概率论第710章课后习题

1、概率论第7-10章课后习题答案概率论第7-10章课后习题答案26/26概率论第7-10章课后习题答案习题七1.设总体X听从二项散布b（n，p），n已知，X1，X2，Xn为来自X的样本，求参数p的矩法估计.【解】E(X)np,E(X)AX,因此np=X1所以p的矩估计量?Xpn2.设总体X的密度函数22(x),0 x,f（x,）=0,其他.12n为其样本，试求参数的矩法估计.X，X，X【解】E(X)2x(x)dx2x2x3,2200233令E(X)=A1=X,因此=X33X.所以的矩估计量为3.设总体X的密度函数为f（x，），X1，X2，Xn为其样本，求的极大似然估计.（1）f（x，）=ex,x

2、0,0,x0.（2）f（x，）=x1,0 x1,0,其他.nnnxi【解】（1）似然函数Lf(xi,)nexineei1i1i1nglnLnlni1xi由dgdlnLnnxi0知ddi1nnxii11所以的极大似然估计量为?1.Xn(2)似然函数Lngxi1,0 xi1,i=1,2,n.i1nlnLnln(1)lni1xi由dlnLnnlnxi0知di1?nnnnlnxilnxii1i1所以的极大似然估计量为?nni1lnxi4.从一批炒股票的股民一年利润率的数据中随机抽取10人的利润率数据，结果如下：序234567891号0收-0-益率.010.110.120.090.130.3.10.09

3、0.10.11求这批股民的利润率的平均利润率及标准差的矩估计值.【解】x0.094s0.101893n9?x0.094.EX2)D(X)E(X)2,E(X2)A2nxi22?2A2,由E(X知?E(X)i1n即有?A2?2110210(X)2E(X)10Xii1于是?9s0.90.101890.096610所以这批股民的平均利润率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966.随机变量X听从0，上的平均散布，今得X的样本察看值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，求的矩法估计和极大似然估计，它们是否为的无偏估计.【解】(1)()令E(X)X，则EX,22?

4、2X且E(?)2E(X)2E(X),所以的矩估计值为?2x20.61.2且?2X是一个无偏估计.881(2)似然函数Lf(xi,),i=1,2,8.i1显然L=L()(0)，那么maxxi时，L=L()最大,1i8所以的极大似然估计值?=0.9.因为E(?)=E(maxxi),所以?=maxxi不是的无偏计.1i81i86.设X1，X2，Xn是取自总体X的样本，E（X）=，D（X）=2，?2n1=k(Xi1Xi)2,问k为何值时?2为2的无偏估计.i1【解】令YiXi1Xi,i=1,2,n-1,则E(Yi)E(Xi1)E(Xi)0,D(Yi)22,n1于是E?2Ek(Yi2)k(n1)EY12

5、22(n1)k,i1那么当2222E(?)即2(n1)k时,有k1.2(n1)7.设X1，X2是从正态总体N（，2）中抽取的样本?12X11X2;?21X13X2;?31X11X2;334422试证?1,?2,?3都是的无偏估计量，并求出每一估计量的方差.【证明】（1）E(?1)E2X11X22E(X1)1E(X2)21,333333E(?2)1E(X1)3E(X2),44E(?3)1E(X1)1E(X2),22所以?1,?2,?3均是的无偏估计量.3224X22(2)D(?1)2D(X1)1D(X2)5,3399232521D(X2),D(?2)D(X1)844221D(X1)D(X2),D

6、(?3)228.某车间生产的螺钉，其直径XN（，2），由过去的经验知道2=0.06,今随机抽取6枚，测得其长度（单位mm）如下：14.715.014.814.915.115.2试求的置信概率为0.95的置信区间.2x14.95,uau0.251.96,2的置信度为0.95的置信区间为xu/2(14.950.11.96)(14.754,15.146)n.9.总体XN(,2)，2已知，问需抽取容量n多大的样本，才能使的置信概率为1-，且置信区间的长度不大于L？【解】由2已知可知的置信度为1-的置信区间为xu/2,n于是置信区间长度为2g,nu/22g42(u/2)2那么由/2L,得nuL2n10.

