初中数学九年级上册第五章第二节《反比例函数的图象和性质》教案

1、课题： 第五章其次节反比例函数的图象与性质其次课时课型： 新授课教学目标：（1）通过反比例函数的图象,懂得并把握函数值的变化规律及 k 值的意义；（2）懂得反比例函数的图象性质,会利用图象比较函数值的大小关系；（3）通过本节课的学习进一步让同学感受图象的直观性给解决数学问题带来极大的方 便与快捷,感受数学中的数形结合思想,本节课仍涉及到了分类争论思想,进一步提高学 生分析问题、解决问题的才能教法及学法指导：本节应用五环教学模式：创设情境感知探究合作沟通拓展应用总结升华从 上节课反比例函数的图象所经象限入手,回头联系正比例函数值的变化规律做为对比学 习,通过观看、争论、合作沟通,总结出反比例函数

2、值的变化规律并会应用依据新课程要求,在实际教学中,尽可能实行同学自主探究、合作沟通,通过观看、回忆所学正比例函数的性质进行主动学习,培育同学总结归纳、探究与合作才能课前预备：老师预备：课件、坐标纸、三角板y同学预备：同位两个同学分工,一个同学在在坐标纸上分别画出y2y4x ,x ,6y2y4y6x 的图象,另一个同学在坐标纸上分别画出x ,x ,x 的图象【设计意图】一是让同学进一步熟识作反比例函数图象的步骤,规范同学的作图,在做中反馈校正；二是为本节课动手操作,连续探究反比例函数的图象性质做预备【实际成效】主要存在以下几个方面的问题：坐标系缺少箭头、标注x ,y,原点O ；反比例函数不是平滑

3、的曲线,画成折线；双曲线两头没有向坐标轴靠拢而是向内 卷；图象上没有标表达式等通过上课时展现,同学间相互找问题,能够将反比例函数 图象做得标准规范这样做能够曝露出画图中存在的问题,比直接展现课件图象成效要好 得多,同时也节约了上课画图所用的时间,教学过程：一创设情境 师：函数家族中增加了新的一员：反比例函数结识新伴侣,别忘老伴侣！请大家谈 谈对老伴侣正比例函数的熟识生： 正比例函数表达式为：0ykx （ k 为常数,k0）0时 , 经 过 二 、 四 象生 ： 是 一 条 直 线 , 当k时 , 经 过 一 、 三 象 限 ； 当k限生： 是一条经过原点0,0 的直线,当k0时,y随x的增大而

4、增大；当k0时,y随x的增大而减小师：（展现课件）大家把握地很好！请看表格：k函数图象k0大致图象x 所经象限函数值变化y 随 x 的增大y 一、三而增大O 正比例函数直线k0 x 二、四y 随 x 的增大y 而减小O 师：对于函数的图象及性质的争论,我们一般从以上几个方面进行争论,期望同学们 把握这种争论方法,为我们学习其他函数的图象及性质奠定基础上节课我们对反比例函 数的图象及性质进行了探究,请同学们依据表格总结反比例函数的图象及性质：生：函图kk0y O x 大致图象y O x 所经函数值数象象限变化反双k0三 ？一、比例曲函线数四 ？二、师：那我们这节课连续探究反比例函数图象的性质函数

5、值的变化规律【设计意图】第一从复习正比例函数的图象及性质入手,起点低,能让更多的同学跟 上来；其次,同学对正比例函数的图象及性质遗忘了许多,复习这后可以形成学问的循环 往复,螺旋式上升；仍有,利用类比的方式争论,可以形成系统地学问网络,也为今后学 习其他函数奠定基础【实际成效】有相当一部分同学将正比例函数的图象及性质遗忘,通过表格的形式重捡起记忆,有一部分同学用类比的方式将反比例函数的图象及性质也回答出来了,但函数值的规律少了“ 在第一象限内” 这一关键限制范畴事实上,这也是易错点,为我们下面全面正确地学习供应了反例二感知探究1、当k0时,反比例函数值的变化规律2y4y6师：请大家展现课前做的

6、反比例函数yx ,x ,x 的图象,小组同学相互找碴,帮忙同学完善他的作图生：相互检查,找出问题,规范作函数图象方法及步骤师：请观看这三个图象,你能发觉它们的共同特点吗？生： 它们的图象都是双曲线生： 图象都经过第一、三象限生：y随着x的增大而减小生：不对,应当说“在每一象限内,y 随着 x 的增大而减小”生：为什么？生：你看,在y 轴左侧第三象限内,y 随着 x 的增大而减小,y 的值越来越小,但向右过了y轴之后是从无限大的值重新开头减小的,所以我认为两支曲线应当分开来说师：很好！分析得相当到位我们可以用代数的方法进行推理：当 k 0 时,在第三1 1 k x 1 x 2 y 2 y 1 k

