导数大题20种主要题型讲解

1、答案详解-1-2-：-3-4-此题主要考察导数在研究函数中的应用。（1）求出比较其与的大小，获得的单调性表，于是获得的极值。（2）将代入到中，并求适合时，此时恒成立，即在单调递增，同理可以获得在上为增函数，则原不等式可化为在上恒成立，令，对其求导得知若为减函数时其导数恒小于，便可获得的取值范围。（3）若存在，使得假设成立，也即在上不是单调增或单调减，故，对求导获得其极小值点为，由于解得此时，此时需证明当，使得即可，此时可取，发现成立，故的取值范围为。-5-答案详解（），由是的极值点得，所以。于是，定义域为，函数在上单调递增，且。因此，当时，；当时，。所以，在上单调递减，在上单调递增。（）当，时

2、，故只要要证明当时，。当时，函数在单调递增，又，故在有唯一实根，且。当时，；当时，；进而当时，取得最小值。由得：，故。综上：当时，。解析:此题主要考察函数的求导和函数的单调性的判断。（）先对函数求导，得导函数，由题，则可得的值，当时，单调递增，求得的的取值范围即为单调增区间；当时，单调递减，求得的的取值范围即为单调减区间。（）由解析知，只要证明当时，此时经过解析函数单调性，求得即可得证。-6-例题5：函数。（）议论的导函数零点的个数；（）证明：当时，。答案详解（）的定义域为，（）。当时，没有零点；当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增。又，当知足且时，故当时，存在唯一零点。（）由（），可

3、设在的唯一零点为，当时，；当时，。故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为。由于，所以。故当时，。解析:此题主要考察导数的观点及其几何意义以及导数在函数研究中的应用。（）求导得出的表达式，根据其表达式，对进行分类议论。当时，可知没有零点；当时，可知单调递增，且存在使得而，因此存在唯一零点。（）由（），可设的最小值在时取到，最小值为。写出的表达式，再运用均值不等式即可得出。题型3：先构造，再赋值，证明和式或积式不等式例题：已知函数。（1）若，求的值；（2）设为整数，且关于任意正整数，求的最小值。-7-答案详解（1）的定义域为，由已知得，。对求导，得（），若，则恒成立，在上递增，则

4、时，所以不合题意；若，则时，递减，时，递增，令，时，递增，时，递减，故当且仅当时，符合题意。综上，。（2）由（1）得在上恒成立，所以，令，即有，因为，所以若关于任意正整数，则有，整数。解析:此题主要考察导数在研究函数中的应用。（1）对分类议论，利用导数研究函数的单调性，得出知足的的值。（2）要证不等式等价于，根据（1）中结论，对赋值，得到，进而将放缩成等比数列的前项和，由，知，进而，取最小整数值。例题：已知函数发f(x)=(x+1)lnx-ax+2当a=1时,求在x=1处的切线方程;若函数f(x)在定义域上拥有单调性,求实数a的取值范围;-8-9-题型4:恒成立，存在性问题-10-由此利用导数

5、性质能求出实数a的取值此题重点考察利用导数研究函数的性质,利用函数的性质解决不等式、方程问题.重点考察学生的代数推理论证能力.解题时要仔细审题,注意导数性质的合理运用.练习：已知f(x)=xlnx,g(x)=-x2+mx-3.求f(x)在t,t+2(t0)上的最小值.若对一切x(0,+),2f(x)成g(x)立,求实数m的取值范围.答案详解解：(1)f(x)=lnx+1,令f(x)=0,得x=.x(0,),f(x)0,f(x)单调递增.因为t0,t+22,当0t0),则h(x)=.h(x)=0,得x=1或x=-3(舍),x(0,1)时,h(x)0,h(x)单调递增,所以h(x)min=h(1)

6、=4.所以mh(x)min=4.的最小值即可.注意不要忽略x0的条件,致使求导数的方程时产生增根.练习：设函数，其中，为自然对数的底数。（1）议论的单调性。（2）证明：当时，。（3）确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立。答案详解（1）由题意可得（），设，.2分当时，所以，即在上单调递减；当时，令，解得，所以的单调减区间为，单调增区间为。.4分-12-（2）要证当时，即，即，.5分设，所以，令，解得，所以在上单调递增，所以。当时，所以当时，成立。.8分（3）由得，.9分设，由题意知在上恒成立。因为，所以必须成立，又，所以，所以。又，易知当时，。.12分令，则，令，解得，此时单调递增，又，所以当

7、时，。综上，所以在上单调递增，所以，则有在上单调递增，所以，所以，即。.14分解析:此题主要考察导数在研究函数中的应用。（1）求出，分别在导函数大于、小于的情况下议论，即可得出单调区间；2）将分解为两个比较容易求导的函数，并将较复杂的函数求导，得出其图象性质，即可经过其与另一函数图象的交点关系求出不等式；3）将两函数相减构造新函数，由新函数值的符号可以判断原来两个函数的大小关系。将新构造的函数求导，并议论其在函数值为周边导函数的符号，以此判断该函数在对应区间内的函数值的符号，进而即可判断对应情况两函数值的大小关系。题型5：极值点偏移应用已知函数（1）议论的单调性；（2）证明：当时，；-13-（