7、设某种砖头的抗压强度XN（，2），今随机抽取20块砖头，测得数据如下kgcm-2）：646949925597418488998466100987274878448811）求的置信概率为0.95的置信区间.2）求2的置信概率为0.95的置信区间.【解】x76.6,s18.14,10.950.05,n20,t/2(n1)t0.025(19)2.093,21)232.852,2(19)8.907/2(n0.025(19)0.975(1)的置信度为0.95的置信区间4xs76.618.14ta/2(n1)2.093(68.11,85.089)n20(2)2的置信度为0.95的置信区间(n1)s2(n1

8、)s2192192(190.33,702.01)2(n1),2(n1)32.85218.14,18.14/21/28.90711.设总体Xf(x)=(1)x,0 x1;其中10,其他.X,X,X是X的一个样本，求的矩估计量及极大似然估计量.12n【解】(1)E(X)xf(x)dx11)x1dx1,(02又XE(X)1,2故?2X11X所以的矩估计量?2X1.1X似然函数nn(nxi0 xiLLL()f(xi)1)1(i1,2,n)i1.i10其他取对数nlnLnln(1)lnxi(0 xi1;1in),i1dlnLnnlnxi0,d1i1所以的极大似然估计量为?1n.nlnXii16x3(x)

9、,0 x;12.设总体Xf(x)=0,其他.5X1,X2,Xn为总体X的一个样本1）求的矩估计量?；2）求D(?).2【解】(1)E(X)xf(x)dx06x3(x)dx,2令EXX2,所以的矩估计量?2X.(2)D(?)D(2X)4D(X)4DX,，n又E(X2)6x3(3x)dx6232,02010于是D(X)E(X2)(EX)23222,10420所以2D(?).5n13.设某种电子元件的使用寿命X的概率密度函数为f(x,)=2e2(x),x;0,x.其中(0)为未知参数，又设x1,x2,xn是总体X的一组样本察看值，求的极大似然估计值.【解】似然函数n2n2(xi)1,2,L,n;LL

10、()ei1xi0;i0其他.nlnLnln22(xi),xi;i1,2,L,n,i1由dlnL2n0知lnL(),d那么当?minxi时lnL(?)maxlnL()1in06所以的极大似然估计量?minxi1in设总体X的概率散布为X0123P22(1-)21-2其中(01,0，设X1,X2,Xn为来自总体X的样本1）当=1时，求的矩估计量；2）当=1时，求的极大似然估计量；3）当=2时，求的极大似然估计量.【解】7当=1时，f(x,)Fx1(x,1,)x1,x1;0,x1.22当=2时,f(x,)Fx1(x,2)x3,x;0,x.(1)E(X)1xdx1x111令E(X)X,于是?X,X1所

11、以的矩估计量?X.X1似然函数nn(1)nxi,xi1,(i1,2,L,n);LL()f(xi,)i1i10,其他.nlnLnln(1)lnxi,i1dlnLnnlnxi0,di1所以的极大似然估计量?n.nlnxii1似然函数2n2n,xi,(iLnn31,2,n);Lf(xi,)xii1i10,其他.显然LL(),那么当?minxi时,LL(?maxL(),)1ina0所以的极大似然估计量?minxi.1in16.从正态总体XN（3.4，62）中抽取容量为n的样本，如果其样本均值位于区间8（1.4，5.4）内的概率不小于0.95，问n最少应取多大？z1t2/2(z)edt2z1.281.6

12、451.962.33z0.90.950.9750.99XN62X3.4【解】3.4,则ZN(0,1),n6/nP1.4X1.43.45.43.45.4P6/Z6/nnPnnZ33nn2n10.95333于是n0.975则n1.96,33n35.设总体X的概率密度为0 x1,f(x，)=1,1x2,0,其他.其中是未知参数（01）,X1,X2,Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1,x2,xn中小于1的个数.求：1）的矩估计；2）的最大似然估计.解(1)由于EXxf(x;)dx12xdx(1-)xdx0113(1)3.222令3X，解得3X，22所以参数的矩估计为$3X.2似然函数为n

