2011年广义相对论第一章

1、1第一章 仿射空间中的张量分析相对论研究对象：时空问：什么是时间？什么是空间？时空能看得见、摸得着吗？物理语言：能测量吗？狭义相对论定义的时空：(基于麦氏方程)洛伦兹变换两个观测者感知的时间不同、空间不同观测者A的时空:观测者B的时空:2基本数学概念: 一个坐标系对应了一个仿射空间(Affine Space) 绝对的“时空”相对的等价描述数学：集合仿射空间最简单的物理现象 粒子在时空中的“运动轨迹”： 3物理量：四维速度（矢量）标量矢量张量(矢量的推广)物理量都一般与坐标选择有关。张量：研究物理量（数组）在坐标变换之间的关系.41.1 n维仿射空间中的张量仿射空间 affine space这里

2、仅理解为时空 维空间中的点用 个数组来描述，这组数叫点的坐标空间集合同一空间中坐标的选取方式是多样的同一时空点5向量空间vector space线性空间在时空的每一点都可定义一线性空间例如：电场矢量时空点坐标微分也可看作矢量（具有方向性）张量的定义就是矢量同一矢量在不同坐标系下的表示?Vector: a directedline segment6两组坐标 与 ( 取1至n) 的联系叫坐标变换.（代表数组 ）坐标微分的变换公式：坐标微分的变换实际上反映该点邻近点的坐标变换变换是线性的，但变换矩阵随不同点而不同逆变换:条件:不同矢量的关系7方向矢量可看作基矢对四维时空中的一点定义四个基矢矢量空间任

3、意一个四维矢量均可展开为矢量的分量对比三维欧氏空间直角坐标系球坐标系物理量或矢量的表示8方向矢量可看作协变基矢方向矢量可看作逆变基矢协变矢量的分量逆变矢量的分量不同坐标系下基矢的变换规律二维欧氏空间9张量的定义:张量定义在线性空间，只需定义基矢一阶逆变张量基矢一阶协变张量基矢在集合（空间）中的每一点定义一线性空间（约定逆变张量有物理测量意义，为通常意义下矢量的推广：如10零阶张量（标量）（a）有 个分量在坐标 下它的值记为（b）当坐标从 变为 , 相应地变为 且其中 和 是同一点的两组不同的坐标标量的值在坐标变换下保持不变一阶逆变张量逆变矢量（a）有个分量在坐标下它的值记为（b）当坐标从变为，

4、相应的变为 且11二阶逆变张量(a）有 个分量在坐标下它的值记为（b）当坐标从 变为 , 相应的变为一阶协变张量：二阶协变张量：符号上的区分：上标为逆变张量的指标下标为协变张量的指标.如12混合张量：二阶混合张量变换规则为(p,q)阶张量：一个张量有p个逆变指标，q个协变指标,逆变张量 ,协变张量张量定义的要点:一个数组是否构成张量在于它们在坐标变换下的行为13Kroneker符号：证明该符号是一个(1,1)混合张量?由混合张量的变换式定义变换后的张量的运算: 由于决定张量变换行为的矩阵是随不同点而不同的，所以必须在同一点上的两个张量间进行运算，才能使运算后的量保持张量的性质14张量的加减法定

5、义 （同阶张量）张量的乘法叫外乘作业：直接验证 是(2,1)阶张量.解：由定义混合张量的缩并运算：标量15张量运算的商定理：如果且已知及 均 为张量，则 也是张量证明：由定义知是张量是张量即 也是张量. 证毕. 作业：161.2 张量的对称性二阶逆变张量 可以用矩阵表示对称张量反称张量张量的对称性与坐标无关，因为圆括号表示对称组合，方括号表示反对称组合（混合张量不适用）17高阶反称张量：对任一对上标(或下标)都是反称的（a）当任意两个指标取相同值时，张量的该分量为零.（b）n维空间中最高阶的反称张量是n阶的，这张量只 有一个独立分量如：3维空间中的三阶反称张量 ,常记为偶排列奇排列其它n维空间

