等比数列学案

1、也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的等比数列学案第3课时等比数列的前n项和知能目标解读掌握等比数列的前n项和公式的推导方法-错位相减法，并能用其思想方法求某类特殊数列的前n项和.掌握等比数列前n项和公式以及性质，并能应用公式解决有关等比数列前n项的问题.在应用时，特别要注意q=1和qz1这两种情况.能够利用等比数列的前n项和公式解决有关的实际应用问题.重点难点点拨重点：掌握等比数列的求和公式，会用等比数列前n项和公式解决有关问题.难点：研究等比数列的结构特点，推导等比数列的前n项和的公式及公式的灵活运用.学习方法指导等比数列的前n项和公式设等比数列an,其首项为al,公比为q,则其

2、前n项和公式为na1Sn=.分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q=1处.因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是不等于1,如果q可能等于1，则需分q=1和qz1进行讨论.等比数列an中，当已知a1,q,n时，用公式Sn=,当已知a1,q,an时，用公式Sn=.等比数列前n项和公式的推导除课本上用错位相减法推导求和公式外，还可以用下面的方法推导.合比定理法由等比数列的定义知：=q.当qz1时，=q,即=q.故Sn=.当q=1时，Sn=na1.拆项法Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-仁a1+q=a1+qSn-仁a1+q当qz1时，Sn=.当q=1时，Sn=na1

3、.利用关系式Sn-Sn-1=an当n2时，Sn=a1+a2+a3+an=a1+q=a1+qSn-1Sn=a1+q即Sn=a1当qz1时，有Sn=,当q=1时，Sn=na1.错位相减法，合比定理法，拆项法及an与Sn的关系的应用，在今后解题中要时常用到，要领会这些技巧错位相减法适用于an为等差数列，bn为等比数列，求an?bn的前n项和.等比数列前n项和公式的应用衡量等比数列的量共有五个：a1,q,n,an,Sn.由方程组知识可知，解决等比数列问题时，这五个量中只要已知其中的任何三个，就可以求出其他两个量.公比q是否为1是考虑等比数列问题的重要因素，在求和时，注意分q=1和qz1的讨论.等比数列

4、前n项和公式与函数的关系当公比qz1时，令A=,则等比数列的前n项和公式可写成Sn=-Aqn+A的形式.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数.当公比q=1时，因为a1z0,所以Sn=na1是n的正比例函数.当qz1时，数列S1,S2,S3,Sn,的图像是函数y=-Aqx+A图像上的一群孤立的点.当q=1时,数列S1,S2,S3,Sn,的图像是正比例函数y=a1x图像上的一群孤立的点.知能自主梳理等比数列前n项和公式等比数列an的前n项和为Sn,当公比qz1时，Sn=;当q=1时，Sn=.推导等比数列前n项和公式的

5、方法是.公式特点若数列an的前n项和Sn=p,且qz0,q工1,则数列an为在等比数列的前n项和公式中共有a1,an,n,q,Sn五个量，在这五个量中知求.答案1.na1错位相减法等比数列三二思路方法技巧命题方向等比数列前n项和公式的应用例1设数列an是等比数列，其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q.分析应用等比数列前n项和公式时，注意对公比q的讨论.解析当q=1时，S3=3a仁3a3,符合题目条件；当qz1时，=3a1q2,因为al工0,所以1-q3=3q2,q3-3q2+1=0,2=0,解得q=-.综上所述，公比q的值是1或-.说明在等比数列中，对于a1,an,q,n,Sn五

6、个量，已知其中三个量，可以求得其余两个量等比数列前n项和问题，必须注意q是否等于1,如果不确定，应分q=1或qz1两种情况讨论.等比数列前n项和公式中，当qz1时，若已知a1,q,n利用5口=来求；若已知a1,an,q,利用5口=来求.变式应用1在等比数列an中，已知S3=,S6=,求an.解析S6=,S3=,S6z2S3,.qz1.+得1+q3=9,q=2.将q=2代入，得a1=,an=a1qn-1=2n-2.命题方向等比数列前n项的性质例2在等比数列an中，已知Sn=48,S2n=60,求S3n.分析利用等比数列前n项的性质求解.解析Tan为等比数列，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成

