0t)， f0=50 Hz。以采样频率fs=200 Hz对