8、3）若函数有两个零点，比较与的大小，并证明你的结论。答案（1）时，f（x）在上递增，上递减，上递增；时，f（x）在上递增；时，f（x）在上递增，上递减，上递增；时，f（x）在上递增，在上递减；（2）见解析；（3）1）时，f（x）在（0,1）上递增，在上递减；时，f（x）=0的两根为A，即时，f（x）在上递增；B，即时，f（x）在上递增，上递减，上递增；且，故此时f（x）在上有且只有一个零点C，即时，f（x）在上递增，上递减，上递增；且，故此时f（x）在上有且只有一个零点综上所述：时，f（x）在上递增，上递减，上递增；时，f（x）在上递增；时，f（x）在上递增，上递减，上递增；时，f（x）在上递

9、增，在上递减；2）-14-设在上单调递减得证（3）由（1）知，函数要有两个零点，则不妨设由（2）得考点：1.导数与函数的单调性；2.函数与方程、不等式解析（1）求导得，当，导数的符号由确定，可确定函数的单调性；当时，由议论与的大小下手，分别议论导数在各个区间上的符号，即可确定函数的单调性；（2）先写出不等式式的等价形式，即，构造函数，求导可得函数在区间单调递减，所以可得；-15-（3）因为函数要有两个零点，所以，由此可求得，设，由（2）得，进而有，即有成立，进而可证结论成立练习：已知函数（）的两个零点为，（）。（1）求实数的取值范围；（2）求证：。答案详解（1），当时，在上单调递增，不可能有两

10、个零点；当时，由可解得，由可解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，要使得在上有两个零点，则，解得，则的取值范围为。（2）令，则，由题意知方程有两个根，即方程有两个根，不妨设，令，则，由可得，由可得，所以时，单调递增，时，单调递减，故综上可知，要证，即证，即，即证，令，下面证对任意的恒成立，-16-，因为，所以，所以，因为，所以，所以在是增函数，所以，所以原不等式成立。解析:此题主要考察函数与方程及导数在研究函数中的应用。（1）先对函数求导，再根据函数的单调性，使得最小值小于以知足函数有两个零点的条件，即可求出的取值范围。（2）要证，令，则，再变换成的等式，再成立新的函数，求导，根据单调性

11、判断，再证，成立新的函数，求导证明即可。-17-18-19-题型6：对数，指数平均的应用-20-解析(1)根据发f(x)的解析式求出f(x)的导函数,通分后根据函数f(x)在上为单调增函数,获得分子大于0恒成立,解出2a-2小于等于一个函数关系式,利用基本不等式求出这个函数的最小值,列出关于a的不等式,求出不等式的解集即可获得a的取值范围;把所证的式子利用对数的运算法规及不等式的基本性质变形,即要证,根据(1)获得h(x)在x大于等于1时单调递增,且大于1,利用函数的单调性可得证.此题考察学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间,掌握不等式恒成马上所知足的条,会利用基本不等式求函数的最小值,在

12、证明第(2)时注意利用第(1)问中的结论,属于基本知识的考察.-21-解析（1）函数的定义域为，因为有两个零点，所以函数与函数有两个不同的交点，根据导数的性质，可知当时，单调递增；当时，单调递减，所以，并且当，于是可得函数的图象大体，然后再利用数形结合，可得函数与函数有两个不同的交点时，的取值范围；（2）由已知，即，两边同取以为底的对数，得，要证明，则只要证明，即，不妨设，令，则，即证对恒成立，令，然后再根据导数在函数单调性中的应用即可求出结果.试题解析：（1）函数的定义域为，因为有两个零点，所以函数与函数有两个不同的交点，-22-，令，解得，当时，单调递增；当时，单调递减，所以，并且当，于是

13、的图象大体为：函数与函数有两个不同的交点时，的取值范围是.（2）由已知，即，两边同取以为底的对数，得，要证明，则只要证明，即，不妨设，令，则，即证对恒成立，令，则，在区间单调递增，即，进而成立.-23-例题：已知函数有两个零点，（）（1）求证：；（2）求证：解析1）求出函数的导数，经过议论的范围求出函数的单调区间，进而求出函数的最小值，求出的范围即可；（2）问题转变为证明，设函数，根据函数的单调性证明即可试题解析：（1）证明：的定义域为，当时，所以函数在区间上是增函数，不可能有两个零点；当时，在区间上，在区间上；所以在区间上递减，在区间上递增的最小值为，依题意，有，则（2）证明：要证，只要证，

14、易知，而在区间上是增函数，所以只要证明，即证，设函数，而，并且在区间上，即在区间上是减函数，所以而，所以成立，所以点睛：此题主要考察函数导数与不等式，恒成立问题.要证明一个不等式，我们可以先根据题意所给条件化简这个不等式，可以转变为，利用条件将-24-不等式转变为求证，划归与转变之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果.例题-25-题型7：先取对数后构造已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3（1）求实数a的值；2（2）若f（x）kx对任意x0成立，求实数k的取值范围；（3）当nm1（

15、m，nN*）时，证明：答案解：（1）f（x）=ax+xlnx，f（x）=a+lnx+1，又f（x）的图象在点x=e处的切线的斜率为3，-26-f（e）=3，即a+lne+1=3，a=1；2）由（1）知，f（x）=x+xlnx，2f（x）kx对任意x0成立对任意x0成立，令，则问题转变为求g（x）的最大值，令g（x）=0，解得x=1，0 x1时，g（x）0，g（x）在（0，1）上是增函数；x1时，g（x）0，g（x）在（1，+）上是减函数故g（x）在x=1处取得最大值g（1）=1，k1即为所求；（3）令，则，由（2）知，x1+lnx（x0），h（x）0，h（x）是（1，+）上的增函数，nm1，h