7、等比数列，2=SnS3n=+S2n=+60=63.说明等比数列连续等段的和若不为零时，则连续等段的和仍成等比数列.变式应用2等比数列an中，S2=7,S6=91,求S4.解析解法一：Tan为等比数列，S2,S4-S2,S6-S4也为等比数列，2=7X,解得S4=28或-21.S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S20,S4=28.解法二：S2=7,S6=91,qz1.=7=91得q4+q2-12=0,q2=3,q=.当q=时，a1=,S4=28.当q=-时，a仁-,S4=28.探索延拓创新命题方向等比数列前n项和在实际问题中的应用例3某公司实行股份制，

8、一投资人年初入股a万元，年利率为25%由于某种需要，从第二年起此投资人每年年初要从公司取出x万元.分别写出年年底，第二年年底，第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和；写出第n年年底，此投资人的本利之和bn与n的关系式;为实现第20年年底此投资人的本利和对于原始投资a万元恰好翻两番的目标，若a=395,则x的值应为多少？解析年年底本利和为a+a?25%=1.25a,第二年年底本利和为+x25%=1.252a-1.25x,第三年年底本利和为+25%=1.253a-x.第n年年底本利和为bn=1.25na-x.依题意，有5X1.2520-x=4X395,x=设1.2520=t,lgt=20lg=2

9、0=2.t=100,代入解得x=96.变式应用3某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购房，银行货款的年利息为10%，按复利计算.若这笔款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且以贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？解析第1次还款x元之后到第2次还款之日欠银行XX0X=XX0X1.1x,第2次还款x元后到第3次还款之日欠银行XX0-X:-x=XX0X1.12-1.1x-x,第10次还款x元后，还欠银行XX0X1.1101.19x-1.18x-x,依题意得，第10次还款后，欠款全部还清，故可得XX0X1.110 x=0,解得x=3255.名师辨误做答例4求数列1,a+a2,a3+a4+a5,

10、a6+a7+a8+a9,的前n项和.误解所求数列的前n项和Sn=1+a+a2+a3+a辨析所给数列除首项外，每一项都与a有关，而条件中没有a的范围，故应对a进行讨论.正解由于所给数列是在数列1,a,a2,a3,中依次取出1项，2项，3项，4项，的和所组成的数列.因而所求数列的前n项和中共含有原数列的前项.所以Sn=1+a+a2十+a.当a=0时，Sn=1.当a=1时，Sn=.当az0且az1时，Sn=.课堂巩固训练一、选择题等比数列an的公比q=2，前n项和为Sn,则=A.2B.4C.D.答案C解析由题意得=.故选C.等比数列an的前3项和等于首项的3倍，贝U该等比数列的公比为A.-2B.1C

11、.-2或1D.2或-1答案c解析由题意可得，a1+a1q+a1q2=3a1,q2+q-2=0,q=1或q=-2.等比数列2n的前n项和Sn=A.2n-1B.2n-2c.2n+1-1D.2n+1-2答案D解析等比数列2n的首项为2,公比为2.Sn=2n+1-2,故选D.二、填空题若数列an满足：a1=1,an+仁2an，贝Ua5=;前8项的和S8=.答案16255解析考查等比数列的通项公式和前n项和公式.q=2,a5=a1?q4=16,S8=28-仁255.在等比数列an中，Sn表示前n项和，若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q=.答案3解析a3=2S2+1,a4=2S3+1,两式相减

12、，得a3-a4=-2a3,a4=3a3,q=3.三、解答题在等比数列an中，已知a6-a4=24,a3?a5=64,求数列an的前8项和.解析解法一：设数列an的公比为q，根据通项公式an=a1qn-1，由已知条件得a6-a4=a1q3=24,a3?a5=2=64，a1q3=8.将a1q3=-8代入式，得q2=-2,没有实数q满足此式，故舍去.将a1q3=8代入式，得q2=4,q=2.当q=2时，得a仁1,所以S8=255;当q=-2时，得a仁-1，所以S8=85.解法二：因为an足等比数列，所以依题范得a24=a3?a5=64,a4=8,a6=24+a4=248.因为an是实数列，所以0,故

