大物20章方程20.1定态

1、20.1定态方程一、波函数及满足的条件1.波函数的形式已知频率为v、波长为、沿x轴方向的平面波可用下式表示 cos(t x) cos 2 (t x )00u其复数形式（只取其实部）波函数(德波)i (Et Px)(x, t) 0e 将 E=h, P=h/代入i2 (t x ) 0e 2 *概率密度:某时刻某点（x,y,z)可测量处体积内粒子出现的概率r2dW (r )d x d y d zr在 r 附近，dVdx dy dz区域内发现粒子的概率。W ( x, y, z, ) 2 d x d y d z量子力学，只能判断在一定空间范围发现粒子的概率，不能确定一个粒子一定在什么地方；只能作某种可能

2、性的判断，不能做绝对确定性的断言。例如：中子的平均半衰期616秒,即N个中子在616秒内有50%衰变成质子、电子和中微子。在衰变之前，我们不能断定哪几个中子会衰变，只能说，每个中子在616秒内都有50%的衰变机会。2.波函数的条件(1) （r） 必须是时空的单值函数。确定的时间，地点，粒子出现的概率是确定的。(2) （r）必须是有限的。因为概率W（x，y，z）1。标准条件两个区域的边界处波函数 1=2(3)连续。粒子出现在边界处确定点的概率是定值。归一化条件(4)粒子在全空间出现的概率=1 2dx dydz 1本征函数本征态3.态叠加原理如果 1、 2 、3 n 是粒子或系统的波函数（状态），

3、 =C11+C22+C33+ Cn n 也是粒子或系则统的波函数（状态）。叠加态（测量前状态表示各状态在叠加态中的概率222c1 , c2, c3 .二、方程（量子力学基本方程）能量为E动量为P沿x1、一维粒子方向运动的粒子i (EtPx) 0EPx 2)0 P 2i 2 E 方程；(2)(1)x2t一维粒子的令（1）和（2）中的相等并利用粒子的非相对论关系E=p2/2m： 2 2 2 2it2、一维势场U（x，t）中的运动粒子一维粒子的方程 i (EtPx)x)0一维势场 i P t 22 i U ( x , t ) E 2 m2 P x22方程(含时)一维势场中运动粒子的 2 2t 2 2

4、 2 2it三、定态方程一维： 22 UE2m x2U仅是空间函数与时间无关一维定态方程 22 UE2m x2 i (x)e Et 2d2 2m d x2UEi Et (x)e 2) 2 * (粒子概率密度粒子的概率密度不随时间变化量子力学处理问题的方法1、分析、找到粒子在势场中的势能函数U，写出方程。2、求解 ，并根据初始条件、边界条件和波函数满足的条件确定常数。3、由 2得出粒子在不同时刻、不同域出现的概率或具有不同动量、不同能量的概率。区20.3一维定态问题一、一维无限深势阱无势限阱深势阱U=0（0 xa ）U = U0（其他x）a，x0U 0U2U=0势能1U=3U=步骤xa01、U无

5、关，写出定态定谔方程求解（x ）与t2 2 EUx22m2 2U=0（0 xa2mx02、解方程在阱外，定态方程为粒子能量E有限 1= 03 = 0其解为在阱内，定态方程为（0 xa） 22 E2mx2 22 E2mx2 = 0定态波函数2 sin n x(x) naa上述的归纳1、在势阱外，由于U(x)=,将导致方程趋于无穷而无意义，故在阱外，波函数必为零。2、在阱内，由于U(x)=0，方程在形式上为简谐振子的振动方程，其解为正弦函数。3、由边界条件确定正弦函数中的常数，得到相应的量子化条件4、由归一化条件确定系数，得到归一化的定态波函数。5、写出粒子的完整波函数（注意到定态波函数仅是粒子完

6、整波函数的一部分）。2mE k 22二.一维无限深势阱中粒子运动的特征1、能量是量子化的n2 2h2n2h2n = 1.2.3量子数2mEEn k 2222ma8ma22、粒子的最小能量不为零n=0,则（x,t）=0，即阱内不存在该状态3、一维无限深势阱中粒子的能级和概率密度n2 2h2n2h2En 8ma2E2ma2n概率密度不是均匀的，其峰值个数与量子数n相等 9EEn = 331n=1时，粒子在x=a/2处出现的概率最大,n=2时在a/4和3a/4处出2现的概率最大. 4E1E2n = 22h2经典理论:粒子在阱中不受力，2ma2E1n = 1作直线运动，粒子在各处出现的概率相同，能量可

7、取任意值ax0 n2 sin 3 x3aa2 sin 2 x2aa2 sin xx1aaa05、粒子的动量和波长也是量子化的例题1：在宽为a的一维无限深势阱中运动的粒子，定态波函数为2 sin nx (x) （0 xa)aa求（1）处于第一激发态的粒子在x=5a/6处出现的概率密度；（2）当n=4时，写出粒子在a/4到3a/4区域内出现的概率表示式w (x) 2 2 sin 2(25a) 3解：（1） 第一激发态n=2aa62a2 sin 4 x (x) （2）n=4aa423a / 4a /4 3a / 4dx 2sin (aax)dx2 (x)a/4到3a/4内w=a /4 例题2.无限深

8、势阱中粒子的一个量子态是基态和第一激发态的叠加态，且粒子处于基态的概率是1/4，第一激发态的概率是3/4，求这一叠加态的概率分布解：粒子在基态和第一激发态的波函数是2 sin x eiE1t / 2 sin 2x eiE2t / (x,t) (x,t) 12aaaa本征态 1 3 叠加态的波函数测量前状态1222叠加态的概率分布为例题3：设想一电子在无限深势阱中运动，若势阱的宽度分别为1.010-2m和1.010-10m。情况下相邻能级的能量差两种解：根据势阱中的能量公式h2E En1 En (2n 1)8ma2E=3.7710-15n2eVE=(2n+1)3.7710-15eV能量差很小，电

9、子能量可看为连续的a=1cm时E=37.7n2eVE=(2n+1)37.7eVa=10-10m时能量差很大，电子能量是量子化的量子现象显著地表现在空间范围很小的微观现象中n2 22h22En 2ma2 8ma2 n例题4：一维无限深势阱中粒子的波函数，在边界处为零，这种定态波相当于两端固定的弦中的驻波，而势阱宽度a必须等于德半波长的整数倍。试利用该条件导出能量量子化公式。a n2解：根据驻波条件有h 德波长PP2n2h2n2mEn粒子能量8ma2因例题5：求一维无限深势阱中粒子处于n=2状态时概率密度最大值的位置一维无限深势阱中粒子的概率密度解12 x * 2 sin22aa2 x (2N 1) sin 2 x 1a概率密度最大处有：a2N=0,1因为在阱内x的取值须小于a概率密度最大值的数目与量子数n相等N=0N=1x=a/4；3a/42 x解2： 2 sin2a2 *ad 242 0sindxaaax kaaa4 x kk=0,1,2,3,4.4ax=0 x=a/4x=a/2x=3a/4 x=a2d 28 24k=0 k=1k=2k=3 k=4cosxdx2a3a在x=0,x=a/2,x=a处二阶导数不小于0，故为极小值在x=a/4和x=3a/4处二