关于数学三的差分方程

1、关于数学三的差分方程以下材料来自于我的考研数学宝典经济类和互联网考纲要求了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。掌握一阶常系数线性差分方程的求阶方法。会应用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题。微分方程实际上只是差分方程的离散化,我们高中就学过差分方程，只是那时称为数列，如等差数列，等比数列等等。还记得我们使用过数学归纳法求解数列通项的么？只是现在有一套固定的解法。不需要技巧。【函数的差分】一元函数y(x)在点x处的差分定义为y(x+1)-yG)。当x是离散变量时,常将y(x)写作y，故将差分记作y-y。TOC o 1-5 h zxxx+1x例对函数yx2，有Ay2x+1。xx【一阶常系数

2、线性差分方程】是指未知函数y的如下方程：y-ayf(x)(a主0)xx+1x当f(x)0时，称其为齐次方程，否则称为非齐次方程。【齐次方程的基本解和通解】齐次差分方程y-ay0的基本解为yax，通解为x+1xxyCax，其中C为任意常数。x【非齐次方程的通解结构】非齐次差分方程y-ayf(x)(a丰0)的通解为x+1xyCax+y*，其中Cax是对应的齐次方程的通解，y*是非齐次方程的特解。xxx【非齐次方程的特解求法】采用待定系数法确定特解y*。还是微分方程的特解的六字方针:x同类型，再调整。具体写法为：如果重点考虑指数函数，当f为其他类型是比较麻烦，原理一样f(x)bxP(x)，则y*bx

3、P(x)-Xk。(其中，P(x)是方程中给定的n次多项式函数,nxnnP6)是待定的n次多项式函数。如果ba，则取k1，否则取k0，这就是调整！)n【计算差分方程的定解】如果问题中给出初始条件如x1,y3，则可以将其代入通解来求出任意常数得到定解。例y3y2x+1x解对应的齐次方程的通解为y=C3x，非齐特解可设成y*=A，回代：xA一3A=2A=一1,故原方程的通解为y=C3x-1例2-199703yy=12tt+1t解对应的齐次方程基本解为y二1；非齐特解设成y=(A+Btbt代回方程得tt2A+Bt2t-Ca+Bt2t12t；求得A-2,B1。因此，原方程通解为yC+(-2+1)2t。练

4、习-1998032y+5yt。答案：yy+y*C(-5)t+t-t+1t2tc1272例3求差分方程yt+1+yt-3+2t的通解。解：特征方程为九-10，特征根九1。齐次差分方程的通解为ycC。由于f(t)3+2t-Ptp1(t)，P=1是特征根。因此非齐次差分方程的特解为y*(t)t(B0+Bt)。将其代入已知差分方程得B+B+2Bt3+2t，011比较该方程的两端关于t的同次幕的系数，可解得气-2，B11。故y*(t)2t+12。于是，所求通解为y=y+y*=c+2t+12，(c为任意常数)。tc例4-200103建立差分方程只考过一次某公司每年的工资总额在比上一年增加20%的基础上再追加200万元，若以w表示第t年t的工资总额，则w满足的差分方程为w1.2w+2ttt-1【微分方程的经济应用】对问题中的经济变量的变化率的关系式求解，便可以求得未知函数的解。例某商品的需求量x对价格p的弹性为n=-3p3，市场对该商品的最大需求量为1万件，求需求函数。解由弹性公式得微分方程：dxp,=