7、 0象限找两个点 x y 1 , x 2 , y 2 ,设 x 2 x ,就 x 2 x 1 x x 1,即 y 2 y 这说明,在第三象限内,y 随着 x 的增大而减小同理,我们也可以在第一象限去论证这一结论,课下同学们去做一做师：请摸索：反比例函数的图象可能与 x 轴相交吗？可能与 y 轴相交吗？为什么？生：不行能,我画得全部的反比例函数图象都没有与 x ,y轴相交y k生：从反比例函数表达式 x 中就可以看出 x 0,又由于 k 0,所以 y 0师：这说明, 反比例函数图象的两个分支无限接近 x 轴和y轴,但永久不会与 x 轴和y 轴相交【设计意图】通过直观图象观看,同学应很简洁地总结出

8、反比例函数图象的性质,对于函数值变化规律中“ 在每一象限内” 这一限制,让同学相互沟通、争论总结即可,后面的练习中再加深懂得,对于运用代数方法进行推理论证点到为止,留给接受才能较好的同学课下连续探讨【实际成效】正如课前所料,多数同学对“ 在每一象限内” 这个条件遗漏,其他性质懂得把握较好对运用代数方法推理论证,部分同学很感爱好,但存在代数变换基本运算才能不过关,需加强基础学问的落实2、当k0时,反比例函数值的变化规律师：我们利用y2y4y6ky0时,反比例函数值的变x ,x ,x 的图象探究了当化规律,那么以小组为单位,利用大家课前所作的y24y6x ,x ,x 的图象,当k0时,反比例函数值

9、的变化规律生：当k0时,y随着x的增大而增大生：不对！又忘了“ 在每一象限内” 生： 当k0时,在每一象限内,y 随着 x 的增大而增大师：请大家将反比例函数的图象及性质表格填写完整：函图kk0大致图象所经函数值数象象限变化在每一象反双k0y O x y O x 一、限内 ,y 随 x三的增大而减比小例曲二、在每函线一象数限内 ,y 随 x四的增大而增大【设计意图】让同学学会用类比的方法进行争论,主动去探究反比例函数值的增减性,主动曝露学问点的遗漏,加深对性质的懂得最终用表格的形式形成完整的学问网络,与正比例函数一起纳入系统之中,这种探究函数图象及性质的方法为今后学习二次函数打下了基础【实际成

10、效】 同学很快地得出了结论,仍旧有部分同学遗漏了“在每一象限内” ,这也是意料之中,让同学在反思中不断完善提高3、巩固练习：（ 1 ） 下 列 函 数 中 , 其 图 象 位 于 第 一 、 三 象 限 的有 有； 在 其 图 象 所 以 象 限 内 ,y随x的 增 大 而 增 大 的（填写序号）y O x 1 0.3 10 7y y y y 2 x ； x； x ； 100 x 6y（ 2）小明所作的所比例函数 x 的图象如图（1）,你认为他作得对吗？y k 3（3）反比例函数 x 的图象,当 x 0 时,y随x的增大而增大,就 k 的取值范畴是【设计意图】针对性练习,准时反馈,完成一个学问

11、学习的小循环,稍放慢一节节奏,让更多的同学跟上来,同时也为下面的学习做预备【实际成效】 基础性练习,为同学加油打气,把握得都较好三、沟通提高1以小组为单位,要求每个同学能说出正比例函数、反比例函数的图象及性质,并帮助有困难的同学说明其中的原理【设计意图】增强对反比例函数图象及性质的懂得,是解决问题的关键,也是说明问题的原理,让同学会沟通、会表达所学的数学原理同时,也增强同学间的团结互助y 【实际成效】 相互提问,学会用数学的语言表达,学习气氛很是深厚2“k ” 的意义P N x x 师：如图（ 2）,在反比例函数y6P ,过点 Px 图象上任取两点作x轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形PMO

12、N 面积是多少？生：设点P x y , ,由图象可得,PN|x ,PM|y|,所以矩形PMON 面积=PN PM =xyx y66x 师：一般地情形,反比例函数yk（2x 轴,y轴的平行 y x 图象向作线,与坐标轴围成的矩形面积是多少？生：k生：| k 由于 k 有可能为负,而面积不行能为负的,所以要加上确定值号O 师：如图（ 3）,图中三个矩形的面积分别为：1S,S ,S ,请问它们的大小关系？生：观看图象,直观得到：S S S 6（y 3生：不对！我们刚推导出每个矩形的面积都应当等于 yx A ）| k ,所以 S = S = S 生：噢,不能只凭感觉,要讲求科学原理的B O y 师：如

13、图（ 4）,（5）,反比例函数图象y6 yx ,请说出图形阴影部分的面积？6（4xA O 生：图中,OAB 的面积是所在矩形PMON 面积的一半,所以SOAB3x 生：图（ 5）中,ABC 的面积是矩形PMON 面积的 2 位,所以SABC12B C （5）【设计意图】函数表达式中的每一个常数都有相应的图形意义,因而探究反比例函数表达式中k的意义,会增强对数形结合的熟识从表达式中 k xy 到图形中矩形的面积=| k ,应让同学体会代数推理与几何图形之间的对应关系【实际成效】图形的直观性让同学加深了对函数的熟识,通过探究图形面积与 k 的关系,让同学感到了数学的秘密与美感3反比例函数的对称性师