13、舍去a4=-8,而a4=8,a6=32,从而a5=16.公比q的值为q=2,当q=2时，a1=1,a9=a6q3=256,S8=255;当q=-2时，a1=-1,a9=a6q3=-256,S8=85.课后强化作业一、选择题等比数列an中，a2=9,a5=243,则an的前4项和为A.81B.120C.168D.192答案B解析公式q3=27,q=3,a1=3,S4=120.已知等比数列的前n项和Sn=4n+a,则a=A.-4B.-1C.0D.1答案B解析设等比数列为an,由已知得a1=S1=4+a,a2=S2-S1=12,a3=S3-S2=48,a22=a1?a3,即144=x48,aa=-1

14、.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1，那么前10项和等于A.31B.33C.35D.37答案B解析解法一：S5=1a1=S10=33,故选B.解法二：a1+a2+a3+a4+a5=1a6+a7+a8+a9+a10=?q5=1x25=32S10=a1+a2+a9+a10=1+32=33.已知等比数列an中，公比q是整数，a1+a4=18,a2+a3=12,则此数列的前8项和为A.514B.513C.512D.510答案Da1+a1q3=18解析由已知得，a1q+a1q2=12解得q=2或.Tq为整数，q=2.a1=2.S8=29-2=510.设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已

15、知a2a4=1,S3=7,则S5=A.B.c.D.答案B解析设公比为q,则q0,且a23=1,即a3=1.IS3=7,a1+a2+a3=+1=7,即6q2-q-1=0,4=或q=-!a仁=4.S5=8=.在等比数列an中，若a1=1,a4=,则该数列的前10项和为A.2-B.2-C.2-D.2-答案B解析a1=1,a4=,q3=,q=.S10=2:1-10:=2-,故选B.已知等比数列an的前n项和为Sn,S3=3,S6=27,则此等比数列的公比q等于A.2B.-2c.D.-答案AS3=3,解析S6=27,得=9,解得q3=8.q=2,故选A.正项等比数列an满足a2a4=1,S3=13,bn

16、=log3an,则数列bn的前10项和是A.65B.-65C.25D.-25答案D解析an为正项等比数列，a2a4=1,a3=1,又TS3=13,公比qz1.又S3=13,a3=a1q2,解得q=.-an=a3qn-3=n-3=33-n,bn=log3an=3-n.b1=2,b10=-7.S10=-25.二、填空题等比数列，-1,3,的前10项和为.答案-解析S10=-.0.在等比数列an中，若a1=,a4=4,则公比q=;a1+a2+an=.答案2,2n-1-解析本题主要考查等比数列的基本知识，利用等比数列的前n项和公式可解得.=q3=8,所以q=2,所以a1+a2+an=2n-1-.n-1

17、1.已知数列an中，an=,则a9=.n-1设数列an的前n项和为Sn,则S9=.答案256377解析a9=28=256,S9=20+22+24+26+28+3+7+11+15=377.在等比数列an中，已知对于任意nN+,有a1+a2+an=2n-1,则a21+a22+a2n=.答案x4n-解析Ta1+a2+an=2n-1,a1+a2+an-1=2n-1-1,两式相减，得an=2n-1-2n-1+1=2n-2n-1=2n-1,a2n=2=22n-2=4n-1,a21+a22+a2n=x4n-.三、解答题3.在等比数列an中，已知a3=1,S3=4,求al与q.S3=4解析若q1,贝畀a3=a1q2=1从而解得q=1或q=-.q=-qz1,.a1=6S3=3a1=4q=1若q=1,贝,a3=a1=1a1=1q=-q=1综上所述得，或.a仁6a仁1设等比数列an的前n项和为Sn,已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.分析设出