台州学院高等代数小测验

1、小测验九(11 0其度量矩阵为A二12 00 3 /则向量则I在此内积之下的度量矩阵一、填空题1、已知三维欧式空间V中有一组基%,以2，以3,。=2% + 32 _3的长度为， 八 一 (22、设R21中的内积为(a,p) =aA。,A =1为。3、 在n维欧几里德空间中，一组标准正交基的度量矩阵为。4、在欧氏空间R4中，已知以二(2,1,3,2), p= (1,2,2,1)，则I a |=，a与p的夹角为(内积按通常的定义)。5、设Rn为欧氏空间，则有柯西-施瓦茨不等式： 设A是实对称矩阵，若Aa=3a, Ap=5p,则(a, p)=。二、已知二次型f (X , X , X ) = t (X

2、 2 + x 2 + x 2) + 2 xx + 2 xx 2 x x1231231 21 32 3t为何值时二次型f是正定的？取t = 1，用正交线性替换化二次型f为标准形三、设,a2,a3是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为(1 1 2 1 2 1令Y =a1 +a2，证明y是一个单位向量；若p =a1 +a2 +左气与y正交，求k四、设匕=x e Rn : x1 + x2 + + xn = 0 V2 = x e Rn : x1 = x2 =Xn，证明 * 和 V2都是Rn的子空间，且互为正交补。五、证明题已知b是对称变换，证明：b的不变子空间w的正交补W上也是a的不变子空间.实对

3、称矩阵的特征值为实数。正交矩阵的模为1。实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数。实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交。小测验九答案一、填空题1、已知三维欧式空间V中有一组基%,。2，。3,-1其度量矩阵为A = -1-1 0、2 0 ，则向量0 3 /P = 2% + 3a2 侦3 的长度为(2,3,-1)A(2,3,-1)Ti/2=51/2， 八 一 (22、设 R2中 的内积为(a, P) =aA。, A =1在此内积之下的度量矩阵为3、 在n维欧几里德空间中，一组标准正交基的度量矩阵为E。4、 在欧氏空间R4中，已知以=(2,1,3,2), P = (1,2,-2,1)，则I a |=

4、 32，a与p的夹角为90o (内积按通常的定义)。| I5、设Rn为欧氏空间，则有柯西-施瓦茨不等式：公气=勺腥：声b；。设A是实对称矩阵，若Aa=3a, Ap=5p,贝0(a,。)= 0 .二、已知二次型f (X , X , X ) = t (X 2 + x 2 + x 2) + 2 xx + 2 xx 2 x x1231231 21 32 3t为何值时二次型f是正定的？取t = 1，用正交线性替换化二次型f为标准形.解：(1)当t1时，该二次型正定。(2)当t=1时，求得特征值为2，2，-1。当特征值为2时，相应的特征向量为：(1,1,0), (1,0,1).正交化后为(1,1,0),

5、(1,-1,2)当特征值为-1时，相应的特征向量为：(-1,1,1)正交线性替换为x=Ty,其中T =二.V2SXV2 _!_& T_62_V6 _1_V21_V2。 1 I,原二次型变为2y2+2y2-y2.三、设七 % a3是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为(1 -1 2 -1 2 -12 -1 6 ,(1)令Y =a +a，证明Y是一个单位向量；(2)若0=%+。2 +楸3与y正交，求k解：(1) (y, y)=1,所以丫是单位向量.(2) k= -1.四、设匕=x G Rn : x1 + x2 + + xn = 0 V2 = x G Rn : x1 = x2 =xn，证明 V

6、和 V2 都是Rn的子空间，且互为正交补。证明：作为线性方程组的解空间，显然它们都是Rn的子空间.对任意的a = (x ,x ,.,x ) gV，P = (y ,y ,.,y ) gV ，贝ij，12 n 112 n 2(a,p) = yi( xi + x 2 + + xn) = 0。五、证明题已知b是对称变换，证明：b的不变子空间W的正交补W上也是a的不变子空间.证明：正交矩阵的模为1。3 .实对称矩阵的特征值为实数。实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数。实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交。证明：要证明a (W上)C W1。VaeW,P gW1，因为W是不变子空间，所b(a)gW,有(

7、a(a),p) = 0.又因为a是对称变换，所(a,a(p) = (a(a),p) = 0,得a(p)gW1.证明：设A是正交矩阵，人是A的任一个特征值，a壬0为相应的特征向量。考虑到Aa = Xa及A = A，得(Aa)T (Aa) = XaT人a =元人aTa =aTATAa =aTa。(XX - 1)a T a = 0,由 aT a 正 0,得 IX 1=1。证明：设A是实对称矩阵，X是A的任一个特征值，a壬0为相应的特征向量。考虑到Aa = Xa及At = A，得(a)T(Aa) = aTXa =XaTa = (aTAT)a = (Aa)ta = XaTa，(X-X) = 0所以X是实数.证明：设A是实反对称矩阵，X是A的任一个特征值，a莉为相应的特征向量。考虑到Aa = Xa及At = 一A，得(a)T (Aa) = aTXa = XaTa = -(aT AT)a = -(Aa)ta = - XaTa，(X + X) = 0