16、（n）h（m），即，mnlnn-nlnnmnlnm-mlnm，mnlnn+mlnmmnlnm+nlnn，lnnmn+lnmmlnmmn+lnnn，ln（mnn）mln（nmm）n，（mnn）m（nmm）n，此题考察导数的综合应用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考察不等式恒成立问题转变为求函数的最值，考察不等式的证明，运用构造函数，求导数获得单调性，再由单调性证明，属于中档题-27-解析（1）求出f（x）的导数，由切线的斜率为3，解方程，即可获得a；2对任意x0成立对任意x0成立，令，则问题（2）f（x）kx转变为求g（x）的最大值，运用导数，求得单调区间，获得最大值，令k不小于最大值即可

17、；（3）令，求出导数，判断单调性，即得h（x）是（1，+）上的增函数，由nm1，则h（n）h（m），化简整理，即可得证答案（1）因为，所以。因为函数的图像在点处的切线斜率为3，所以，即，所以。2）由（），知f(x)xxlnx，f(x)kx2对任意x0成立?k,对任意x0成立，令g(x)，则问题转变为求g(x)的最大值求导数，得g(x)，令g(x)0，解得x10 x1时，g(x)0，g(x)在(0，1)上是增函数；x1时，g(x)0，g(x)在(1，)上是减函数g(x)在x1处取得最大值g(1)1k1即为所求（3）令h(x)，则h(x)由（），知x1lnx（x0），h(x)0，h(x)是(1，)

18、上的增函数nm1，h(n)h(m)，即，-28-即，即，即，答案详解解：（1）f(x)=ax+xlnx，f(x)=a+lnx+1.f(x)的图象在点x=e处的切线的斜率为3，f(e)=a+lne+1=3，解得a=1.2）由（1）知f(x)=x+xlnx，2成立，等价于k对任意x0成立，f(x)kx对任意x0令g(x)=，则问题转变为求g(x)的最大值.g(x)=-，令g（x）=0，解得x=10 x1时，g(x)0，g(x)在（0，1）上是增函数；x1时，g(x)0，g(x)在（1，+）上是减函数.g(x)在x=1处取得最大值g(1)=1k1.（3）令h(x)=，则h(x)=.-29-由（2）知

19、x1+lnx（x0），h(x)0，h(x)是（1，+）上的增函数nm1，h(n)h(m)，即，mnlnn-nlnnmnlnm-mlnm，即mnlnn+mlnmmnlnm+nlnn，lnnmn+lnmmlnmmn+lnnn，ln(mnn)mln(nmm)n，(mnn)m(nmm)n，.解析:【解题方法提示】关于（1），先结合题意求出f(x)，令f(e)=3，即可获得a的值；2，对任意关于（2），由（1）知f(x)=x+xlnx，f(x)kx对任意x0成立，等价于kx0成立，令g(x)=，则问题转变为求g（x）的最大值；求出g(x)，可分x1和0 x1，对g(x)的增减性进行解析议论，进而获得g(

20、x)最大值；关于（3），由已知可知要证，即证，令h(x)=，判断出h(x)在（1，+）上的单调性，结合nm1，问题即可得证.-30-题型8：多元变量消元思想已知函数。（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；（2）若在定义域上有两个极值点，证明：。答案详解1（1），。令。当时，在上单调递减。当时，方程有两个不相等的正根，不妨设，则当时，当时，这时不是单调函数。综上，的取值范围是。（2）由（1）知，当且仅当时，有极小值点和极大值点，且，。令，则当时，在上单调递减，所以，即。解析:此题主要考察导数在函数中的应用。（1）可知函数的定义域为，求出函数的导数，只要判断的正负即可。可知，当时，在上单调递

21、减。当时，方程有两个不相等的正根，不妨设，-31-则当时，当时，这时不是单调函数。的取值范围是。（2）当且仅当时，有极小值点和极大值点，且，。易求。令，经过求的最小值可证结论正确。解析2（1）因为所以法一：若在(0，)单调递增，则在(0，)上恒成立，由于开口向上，所以上式不恒成立，矛盾。若在(0，)单调递减，则在(0，)上恒成立，由于开口向上，对称轴为，故只须解得。综上，的取值范围是，)法二：令当时，在(0，)单调递减当时，方程有两个不相等的正根，不妨设，则当时，当时，这时不是单调函数-32-综上，的取值范围是，)（2）由（1）知，当且仅当(0，)时，有极小值点和极大值点，且，令，则当时，0，

22、在(0，)单调递减，所以即点评：导数是研究函数的单调性、极值、最值的有力工具，研究函数的性质时要注意函数的定义域.-33-34-解析:将a=0代入函数的表达式,求出函数f(1-2x)的表达式,求出函数的导数,获得函数的单调区间,进而求出函数的最大值;先求出函数f(x)的导数,经过议论a的范围,进而求出函数的单调区间;(3)先求出,构造函数,求出函数的导数,获得函数的单调区间,求出函数的最小值,进而证明结论.此题考察了函数的单调性、最值问题,考察导数的应用,不等式的证明问题,是一道难题.-35-36-解析:()求出函数的导数,经过议论a的范围求出函数的单调区间即可;根据函数的单调性求出a的范围即