13、N(1)nN，L()f(xi;)i19取对数，得lnL()Nln(nN)ln(1),两边对求导，得dlnL()NnN.d1令dlnL()0,得Nd，n所以的最大似然估计为$N.n18.19.习题八1.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下听从正态散布N(4.55,0.1082).现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为4.284.404.424.354.37问若标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（=0.05）?【解】H0:04.55;H1:04.55.n5,0.05,Z/2Z0.0251.96,0.108x4.364,Zx0(4.3644.55)53.851,/n0.108Z0.025.所以拒

14、绝H0，认为总体平均值有显著性变化.某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为：3.243.263.243.273.25设含镍量听从正态散布，问在=0.01下可否接收假定：这批矿砂的含镍量为3.25.【解】设H0:03.25;H1:03.25.n5,0.01,t/2(n1)t0.005(4)4.6041x3.252,s0.013,tx0(3.2523.25)50.344,s/n0.013tt0.005(4).所以接受H0，认为这批矿砂的含镍量为3.25.3.在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为1.008（克），样本方差s2=0.1(g

15、2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似听从正态散布（取=0.05）.【解】设10H0:01.1;H1:01.1.n36,0.05,t/2(n1)t0.025(35)2.0301,n36,x1.008,s20.1,tx0(1.0081.1)1.7456,s/n0.16t1.7456t0.025(35)2.0301.所以接受H0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常.4.某企业声称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为21.5小时，标准差为2.9小时.在实验室测试了该企业生产的6只电池，获得它们的寿命（以小时计）为19，18，20，22，16，25，问这些结果是否表示这种电

16、池的平均寿命比该企业声称的平均寿命要短？设电池寿命近似地听从正态散布（取=0.05）.【解】H0:21.5;H1:21.5.021.5,n6,0.05,z0.051.65,2.9,x20,zx0(2021.5)1.267,/n62.9zz0.051.65.所以接受H0，认为电池的寿命不比该企业声称的短.5.测量某种溶液中的水分，从它的10个测定值得出x=0.452(%),s=0.037(%).设测定值总体为正态，为总体均值，为总体标准差，试在水平=0.05下查验.1）H0：=0.5(%)；H1：0.5(%).（2）H0:=0.04(%)；H1:0.04(%).【解】(1)00.5;n10,0.

17、05,t(n1)t0.05(9)1.8331,x0.452,s0.037,tx0(0.4520.5)104.10241,s/n0.037tt0.05(9)1.8331.所以拒绝H0，接受H1.(2)2(0.04)2,n10,0.05,223.325,010.95(9)x0.452,s0.037,2(n1)s290.03727.7006,20.0420202.95(9).所以接受H0，拒绝H1.6.某种导线的电阻听从正态散布N（，0.0052）.今重新生产的一批导线中抽取911根，测其电阻，得s=0.008欧.对于=0.05，可否定为这批导线电阻的标准差仍为0.005?【解】H0:00.005;

18、H1:00.005.n9,0.05,s0.008,2/2(8)2(8)17.535,2/2(8)2(8)2.088,0.02510.9752(n1)s280.008220.48,22(8).220.0250(0.005)故应拒绝H0，不能认为这批导线的电阻标准差仍为0.005.7.有两批棉纱，为比较其断裂强度，从中各取一个样本，测试获得：第一批棉纱样本：n11；=200，x=0.532kg,s=0.218kg第二批棉纱样本：n2=200，y=0.57kg,s2=0.176kg.设两强度总体听从正态散布，方差未知但相等，两批强度均值有无显著差别？(=0.05)【解】H0:12;H1:12.n1n

19、2200,0.05,t/2(n1n22)t0.025(398)z0.0251.96,sw(n11)s12(n21)s22199(0.21820.1762)n1n223980.1981,txy(0.5320.57)1.918;1111swn1n20.1981200200tt0.025(398).所以接受H0，认为两批强度均值无显著差别.8.两位化验员A，B对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一方法做了5次解析，得到样本方差分别为0.4322(%2)与0.5006(%2).若A，B所得的测定值的总体都是正态散布，其方差分别为A2，B2，试在水平=0.05下查验方差齐性的假定22:22H0:AB;H1A

