2022年八级数上册期末第二章实数知识点归纳总结练习

1、有德训练 其次章：实数 【无理数 】 1. 定义： 无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必需中意 条件； “无限 ”以及 “不循环 ”这两个 2. 常见无理数的几种类型： （1）特别意义的数,如：圆周率 以及含有 的一些数,如： 2- ,3 等； （ 2）特别结构的数（看似循环而实就不循环）：如： 2.010 010 001 000 01 （两个 1 之间 依次多 1 个 0）等；（ 3）无理数与有理数的和差结果都是无理数；如： 2- 是无理数 （4）无理数乘或除以一个不 为 0 的有理数结果是无理数；如 2 , （5）开方开不尽的数,如 : 2, 5, 3 9 等；应当要留意的是：带根号的

2、数不愿定是无理数, 如： 9 等；无理数也不愿定带根号,如： ） 3. 有理数与无理数的区分： （1）有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数就是无限不循环小数； （2）全部的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为 成分数形式； 例： （1）以下各数： 1 的分数）,而无理数就不能写 , 57 , , 2 ,3（相邻两个 3 之间 0 的个数逐次增加 ；（填序号） 2）,其中是有理数的有；是无理数的有 （2）有五个数 ,- , 4 , 32 其中无理数有 个 【算术平方根】 ： 1. 定义： 假如一个正数 x 的平方等于 a,即 x2 a ,那么,这个正数 x 就叫做 a 的算术平

3、方根, 记为： “ a”,读作,“根号 a”,其中, a称为被开方数；例如 32=9,那么 9 的算术平方根 是 3,即 9 3 ； 特别规地, 0 的算术平方根是 0,即 0 2. 算术平方根具有双重非负性 ：（ 1）如 a 本身是非负数； 0 ,负数没有算术平方根 有意义,就被开方数 a 是非负数；（2）算术平方根 3. 算术平方根与平方根的关系： 算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的相反数共同构成 了平方根；因此,算术平方根只有一个值,并且是非负数,它只表示为： a ；而平方根具有两 1 / 9 第 1 页,共 9 页有德训练 个互为相反数的值,表示为： a ； 2；（ C）, 81

4、 的平方根是 3 ； （ D）,0例： （1）以下说法正确选项 （ ） A 1 的立方根是 1 ； B 4没有平方根； （ 2）以下各式正确选项（ ） A, 81 9B , C , 27 93D, 532（ 3） 2 3 的算术平方根是 ；（4）如 x x 有意义,就 x 1； （ 5）已知ABC 的三边分别是 a, b,c, 且 a, b 中意 a3 b 4 20,求 c 的取值范畴； （6）（提高题）假如 x,y 分别是 4 3的整数部分和小数部分；x y 的值. 求 平方根： 1. 定义： 假如一个数 x 的平方等于 a,即 x2a ,那么这个数 x 就叫做 a 的平方根；,我们称 x

5、是 a 的平方（也叫二次方根） ,记做： x aa 0 2. 性质： （ 1）一个正数有两个平方根,且它们互为相反数； （2）0 只有一个平方根,它是 0 本身； （ 3）负数没有平方根 例（ 1）如 x 的平方根是 2,就 x= ； 16 的平方根是 （ 2）当 x 时, 32x 有意义； （ 3）一个正数的平方根分别是 m和 2 2 3. a a 0与 a 的性质 m-4,就 m 的值是多少？这个正数是多 少？ （ 1）（ 2 a a a 0如：7）7 （2） a2| a |中, a 可以取任意实数；如 5 2 | 5| 5 2（ - 3） | -3 | 3例： 1. 求以下各式的值 （

6、1） 722 1 a（2） （ - 7）2（3）（ - 2 49） | x 3 | 2. 已知 （a 1 ,那么 a 的取值范畴是 ； 3. 已知 2x3, 化简 （2 - x 2； 【立方根】 1. 定义： 一般地,假如以个数 x 的立方等于 a,即 x3=a, 那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（也 2 / 9 第 2 页,共 9 页有德训练 叫做三次方根）记为 3a ,读作, 3 次根号 a；如 23=8,就 2 是 8 的立方根, 0 的立方根是 0； 2. 性质： 正数的立方根的正数； 0,1 ,-1. 0 的立方根是 0；负数的立方根是负数；立方根是它本身的数有 例： （1）64

7、 的立方根是 （ 2）如 3a 2.89, 3 ab ,就 b 等于 （ 3）以下说法中： 3 都是 27 的立方根, 3y 3 y , 64 的立方根是 2, 3 8 24 ； 其中正确的有 （ ） A , 1 个 B ,2 个 C,3 个 D,4 个 比较两个数的大小： 方法一：估算法；如 3 10 4 方法二：作差法；如 a b 就 a-b 0. 方法三：乘方法 . 如比较 2 6 与 3 3 的大小； （2） 5 2 与 3 5例：比较以下两数的大小 （ 1） 10 - 3 与 1 2 2【实数】 定义： （1）有理数与无理数统称为实数；在实数中,没有最大的实数,也没有最小的实数；确定

