《线性代数》定解问题和基本解

1、4.2 调和函数的基本性质，由高斯公式一. 格林公式（一） 多元函数的分部积分表示点的函数约定设为三维空间中的有界区域，其边界是分片光滑的曲面，函数（1）是体积元素，n是的外法线方向，是曲面面积元素。其中数学物理方程设，则等式两边在上积分，并利用（1）式得到这就是三元函数的分布积分公式，它将微分运算从对u“转移”到对v进行。（1）数学物理方程（二） 格林公式，对进行分部积分关于i求和设（2）其中是函数u在上的外法线方向导数，（2）式称为格林第一公式。数学物理方程 对（2）式右端的体积作分部积分，（2）式就变为将它写成对称形式（3）（3）式称为格林第二公式。 （2）注：为使两个格林公式成立，要求

2、函数及区域可以运用高斯公式，即分片光滑。 数学物理方程 利用格林第二公式和基本解，可以得到基本积分公式，（三） 基本积分公式，在内可以表示成 （4）两点间的距离，积分元素表示对变量是是积分变量，而是中的任意一点，其中P作积分。即对数学物理方程，r表示约定分别表示。（4）式的证明：是调和点有奇性，方程的基本解，它作为P的函数在在格林第二公式中取为了能应用格林第二公式，作足够小半径的小球使，在上对u,v应用格林公式（6）。 应注意数学物理方程在上，关于的外法线方向指向球心对上的积分应用积分中值定理（7）分别是在球面上的平均值。其中，所以上在数学物理方程当时，连续，从而有界，而所以（7）式趋于。由于

3、是基本解，故，因而在（6）式，令就有稍作整理即得（4）式。（6）（7）数学物理方程注1：若是有界区域内是光滑的封闭曲线，时，可同样导出相应的二维的其中，。的二元函数，格林第一，第二公式和基本积分公式当数学物理方程注2：若在（4）中进一步假设u在内调和，即，（4）就变为（8）（8）式表明：调和函数在区域内的值可由它在边界上的函数值和法向导数值决定。数学物理方程二. 调和函数的性质，则u在内调和的充要条件是：内具有光滑边界的任意有界闭子区域，有（1）（一） 调和函数的一个充要条件定理1 对于证明：必要性上，对u及应用格林，故（2），从而由（2）若u是调和函数，即在区域第一公式。由于即得（1）。数学

4、物理方程充分性的任意有界闭子区域，（1）成立，利用的连续性及的任意性，即得到在内处处有表明温度场内部无热源，是沿边界流出的热量总和，若对则由（2）有例如：将u看成稳定温度场的温度函数，u满足知，结论说明，对稳定的温度场，内部无热源的充要条件是沿任何封闭曲面流出的热量的总和为零，即出入相抵。由傅立叶热传导定理定理1的数学物理方程 推论：调和方程第二边值问题可解的必要条件是例1. 试判断诺伊曼问题是否有解。故问题必无解。解：数学物理方程定理2 若u在内调和，则u在内具有球面平均值（二） 球面平均值性质内连续，对于包含在内的每一个闭球，u在球心的值等于u在该球的，利用基本积分公式因为P是球心，故在上

5、，r=a，且球面平均值性质：u在边界球面上的积分平均值，即证明：对于任意闭球性质。数学物理方程从而由定理1，右端第一个积分为零，得注1：若u在内调和，且连续到边界，那么只要球，仍有数学物理方程 注2：二维调和函数也具有类似的球面平均值性质，即圆心的函数值等于圆周上的函数值的积分平均值，设（x,y）为圆心，r为半径，则例2. 对于狄利克雷问题求u(o)。取a=1，有解：由球面平均值性质知数学物理方程推论：若u在内调和，则u在内具有球体平均值证明：由定理2，对有上式两端对r从0到a积分，即得结论。性质，即对任意球 定理3（刘维尔定理） 若u在整个空间上调和，且u下（或上）有界，则u是常数。证明：只

6、需考察下有界情形，即。此时，u-c是非负的调和函数，因此不妨假设。数学物理方程如图，设是空间任意两点，任取R0，。因为且，则有由定理2的推论知当时，从而有，对换，作，同样可得所以，再由的任意性，所以u为常数。数学物理方程上连续，那么u只能在内取得上确界和下确界，内调和，定理4（极值定理） 设u在连通区域上取得上确（三） 极值定理且不是常数，则u不能在因而，若u在证明：界和下确界。界为有限值M，用反证法证明：设我们将证明u必定处处等于M。首先，以P为心任意正数R为半径，作球证明在上。只需考察上确界情形若上确界是无穷大，结论显然成立；若上确其次，证明在内。数学物理方程事实上，如果在内某点u的值小于

7、M，由连续另一方面，由定理2的推论从而MM，矛盾，因此，在球内。函数的保号性，必存在此点的一个领域，在此领域内，uM，因此数学物理方程段，以这些分点为心，长为半径，依次作球，开始，将l分成长度不超过设为内任意一点，连通，所以可作完全内的有限长折线l连接，l到的边界有最小内，有。从的有限个小内，且后一个球的球心在，因此也有，由点的内。在正距离d。根据上面的证明，在球有限个球必覆盖l，均在前一个球内，这些球内任意性，所以在由于这有根据上面的结论，可依次得出在所有数学物理方程推论：设为连通区域，u,v在内调和，在上连续，若在上，则在内也有；上，等号不是处处成立，那么内 注：极值原理的重要应用之一是证明第一边值问题解的唯一性和稳定性。特别地，若在在。数学物理方程证明：先证唯一性则满足由定理4知，u在上的上确界和下确界都为0，故，即。假设问题（*）有两个解定理5 设为有界区域，第一边值问题的