14、：请同位两同学合作,将所作反比例函数y2x 图象重合,将上面的图象绕原点旋转180后,能与原先的图象重合吗？你能得到什么结论？生：仍旧与原先的图象重合,说明 反比例函数图象关于原点对称师：请同学们探究：反比例函数图象是否关于 x轴,y轴对称？生：沿x轴,y轴对折后不重合,因而反比例函数图象关于 x 轴,y轴不对称师；请同学们沿第一、三象限角平分线折后看有什么发觉？生： 反比例函数关于第一、三象限角平分线对称生：老师,我仍发觉：反比例函数关于其次、四象限角平分线对称师；很好！我仍没提示呢,都有新的发觉了,期望同学们多些探究【设计意图】 通过课前同学的作图,动手操作,对称性明显易见这部分学问让同学

15、直观感受即可,无需进行论证【实际成效】由于图是同学自己作的,通过操作成效很明显,结论也很简洁记,同学也很愿意学四拓展应用师：数形结合思想是中学阶段很重要的一种思想方法,是争论函数图象常用的好方法,下面就来考查大家对反比例函数图象及性质的懂得：已知点 A 2, y 1 ,B 1, y 2 ,C 3, y 3 都在反比例函数 y 6x 的图象上,试比较1y,y ,3y的大小生：分别将 x 2,1,3代入求出 y 1 3,y 2 6,y 3 2,所以y 3 y 1 y 生：可以利用图象的直观性,如图,得到 y 3 y 1 y 6变式一： 已知点 A 2, y 1 ,B 1, y 2 ,C 3, y

16、3 都在反比例函数 yx 的图象上,试比较 1y,y ,3y的大小生：用 代入求值法或图象法 两种方法我都试了,结果是 y 2 y 1 y k变式二： 已知点 A 2, y 1 ,B 1, y 2 ,C 3, y 3 都在反比例函数 yx 的图象上,试比较 1y,y ,y 的大小生：要分 k 0,k 0 两种情形争论,这时代入求值法不好用了,我用的是图象法,如图（6）,当 k 0 时,y 3 y 1 y ；如图（7）,当 k 0 时,y 2 y 1 y y y 3 1y y 2-2 -1 O y 1y 2 3 x -2 -1 O y 3 3 x k 0 k 0（6）（ 7）【设计意图】通过“

17、活学活用” 可以进一步帮忙同学把握学问,有助于老师明白同学 对学问的懂得与把握通过沟通同学用不同的方法解决所给的问题,拓宽同学的视野打开 解题的思路通过变式练习,一步步加深难度,让同学感受到分类争论思想【实际成效】 同学对于老师设置的题目同学能较好的把握,收到了很好的教学效 果同学的想法许多也很好,让同学到前面讲解,下面的同学比听老师讲仔细多了,这种 方式值得使用,一可以锤炼讲题人的规律思维才能和语言表达才能,二可以促进更多的学 生听他们自己的声音五总结升华 生：通过本节课的学习,我在明白反比例函数的图象及所经象限后,又知道了反比例 函数值的增减性生：我们必需强调：“ 在每一象限内” ,函数值

18、的变化规律生：通过本节课的学习,我体会到数形结合对解决函数问题很是有用生：用类比正比例函数的图象及性质来懂得把握反比例函数的图象及性质,既能复习 仍能很好地对比记忆生：对于反比例函数表达式中k ,我原以为只是一个常数而已,而如今我知道它竟然仍有着不同凡响的图形意义,有意思！, 师：我真替大家兴奋,不仅学到了数学原理,更为重要的是能够懂得到这些深奥的数 学学问的内在美,下节课我们就来重点应用了诚心地期望同学们好好学习,为明天的成 功做预备！【设计意图】 让同学小组沟通,总结本节课的收成,老师适当点拨与确定勉励同学 大胆讲出本节课存在的疑问,师生合作帮忙同学解答疑问通过这一环节让同学进一步认 识了

19、生活实际与数学的紧密联系,有助于培育同学乐于观看生活的习惯,激发同学学习数 学的爱好【实际成效】同学在这一环节能大胆发言,畅谈自己的收成与疑问,脸上露出了猎取 学问的欢乐同学通过回忆本节课的学习过程,体会到“ 数学的美在于发觉” ,距离数学 更近了！六当堂反馈第1如点Pk 2, 3 在函数 y x 的图象上,那么这个图象的函数是象限内,在第一象限内,y 随 x 的增大而,它在【考查学问点】反比例函数的表达式、图象所经象限、函数值y 的变化规律2如图（ 8）,点P 是反比例函数图象上的一点,如AOP 的面积为4,就反比例函 P x x 数的表达式为A O 【考查学问点】图形面积与k的关系3如图（ 9）,正比例函数ymx 与反比例函数ynm n 是非零常x （数）的图象交于A B 两点如点A