23、可.例题：设函数f（x）=x2-2x+1+alnx（aR）（1）议论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个极值点x1、x2，且x1x2，证明：f（x2）答案详解（1）由f（x）=，（x0），得=4-8a=4（1-2a），议论a时，0a时，a0时的情况，进而得出结论；（2）由f（x），得：-2，由（）中可知1，进而f（x）2=0a=2x21x22=-2x2+1+2x2-2）lnx2，（x21），令g（t）=t2-2t+1+（2t-2t2）lnt，（t1），求出g（t）=2（1-2t）lnt，当t（，1）时，g（t）0，进而g（t）g（）=，问题解决答案解：（1）f（x）=，（x0），=

24、4-8a=4（1-2a），a时，有0，f（x）0在（0，+）上恒成立，f（x）在（0，+）递增，0a时，有0，令f（x）=0，-37-解得：x1=（x10），x2=，令f（x）0，解得：0 x或x，令f（x）0，解得：x，f（x）在（0，），（，+）递增，在（，）递减；a0时，有0，且中的x1=0，令f（x）0，解得：x，令f（x）0，解得：0 x，f（x）在（0，）递减，在（，+）递增；2）x2为极值点，f（x2）=0，即2-2x2+a=0，解得：a=2x2-2，由（1）中可知x21，f（x2）=-2x2+1+（2x2-2）lnx2，（x21），令g（t）=t2-2t+1+（2t-2t2）l

25、nt，（t1），g（t）=2（1-2t）lnt，当t（，1）时，g（t）0，g（t）在（，1）上递增，g（t）g（）=，f（x2）=g（x2）题型9：三次函数切线方程问题已知函数。（）求在区间上的最大值；（）若过点存在条直线与曲线相切，求的取值范围；-38-（）问过点，分别存在几条直线与曲线相切？（只要写出结论）答案详解（）由得。令，得或。因为，。所以在区间上的最大值为。（）设过点的直线与曲线相切于点，则，且切线斜率为，所以切线方程为，因此。整理得。设，则“过点存在条直线与曲线相切”等价于“有个不同零点”。与的情况如下：所以，是的极大值，是的极小值。当，即时，此时在区间和上分别至多有个零点，所

26、以至多有个零点。当，即时，此时在区间和上分别至多有个零点，所以至多有个零点。当且，即时，因为，所以分别在区间，和上恰有个零点。由于在区间和上单调，所以分别在区间和上恰有个零点。综上可知，当过点存在条直线与曲线相切时，的取值范围是。（）过点存在条直线与曲线相切；过点存在条直线与曲线相切；过点存在条直线与曲线相切。-39-解析:此题主要考察函数与方程。（）经过导数求得最值。（）把过的直线与曲线相切转变为函数的零点问题，再分类议论。（）画出函数图象，找出极点，根据函数单调性画出草图，再根据给出的三个点的地址即可判断出切线数量。2014高考北京卷(文),20(本小题满分13分)已知函数f(x)2x33

27、x.求f(x)在区间2,1上的最大值；若过点P(1,t)存在3条直线与曲线yf(x)相切,求t的取值范围；(3)问过点A(1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线yf(x)相切？(只要写出结论)解答：f(x)2x33x得f(x)6x23.f(x)0,得x22或x22.因为f(2)10,f(22)2,f(22)2,f(1)1.所以f(x)在区间2,1上的最大值为f(22)2.设过点P(1,t)的直线与曲线yf(x)相切于点(x0,y0),y02x033x0,且切线斜率为k6x023,所以切线方程为yy0(6x023)(xx0),因此ty0(6x023)(1x0).整理得4x0

28、36x02t30.g(x)4x36x2t3,则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线yf(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”.g(x)12x212x12x(x1).g(x)与g(x)的情况如下：-40-所以,g(0)t3是g(x)的极大值,g(1)t1是g(x)的极小值.当g(0)t30,即t3时,此时g(x)在区间(,1和(1,)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点.当g(1)t10,即t1时,此时g(x)在区间(,0)和0,)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点.g(0)0且g(1)0,即3t1时,因为g(1)t70,g(2)t110,所以g(x)分别在区间1

29、,0),0,1)和1,2)上恰有1个零点.由于g(x)在区间(,0)和(1,)上单调,所以g(x)分别在区间(,0)和1,)上恰有1个零点.综上可知,当过点P(1,t)存在3条直线与曲线yf(x)相切时,t的取值范围是(3,1).过点A(1,2)存在3条直线与曲线yf(x)相切；过点B(2,10)存在2条直线与曲线yf(x)相切；过点C(0,2)存在1条直线与曲线yf(x)相切.题型10：洛必达法规在高考中的应用已知函数,(1)求证:;(2)若对上恒成立,求a的最大值与b的最小值.答案详解解:(1)由得,此在区间上,所以在区间上单调递减,进而.(2)当时,“”等价于“”,“”等价于“”令,则,

30、-41-当时,对上恒成立,当时,因为对任意,所以在区间上单调递减,进而,对任意恒成立,当时,存在唯一的使得,与在区间上的情况如下:x+-因为在区间上是增函数,所以进一步对任意恒成立,当且仅当综上所述当且仅当时,对任意恒成立,当且仅当时,对任意恒成立,所以若对上恒成立,则a的最大值为,b的最小值为1解析:-42-(1)求出,判断出在区间上,得在区间上单调递减,进而.(2)当时,“”等价于“”,“”等价于“”构造函数,经过求函数的导数议论参数c求出函数的最值,进一步求出a,b的最值.答案【试题解析】(1)先求出导函数f(x)，利用导函数在上的符号判断f(x)在上的单调性，并求出其最大值，即可证得结