6、的体积元3维空间18度规张量 黎曼空间：空间任意两相邻点定义了距离。 距离ds与坐标系选取无关 度规张量： （对称张量） 例：三维欧氏空间（黎曼空间的特例） 选笛卡尔坐标 选球坐标 19闵氏空间（黎曼空间特例，狭义相对论时空背景） 选笛卡尔坐标 定义逆变度规张量 闵氏空间存在坐标系使 张量指标的升降：建立协变与逆变张量的一一对应关系 定义矢量的长度 （内积） 满足201.3 矢量的平移和仿射联络提出问题：如何比较空间不同点的张量？空间不同点上的张量不能相减（基矢不同，只有给定基底，分量才有意义） 张量的平移：它能把 P点（坐标为 ）的张量平移至邻近点Q（坐标为 ) 而变成Q点的张量不同点的标量

7、不同点的张量PQ21设P点协变矢量，平移至Q点后记为PQ约定的比例系数 就叫做P点的仿射联络联络：时空的一种结构线性近似下，定义：平直空间，笛卡尔系，联络为零22在Q点的协变矢量：利用变换矩阵的微分关系泰勒展开后取线性近似在坐标系下，定义了则可求出下的时空结构PQ23这里一切量的自变量都是P点的坐标，所以全部省略了将它们代回上式，略去坐标微分的二阶小量利用变换矩阵的性质24仿射联络的变换公式（不是张量）逆变矢量的平移操作标量的平移：自然的约定作业：约定2维欧氏空间笛卡尔坐标系下联络为零，求极坐标系下的联络笛卡尔坐标极坐标答案25仿射联络有以下几点有用的性质，它们都是直接由联络的变换公式得出的（

8、a）在同一仿射空间中引入两种联络 , ,则它 们的差是（1,2)阶张量 .（b）若联络 对 和 并不对称，那么 也是一种联络.（c）联络 的对称组合 也是一种联 络。它叫对称联络，即对其下标是对称的。(d）反称联络: 它是一个对下标反称的张量它叫仿射空间的挠率张量。 若挠率张量为零，则联络是对称的（e）一个非对称的联络总可以表为对称联络和挠率张量 之和261.4 张量的协变微商对张量场求协变微商后得到的量将仍具有张量的性质.标量场的微商: 对 的普通微商用 表示.坐标变换后, 变为标量场的普通微商自动具有张量的性质，所以将它定义为标量场的协变微商.协变微商:27协变矢量场 的微商.对 的普通微

9、商:不同地点的张量求和(差)之后,不再是张量.右边两项都不是张量,它们之差才是张量.对 的协变微商:28为了唯一地确定其它阶张量的协变微商,要求协变微商满足与普通微商一样的乘法规则。即例如：求逆变矢量场 的协变微商代入( 由 是任意矢量)29规律：对每一个上标按逆变矢量的协变微商操作一 次， 对每一个下标按协变矢量的协变微商操作一 次。Kroneker 张量的协变微商后两项对消零作业：证明的反称组合为张量301.5 测地线方程直线定义线上任意两点的切矢量都相互平行的曲线n维空间的曲线由n个参量式描述，是标量性的参量切矢量定义:是逆变矢量若曲线上任意两相邻点 和 的一切矢量满足:则这曲线叫测地线

10、这里对比例因子按 作了展开，保留一级小量测地线的定义：31利用逆变矢量的平移公式:由切矢量的微分公式，又有略去 的高阶量测地线的微分方程或简称测地线方程仿射参量形式参量变换32当采用仿射参量时,有f()=0 (从测地线方程简化前后对比可知).此时的测地线条件:仿射参量并不唯一，仿射参量的变换只能是线性变换.Light travels along “straight” lines in a curved “space-time”测地线：“直线”仿射参量的两点性质:33Black HolesMake the gravity stronger by cramming the mass into a smaller & smaller volume: eventually even light cannot escape!34 1.6 曲率张量联络不是张量挠率张量由联络可构造出曲率张量取和的反称组合,曲率张量35太阳系十大最寒冷地方