20、B.【解】n1n25,0.05,s120.4322,s220.5006,F/2(n11,n21)F0.025(4,4)9.6,F0.975(4,4)110.1042,F0.025(4.4)9.6Fs120.43220.8634.s220.5006那么F0.975(4,4)FF0.025(4,4).12所以接受H0，拒绝H1.9.10.11.12.习题九灯泡厂用4种不同的材料制成灯丝，查验灯线材料这一因素对灯泡寿命的影响.若灯泡寿命听从正态散布，不同材料的灯丝制成的灯泡寿命的方差相同，试根据表中试验结果记录，在显著性水平0.05下查验灯泡寿命是否因灯丝材料不同而有显著差别？试验批号1234568

21、7灯A1111111丝1600610650680700720800材A111111料258064064070075018201水A11116601740平34605506006206401A111168014510520530570600【解】rr4,nni26;i1442STxij2T.=69895900-69700188.46=195711.54,i1j1nSA41Ti.2T.2=69744549.2-69700188.46=44360.7,i1nniSESTSA=151350.8,FSA/(r1)44360.7/32.15SE/(nr)151350.8/22,F0.05(3,22)3.0

22、5F.故灯丝材料对灯泡寿命无显著影响.表9-1-1方差解析表方差来平方和均方和F值自由度源SS因素影44360.14786.响32.157913误差1513506879.5.8229总和19571125.54一个年级有三个小班，他们进行了一次数学考试，现从各个班级随机地抽取了一些学生，记录其成绩如下：73668877684189607831795982454878566843939162915380365176717973778596711574808756试在显著性水平0.05下查验各班级的平均分数有无显著差别.设各个总体听从正态散布，且方差相等.【解】rr3,nni40,i13nix22S

23、T.=199462-185776.9=13685.1,Ti1j1ijn312T.2SAniTi.=186112.25-185776.9=335.35,i1nSESTSA=13349.65,FSA/(r1)167.7SE/(n0.465r)360.8F0.05(2,37)3.23F.故各班平均分数无显著差别.表9-2-1方差解析表方差来平方和均方和自由度F值源SS因素影335.352167.680.465响误差13349.37360.8065总和1368539143.下面记录了3位操作工分别在不同机器上操作3天的日产量.操作机工甲乙丙器A1151519161618211719A171715151

24、9222215217A3151717161818181618A1820161717171715422取显著性水平=0.05,试解析操作工之间，机器之间以及两者交互作用有无显著差异？【解】由已知r=4,s=3,t=3.T.,Tij,Ti.,T.j.的计算如表9-3-1.表9-3-1T操ij作甲乙丙Ti.工机器A1455156547A2563159451A3454153518A4651159480T.j.22236271980615rstSTi1j1k1SA1rTi.2sti1SB1sT.2j.rtj12xijk2T.1106510920.25144.75,rst2TT2.10947.421092

25、0.2527.17,SAB1rsTij2.T.2SASB73.50,ti1j1rstSESTSASBSAB41.33.表9-3-2得方差解析表方差来平方和均方和自由度F值S源S因素A2.7530.92FA=05（机器）3因素B27.17213.58FB=7.（操作工）89交互作73.50612.25FAB=用AB7.12误差4.33241.72总和1094.75F0.05(3,24)3.01,F0.05(2,24)3.40,F0.05(6,24)2.51.接受假定H01，拒绝假定H02,H03.即机器之间无显著差别，操作之间以及两者的交互作用有显著差别.4.为认识3种不同配比的饲料对仔猪生长影

26、响的差别，对3种不同品种的猪各选3头进行试验，分别测得其3个月间体重增加量如下表所示，取显著性水平=0.05，试解析不同饲料与不同品种对猪的生长有无显著影响？假定其体重增长量听从正态散布，且各样配比的方差相等.体重增长量因素B（品种）B1B2B3因素AA1515645（饲A2535749料）A3525847【解】由已知r=s=3,经计算x=52,x1.=50.66,x2.=5316x3.=52.34,x.1=52,x.2=57,x.3=47,rsx)2ST(xij162;i1j1rx)2SAs(xi.8.73,i1rx)2SBr(x.j150,j1SESTSASB3.27.表9-4-1得方差解