31、论；(2)根据x0，将不等式转变为整式不等式，进而转变为与0的大小关系，注意对参数c的取值要分c0，c1和0c1三种情况进行分类议论，然后利用边界值求出a的最大值与b的最小值【解析】(1)证明：由f(x)xcosxsinx得f(x)cosxxsinxcosxxsinx.因为在区间上f(x)xsinx0，所以f(x)在区间上单调递减进而f(x)f(0)0.进而g(x)g(0)0对任意恒成立-43-当0c1时，存在唯一的使得g(xcosx0c00)g(x)与g(x)上的情况如下：在区间x(0，x0)x0(x0，/2)g(x)0gx)(因为g(x)在区间【0，x0】上是增函数，所以g(x0)g(0)

32、0.进一步，“g(x)0对任意恒成立”当且仅当，即.综上所述，当且仅当时，g(x)0对任意恒成立；当且仅当c1时，g(x)0对任意恒成立所以，若对任意恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1.题型11:极值点偏移（非中点偏移）情况已知函数.（1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值；（2）如果是函数的两个零点，为函数的导数，证明：答案解析-44-例题：已知函数f（x）=2lnx-x2-ax（）当a3时，议论函数y=f（x）在，+）上的单调性；-45-（）如果x1，x2（x1x2）是函数f（x）的两个零点，f（x）为函数f（x）的导数，证明：答案详解解：（）求导数可得，（1分）易知f（x）在上单

33、调递减，（2分）当时，（3分）当a3时，f（x）0在上恒成立当a3时，函数y=f（x）在上单调递减（5分）（）x1，x2（x1x2）是函数f（x）的两个零点，f（x1）=2lnx1-1=0，f（x2）=2lnx2-2，-ax-ax=0两式相减可得：2ln-（）-a（x2-x1）=0，故a=-（x21），又，+x=-+（x2+x1）=，因为0，故只要研究的符号，而=，令=t，则t1，故上式=，令h（t）=（t1），求导数可得h（t）=0，所以h（t）=在（1，+）单调递增，-46-所以当t1时，h（t）h（1）=0，故0，又0，故0（14分）解析:（）求导数，可判当a3时，f（x）0在上恒成立，

34、可得单调性；（）由题意可得a=-（x2+x1），代入，可得=，只要研究的符号，而=，构造函数令h（t）=（t1），求导数可得单调性和求值范围，进而可得答案题型12:导数中的凹凸反转已知函数，.（）若曲线与曲线在公共点处有共同的切线，求实数的值；（）在（）的条件下，试问函数是否有零点？如果有，求出该零点；若没有，请说明原因.答案（I）；（II）无零点.试题解析：（）设曲线与曲线公共点为则由，即可求的值；（）函数是否有零点，转变为函数与函数在区间是否有交点，求导根据函数单调性可知最小值为，最大值为，进而无零点试题解析：（）函数的定义域为，-47-设曲线与曲线公共点为由于在公共点处有共同的切线，所以

35、，解得，.由可得.联立解得.（）函数是否有零点，转变为函数与函数在区间是否有交点，可得，令，解得，此时函数单调递增；令，解得，此时函数单调递减.当时，函数取得极小值即最小值，.可得，令，解得，此时函数单调递增；令，解得，此时函数单调递减.当时，函数取得极大值即最大值，.因此两个函数无交点.即函数无零点.点睛：此题中涉及根据函数零点个数求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理成立不等式求解；（2）分别参数后转变为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转变为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，进而成立不等式求解.-48-

36、例题：已知函数f（x）=alnx，aR（1）若曲线y=f（x）与f（x）与曲线g（x）=在交点处有共同的切线，求a的值；（2）在（1）的条件下，求证：xf（x）-1答案解：（1）f（x）=alnx，g（x）=，f（x）=，g（x）=，设曲线f（x）与f（x）与曲线g（x）交点的横坐标为x0，由曲线y=f（x）与f（x）与曲线g（x）=在交点处有共同的切线，可得：alnx0=，且=，解得：x0=e2，a=，证明：（2）由（1）得：f（x）=lnx，则不等式xf（x）-1可化为：x?lnx-1，即即证明exlnxxe1-x-2H（x）=exlnx，可得H（x）=e+elnx=e（1+lnx），H（

37、x）0，解得x（，+），此时函数H（x）单调递增；H（x）0，解得x（0，），此时函数H（x）单调递减当x=时，函数H（x）取得极小值即最小值，H（）=-1-49-G（x）=xe1-x-2，可得G（x）=（1-x）e1-x，G（x）0，解得0 x1，此时函数G（x）单调递增；G（x）0，解得x1，此时函数G（x）单调递减当x=1时，函数G（x）取得极大值即最大值，G（1）=-1H（x）G（x），因此xf（x）-1解析（1）函数f（x）=alnx的定义域为（0，+），f（x）=，g（x）=，曲线f（x）与f（x）与曲线g（x）交点的横坐标为x0，由于在交点处有共同的切线，利用导数的几何意义可得：

38、alnx0=，且=，联立解得即可（2）在（1）的条件下f（x）=要证明xf（x）-1即证明exlnxxe1-x-2分别令H（x）=exlnx，令G（x）=xe1-x-2，利用导数研究其单调性极值与最值即可证明此题考察了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考察了恒成立问题等价转变方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题-50-f（x）与曲线g（x）交点的横坐标为x0，由于在交点处有共同的切线，利用导数的几何意例题：已知函数f(x)=alnx,aR（1）若曲线y=f(x)与曲线g(x)=在交点处有共同的切线，求a的值（2）若对任意的x1,e，都有f(x)+(a+2)x恒成立，求a的取值范围（3）在

39、（1）的条件下，求证：xf(x)-1答案(1)因为y=f(x)=alnx，则=，因为g(x)=，所以=因为曲线y=f(x)与曲线g(x)=在交点处有共同的切线所以=且alnx=解得a=，x=,即切点是（，e）-51-2）由题意知：alnx+(a+2)x在x1,e恒成立设h(x)=alnx+-(a+2)x,即转变为证h(x)=alnx+-(a+2)x0在x1,e恒成立所以=+2x-a-2=0，解得=1,=当1时，即a2时，0，所以h(x)在x1,e单增，所以h(x)在x=1取得最小值h(1)=-1-a要使h(x)=alnx+-(a+2)x0在x1,e恒成立，必有h(1)=-1-a0，解得a-1所

40、以a-1时，h(x)=alnx+-(a+2)x0在x1,e恒成立当1e，即2a2e，令=0，解得x=因为h(x)在1,上单减，在,e上单增，所以h(x)在x=取得最小值，最小值为h()=aln-a即需aln-a0，因为2a2e，所以需要：ln-10令H(x)=ln-1,=-，因为x1,e，所以0，所以H(x)在x1,e上单增又因为H(2e)=-0，且2a2e，所以H（a）=ln-1H(2e)0所以不符合题意舍去当e，即a2e，0，所以h(x)在x1,e单减，所以h(x)在x=e取得最小值h(e)=a+-(a+2)e由题意知：h(e)=a+-(a+2)e0，解得a2e，所以舍去综上所述a2时，对

41、任意的x1,e，都有f(x)+(a+2)x恒成立（3）因为由（1）知：a=，所以需证：lnx-1即证：G(x)=lnx-+1=lnx-+10因为函数的增减速度：对数函数幂函数0时，答案（1）；（2）；（3）证明见解析解析【解析】试题解析：（1）求出函数的导数，求解与的值，联立刻可求解的值；（2）-61-利用导数判断函数在为单调递减函数，；（3）由题意可猜测：当时，的图象恒在切线的上方，即证时，可组成新函数，利用导数确定在上的单调性，获得在上最大值，进而证明之试题解析：（1），由题设得，解得，（2）法1：由（1）知，故在上单调递增，所以，法2：由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，

42、在上单调递增，所以，（3）因为，又由（2）知，过点，且在处的切线方程为，故可猜测：当时，的图象恒在切线的上方下证：当时，设，则，由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，又，所以，存在，使得，所以，当时，；当，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增又，当且仅当时取等号故由（2）知，故，当且仅当时取等号-62-所以，即所以，即成立，当时等号成立考点：导数的几何意义；利用导数求解函数的单调性与最值；不等式关系的证明【方法点晴】此题主要考察了函数的导数在求解函数问题中的应用函数导数的几何意义（确定切线方程）、利用导数求解函数的单调性与极值、最值和不等式恒成立问题的求解，着重考察了分类议论和转变的思

43、想方法，试题难度较大，此题第三问的解答中，把不等式的证明转变为时，的图象恒在切线的上方，进而得时，恒成立，经过构造新函数，利用导数确定新函数的单调性和最值，进而得到证明题型14：导数中的卡根思想已知函数，。（1）求函数的单调区间。（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值。答案详解（1）由题可知，函数的定义域为，且。当时，则在区间内单调递增；当时，由可得，或（舍去），当时，单调递增，当时，单调递减。综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为。-63-（2）令（），所以（）。当时，因为，所以，所以在上是增函数，又因为，所以关于的不等式不能恒成立。当时

44、，令，得。所以当时，；当时，因此函数在上是增函数，在上是减函数。故函数的最大值为。令，由可知在内是减函数，且，所以当时，当时，所以使得成立的最小的整数值为，即便得，恒成立的整数的最小值为。综上：整数的最小值为。解析:此题主要考察导数的计算和导数在研究函数中的应用。（1）要求函数的单调递减区间，则对函数求导，对的值进行分类议论，求出在和时的单调区间即可。-64-（2）将问题转变成恒成立，先求，然后分别议论当和时函数的单调性，根据单调性求的最大值，若最大值小于等于零，则恒成立，否则不是恒成立。且是整数，由此确定的最小值。例题：已知函数1）求函数f(x)的单调递增区间；2）若关于x的不等式，(x)(

45、a-l)x-l恒成立，求a的最小整数值.答案-65-已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.答案(1)当时，的单调递增区间为，无减区间，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为;(2)2.解析(1)首先对函数求导，然后对参数分类议论可适合时，的单调递增区间为，无减区间，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为;(2)将原问题转变为在上恒成立，考察函数的性质可得整数的最小值是2.试题解析：(1)，函数的定义域为.当时，则在上单调递增，当时，令，则或(舍负)，当时，为增函数，当时，为减函数，当时，的单调递增区间为，无减区间，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