27、析表方差来平方和均方和F值源S自由度S饮料作8.6824.345.23用品种作15027590.36用试验误3.3240.83差总和162由于F0.05(2,4)6.94FA,F0.05(2,4)FB.因而接受假定H01,拒绝假定H02.即不同饲料对猪体重增长无显著影响,猪的品种对猪体重增长有显著影响.5.研究氯乙醇胶在各样硫化系统下的性能（油体膨胀绝对值越小越好）需要考察补强剂（A）、防老剂（B）、硫化系统（C）3个因素（各取3个水平），根据专业理论经验，交互作用全忽略，根据采用L9(34)表作9次试验及试验结果见下表：表试验头设计列1234结果号试验号111117.25212225.483

28、13335.35421235.40522314.42623125.90731324.68832135.90933215.6317试作最优生产条件的直观解析，并对3因素排出主次关系.给定=0.05,作方差解析与(1)比较.【解】(1)对试验结果进行极差计算，得表9-5-1.表9-5-1T1j18.17.19.17.33053008T2j15.15.16.16.T=5728051060.01T3j16.16.14.16.88456521Rj2.31.54.41.23646由于要求油体膨胀越小越好，所以从表9-5-1的极差Rj的大小次序排出因素的主次次序为：主次B,A,C最优工艺条件为：A2B2C3

29、.(2)利用表9-5-11r2T2的结果及公式SjTij,得表9-5-2.ri1P表9-5-2ABC4123Sj1.00.43.50.2ST5.24112395634表9-5-2中第4列为空列，因此SeS40.256,其中fe2，所以Se=0.128方差fe解析表如表9-5-3.表9-5-3方sj/fjFsjse显fj/fesjfj差根源著性1.00.54.03A2934170.40.21.60B2912063.51.713.8C22839690.20.1e2562818由于F0.05(2,2)19.00，故因素C作用较显著，A次之，B较次，但由于要求油体膨胀越小越好，所以主次序次为：BAC，

30、这与前面极差解析的结果是一致的.某农科站进行早稻品种试验（产量越高越好），需考察品种（A），施氮肥量（B），氮、磷、钾肥比率（C），插植规格（D）4个因素，根据专业理论和经验，交互作用全忽略，早稻试验方案及结果解析见下表：ABCD试因验指标品施氮、磷、插素试验号产种氮肥量钾肥比率植规格量19.012（科6号）11(221(0.011(20)1)56)222(22(322(1.93科5号)(25)3)66)2421122.351(22126科7号)1211.071212282(1221.0珍珠矮)211128.018.2(1)试作出最优生产条件的直观解析，并对4因素排出主次关系.(2)给定=0.

31、05,作方差解析，与(1)比较.【解】被考察因素有4个：A，B，C，D每个因素有两个水平，所以采用正交表L8（27），进行极差计算可得表9-6-1.表9-6-1列号水平1A3BCD7试试验2456验结果号1111111119.02111222220.03122112221.94122221122.3521212122191.06212212211.07221122118.08221211128.2T88778881j1.05.29.90.10.50.3T3.2T2j7888888=161.40.46.21.51.30.91.18.2R5011100j.61.0.6.2.4.8.0主次从表9-6

32、-1的极差Rj的大小次序排出因素的主次为：B,C,A,D最优方案为：A1B2C2D2(2)利用表9-6-1的结果及公式sj1nTij2T2得表9-6-2.ri1P表9-6-2ABCD12345673010000ST18.895.125.0455.125.320.180.020.080表9-6-2中第1,3,7列为空列，因此se137ese=6.110.而在上表=s+s+s=18.330,f=3,所以fe中其他列中sjse.故将所有次均并入误差，可得fjfesesT18.895,fe7.整理得方差解析表为表9-6-3.表9-6-3方sjFsjse显sjfj/fe差根源fjfj著性A0.010.0