46、-66-(2)解法一：由得，原命题等价于在上恒成立，令，则，令，则在上单调递增，由，存在唯一，使，.当时，为增函数，当时，为减函数，时，又，则，由，所以.故整数的最小值为2.解法二：得，令，-67-时，在上单调递减，该情况不可立.时，当时，单调递减；当时，单调递增，恒成立，即.令，显然为单调递减函数.由，且，当时，恒有成立，故整数的最小值为2.综合可得，整数的最小值为2.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考察都特别突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考察主要从以下几个角度进行：(

47、1)考察导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)考察数形结合思想的应用-68-例题：此题考察了导数的综合应用及函数零点判断定理的应用,属于中档题-69-题型15：导数中含三角函数式的证明-70-71-例题：已知函数.（）证明：函数在上单调递增；（）若，求的取值范围.答案（）见解析;（）.试题解析：（）利用导函数的性质证明即可；（）利用导函数求解，对进行讨论，构造函数思想，结合导函数的单调性，求解的取值范围.试题解析：（）因为，所以，于是（等号当且仅当时成立）故函数在上

48、单调递增-72-（）由（）得在上单调递增，又，所以，（）当时，成立（）当时，令，则，当时，单调递减，又，所以，故时，（）由（）式可得，令，则由（）式可得令，得在上单调递增，又，所以存在使得，即时，所以时，单调递减，又，所以，即时，与矛盾综上，知足条件的m的取值范围是例题：设(1)求证:当时,;(2)若不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围答案-73-(1)证明:,则,设,则,当时,即为增函数,即在上是增函数,所以.(2)解法一:由(1)知时,设,则,设,则,当时,所以为增函数,所以,所以为增函数,所以,所以对任意的恒成立.又时,所以时,对任意的恒成立.当时,设,则,所以存在实数,使得任意,均有

49、,所以在为减函数,当时,即时不符合题意综上,实数的取值范围为(2)解法二:因为等价于设,则,设,则,-74-当单调递减,当单调递增,当时,当时,所以当时,恒成立,在是增函数,所以,即,即所以时,对任意恒成立.当时,存在,当时,在是减函数,当时,即,即,不符合题意,故不能知足题意,综上所述,时,对任意恒成立.解析此题主要考察导数、函数的性质，考察了转变思想与分类议论思想、恒成立问题与逻辑推理能力.(1)求导并判断函数的单调性，求出函数的最小值即可得出结论；(2)法一：由(1)知时,设,则,求导并判断函数的单调性，求出的最小值，即可证明对任意的恒成立，时，对任意的恒成立；当时,设,判断函数的单调性

50、，则易得结论；法二:由题意可得恒成立，设,则,设,求导并判断函数的单调性，求出函数的最小值即可得出结论.-75-例题：设f（x）=cosx+1（）求证：当x0时，f（x）0；（）若不等式eaxsinxcosx+2对任意的x0恒成立，求实数a的取值范围答案考点：函数恒成立问题专题：综合题；导数的综合应用解析：（）求导数，证明f（x）=xsinx为增函数，进而可得f（x）在x0时为增函数，即可证明当x0时，f（x）0；（）解法一：证明以，设，证明G（x）为增函数，所以G（x）G（0）=0，所以exsinxcosx+2对任意的x0恒成立，再分类议论，利用不等式eaxsinxcosx+2对任意的x0恒

51、成立，即可求实数a的取值范围；解法二：因为eaxsinxcosx+2等价于axln（sinxcosx+2），设g（x）=axln（sinxcosx+2），分类议论，即可求实数a的取值范围解答：（）证明：（x0），则f（x）=xsinx，设（x）=xsinx，则（x）=1cosx，（2分）x0时，（x）=1cosx0，即f（x）=xsinx为增函数，所以f（x）f（0）=0，即f（x）在x0时为增函数，所以f（x）f（0）=0（4分）（）解法一：由（）知x0时，sinxx，所以，（6分）设，则G（x）=exx1，设g（x）=exx1，则g（x）=ex1，当x0时g（x）=ex10，所以g（x）=

52、exx1为增函数，所以g（x）g（0）=0，所以G（x）为增函数，所以G（x）G（0）=0，所以exsinxcosx+2对任意的x0恒成立（8分）又x0，a1时，eaxex，所以a1时eaxsinxcosx+2对任意的x0恒成立（9分）a1时，设h（x）=eaxsinx+cosx2，则h（x）=aeaxcosxsinx，h（0）=a10，所以存在实数x00，使得任意x（0，x0），均有h（x）0，所以h（x）在（0，x0）为减函数，所以在x（0，x0）时h（x）h（0）=0，所以a1时不符合题意-76-综上，实数a的取值范围为1，+）（12分）（）解法二：因为eaxsinxcosx+2等价于a

53、xln（sinxcosx+2）（6分）g（x）=axln（sinxcosx+2），则可求，（8分）所以当a1时，g（x）0恒成立，g（x）在0，+）是增函数，所以g（x）g（0）=0，即axln（sinxcosx+2），即eaxsinxcosx+2所以a1时，eaxsinxcosx+2对任意x0恒成立（9分）当a1时，一定存在x00，知足在（0，x0）时，g（x）0，所以g（x）在（0，x0）是减函数，此时一定有g（x）g（0）=0，即axln（sinxcosx+2），即eaxsinxcosx+2，不符合题意，故a1不能知足题意，综上所述，a1时，eaxsinxcosx+2对任意x0恒成立（1

54、2分）点评：此题考察函数恒成立问题，考察导数知识的运用，考察分类议论的数学思想，考察学生解析解决问题的能力，难度大题型16：极值、最值问题12分）已知函数，且。（1）求；（2）证明：存在唯一的极大值点，且。答案详解（1）方法1：的定义域为。设，则,等价于。因为，故，而，得。若，则。当时，单调递减；当时，单调递增。所以是的极小值点，故。综上，。方法2：因为函数表达式为，所以，所以等价于。-77-令，则，对进行议论：若，显然在时，不符合条件；若，在恒成立，也即在定义域内单调减少，又因为，所以当时，不符合题意；若，由题意可知在单调减少，在单调递增，若，则在区间上单调递增，不符合题意；若，则在区间上单

55、调递减，不符合题意，故；（2）代入可得；，可知在上单调递减，在上单调递增，而，所以在有唯一解记为，在有解。所以及的情况如下，所以存在唯一的极大值点，且，。所以，因为，所以。又由可得，所以，记（），则，当，所以。综上所述存在唯一的极大值点，且。解析:此题主要考察导数在研究函数中的应用。（1）由解析式可知，所以等价于，分情况议论即可。（2）根据（1）获得，判断的解的情况，且知足，化简的表达式，利用的范围及函数单调性求证。-78-题型17：导数中的距离问题1、当点M是曲线的切线中与直线y=x+2平行的直线的切点时,MN取得最小.求出函数的导数,令它为1,求得x=1,即可获得切点坐标,再由点到直线的距

56、离公式计算即可获得最小值.此题考察导数的几何意义:函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率,同时考察两直线平行的条件,运用点到直线的距离公式是解题的重点.1、已知点在曲线上，点在直线上，则的最小值.答案.解析要求的最小值，即求直线上的点到曲线的距离的最小值.令，则，解得或（舍），而，-79-所以点到直线的距离为直线上的点到曲线的最小值，所以的最小值为.考点：1、导数在研究函数中的应用；2、点到直线的距离公式2、设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为_答案解析解析试题：考虑到两曲线关于直线y=x对称，求丨PQ丨的最小值可转变为求P到直线y=x的最小距离，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为

57、1的切线方程，进而得此距离解：函数与函数互为反函数，图象关于对称.函数上的点到直线的距离为.设函数.由图象关于对称得：最小值为.考点：反函数点评：此题主要考察了互为反函数的函数图象的对称性，以及导数的几何意义，曲线的切线方程的求法，同时考察了化归的思想方法，属于中档题3、设点P在曲线y=ex上,点Q在曲线y=ln2x上,则|PQ|的最小值为.答案(1-ln2)解析-80-函数y=ex和函数y=ln2x互为反函数,它们的图像关于直线y=x对称,则只有直线PQ与直线y=x垂直时|PQ|才能取得最小值.设P(x,ex),则点P到直线y=x的距离为d=,令g(x)=ex-x(x0),则g(x)=ex-

58、1.g(x)=ex-10,得xln2;g(x)=ex-10,得0 x0,所以dmin=.则|PQ|=2dmin=(1-ln2).4、设点P在曲线设点P在曲线上,点Q在曲线上,则PQ的最小值为答案由获得,其反函数就是可见,P、Q两点所在的曲线关于直线对称设那么,P到直线,即的距离令-81-,当时有此时,PQ的最小值5、的点之间的距离的最小值.设与直线y=3x-2平行且与曲线f(x)相切的切点为P(x0,y0),求出切点P到直线y=3x-2的距离d,则的最小值为-82-6、7、设直线与函数，的图象分别交于，两点，则当达到最小时的值为。答案详解解析:此题主要考察对数函数的单调性和最值。设函数，求导数

59、得，当时，函数在上为单调减函数；当时，函数在上为单调增函数。所以当时，所设函数的最小值为，所求的值为。故此题正确答案为。-83-8、-84-9、已知直线分别与函数和交于，两点，则，之间的最短距离是（）。A:B:C:D:答案详解D正确率:35%,易错项:B解析:此题主要考察函数模型及其应用及导数的计算。要使直线分别与函数和有交点，需知足，且设是和的交点横坐标，是和的交点横坐标，所以有，所以，两点的距离为，令，所以（），当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以。故此题正确答案为D。10、已知直线ya与函数及函数的图象分别相交于A,B两点，则.答案详解【答案】【解析】-85-解析试题：直线ya与函

60、数的交点坐标为A，直线ya与函数的交点坐标为B，由两点间的距离公式，得；也许考点：指数式和对数式的互化为此题主要考察点。点评：解此题的重点是求出A、B两点的坐标。考察学生的计算能力，属于基础题11、【河北衡水中学2017届高三上学期五调，12】已知直线分别与函数和交于两点，则之间的最短距离是（）ABC.D答案D【解析】由得，由得，所以，当时，当时，即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，应选D.12、-86-、题目：已知直线y=b与函数f(x)=2x+3和g(x)=ax+lnx分别交于A，B两点，若|AB|的最小值为2，则a+b=_.考点：函数的最值及其几何意义解析：设A（x1，b），