33、0.0145457B0.310.30.112020920C0.110.10.0680807D0.010.00.0020207e18.36.113300e18.72.689599主次由于F0.05(1.7)5.59，故4因素的影响均不显著，但依次序为：B,C,A,D与（1）中极差解析结果一致.习题十1.在硝酸钠(NaNO3)的溶解度试验中，测得在不同温度x()下，溶解于100份水中的硝酸钠份数y的数据如下，试求y对于x的线性回归方程.0410152129365168i66.771.076.380.685.792.999.4113.6125.1i【解】经计算得，9999xi234,yi811.3,

34、xi210144,xiyi24628.6,i1i1i1i1Sxx101441(234)24060,9Sxy24628.61234811.33534.8.9Sxy811.323467.5078,故bSxx0.8706,a9b9进而回归方程：y67.50780.8706x.2.测量了9对父子的身高，所得数据如下（单位：英寸）.父606264666768707274亲身高xi儿63.665.26666.967.167.468.370.1子身高yi70求（1）儿子身高y对于父亲身高x的回归方程.（2）取=0.05，查验儿子的身高y与父亲身高x之间的线性有关关系是否显著.（3）若父亲身高70英寸，求其儿

35、子的身高的置信度为95%的预测区间.【解】经计算得，2199999xi603,yi604.6,xi240569,xiyi40584.9,yi240651.68i1i1i1i1i1S405691(603)2168,xx9Sxy40584.91603604.676.7,9Syy40651.681(604.6)235.9956.9?Sxy?9?9(1)bxi/9bxi/936.5891,Sxx0.4565,ai1i1故回归方程：?36.58910.4565x.y(2)Q回Sxy235.0172,Q剩Q总Q回35.995635.01720.9784,SxxFQ回250.5439F0.05(1,7)5.

36、59.Q剩/n2故拒绝H0，即两变量的线性有关关系是显著的.?36.58910.45657068.5474,(3)y0给定0.05,t0.025(7)Q剩0.97840.3739,2.3646,?27n21(x0 x)2170603191.0792,nSxx11689故?1(x0 x)2t/2(n2)12.36460.37391.0790.9540.nSxx2进而其儿子的身高的置信度为95%的预测区间为(68.54740.9540)=(67.5934,69.5014).3.随机抽取了10个家庭，检查了他们的家庭月收入x（单位：百元）和月支出y(单位：百元)，记录于下表：201520251620

37、1819221618141720141917182013求：(1)在直角坐标系下作x与y的散点图，判断y与x是否存在线性关系.(2)求y与x的一元线性回归方程.对所得的回归方程作显著性查验.（=0.025）【解】(1)散点图如右，从图看出，y与x之间拥有线性有关关系.经计算可得221010101010 xi191,yi170,xi23731,xiyi3310,yi22948,i1i1i1i1i1Sxx82.9,Sxy63,Syy58.故?Sxy170191b0.7600,?0.762.4849,Sxxa1010进而回归方程：?2.48490.76x.y题3图Sxy247.8770,Q剩Q总Q回

38、5847.87710.1230,(3)Q回SxxQ回37.8360F0.05(1,8)7.57.FQ剩/n2故拒绝H0,即两变量的线性有关关系是显著的.4.设y为树干的体积，x1为离地面一定高度的树干直径，x2为树干高度，一共测量了31棵树，数据列于下表，作出y对x1,x2的二元线性回归方程，以便能用简单分法从x1和x2估计一棵树的体积，进而估计一片森林的木材储量.x1(直径)x2(高)x1(直径)x2(高)y(体积)y(体积)8.37012.98510.333.88.66513.38610.327.48.86313.77110.225.710.57213.86410.424.910.7811

39、4.07816.834.510.88314.28018.831.711.06615.57419.736.311.07516.07215.638.311.18016.3772318.242.611.27517.38122.655.411.37917.58219.955.711.47617.98024.258.311.47618.08021.051.511.76918.08021.451.012.07520.68721.377.012.97419.1【解】根据表中数据，得正规方程组31b0411.7b12356b2923.9,411.7b05766.55b131598.7b213798.85,2356b031598.7b11802