8、 值最小的实数是 0,最大的负整数是 -1 ； （ 2）实数也可以分为正实数, 0 负实数； 实数的性质： 实数 a 的相反数是 -a ；实数 a 的倒数是 1 （a0）；实数 a 的确定值 a|a|= aa 0 ,它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离； 0 0, 0 大 （在 a a 实数的大小比较法就： 实数的大小比较的法就跟有理数的大小比较法就相同：即正数大于 于负数；正数大于负数；两个正数,确定值大的就大,两个负数,确定值大的反而小； 数轴上,右边的数总是大于左边的数） ；对于一些带根号的无理数,我们可以通过比较它们 的平方或者立方的大小； 实数的运算： 在实数范畴内,可以进行加,

9、减,乘,除,乘方,开方六种运算；运算法就和运算 次序与有理数的一 实数与数轴的关系： 每个实数与数轴上的点是一一对应的 （ 1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示； （ 2）数轴上的每个点都表示已个实数； 3 / 9 第 3 页,共 9 页有德训练 例： （1）以下说法正确选项（ ）； A,任何有理数均可用分数形式表示 ； B ,数轴上的点与有理数一一对应 ； C,1 和 2 之间的无理数只有 2 ； D,不带根号的数都是有理数； （2）a,b 在数轴上的位置如以下图,就以下各式有意义的是 a 0 bA, a b B , ab C, a b D, b a（3）比较大小 填“” 或“0,就 a

10、b=1；（ ） 2把以下各数分别填入相应的集合里 2231 8, 2 3 0,32, ctg45, 9, 8, 2 , | 3| ,21 3, 1234, 7 ,0 , 2中 无理数集合 1 - 负分数集合 整数集合 非负数集合 *3 已知 1x2,就 |x 3|+ x2 = ； 4以下各数中,哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？ 1 3, 2 1, 3 , 0 3, 3 1, 1 + 2, 3 3互为相反数： 互为倒数： 互为负倒数： *5 已知,是实数,且（ X 2）2 和 2互为相反数,求, y 的值 6 / 9 第 6 页,共 9 页有德训练 6. ,b 互为相反数, c,d

11、 互为倒数, m 的确定值是 2, |a + b| 求 2m2 + 1+4m-3cd= ； ； （ 3） 2 24 *7 已知 a + 2 0,求 = 三,解题指导： 1以下语句正确选项（ ） A,无尽小数都是无理数 B ,无理数都是无尽小数 C,带拫号的数都是无理数 D,不带拫号的数确定不是无理数； 2和数轴上的点一一对应的数是（ ） A,整数 B ,有理数 C ,无理数 D,实数 2零是（ ） A,最小的有理数 B ,确定值最小的实数 C,最小的自然数 D,最小的整数 4. 假如 a 是实数,以下四种说法： （1） 2 和都是正数,（ 2）,那么确定是负数, 1（3）的倒数是 a,（ 4）

12、和的两个分别在原点的两侧,几个是正确的有 个 *5 比较以下各组数的大小： 3 1 11 2 3 12 2ab0 时, a b|4 -a2| + a + b 2a + 3b 6如 a,b 中意 a + 2 =0, 就 a 的值是 *7 实数 a,b,c 在数轴上的对应点如图,其中 O 是原点,且 |a|=|c| （1） 判定 a+b,a+c,c-b 的符号 （2） 化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b| *8 数轴上点 A 表示数 1,如 AB 3,就 B 所表示的数为 点 9已知 x0 ,且 y|x| ,用 连结 x, x, |y| ,y； 10最大负整数,最小的正整数,最小的自然数

13、,确定值最小的实数各是什么？ 7 / 9 第 7 页,共 9 页有德训练 11确定值,相反数,倒数,平方数,算术平方根,立方根是它本身的数各是什么？ 12把以下语句译成式子： （ 1） a 是负数 ；（ 2）a,b 两数异号 ；（ 3）a,b 互为相反数 ； （ 4） a, b 互为倒数 ； 5x 与 y 的平方和是非负数 ； （ 6） c, d 两数中至少有一个为零 ；（ 7）a,b 两数均不为 0 ； *13. 数轴上作出表示 2, 3, 5的点； 四独立训练： 10 的相反数是 , 3 的相反数是 , 38 的相反数是 ； 的确定值是 ,0 的确定值是 , 2 3的倒数是 2数轴上表示

14、32 的点它离开原点的距离是 ； 1 1A 表示的数是 2,且 AB3,就点 B 表示的数； 是 22 3 33 , ,1 2 o, ,0 1313 ,2cos60 o, 31 ,1 101001000 ,负数有 两 1 之间依次多一个 0, 其中无理数有 ,整数有 ； 4. 如 a 的相反数是 27,就 a| ； 5如 |a| 2,就 a= 5照实数 x,y 中意等式（ x 3） 2 4 y 0,就 xy 的值是 6实数可分为（ ） A,正数和零 B ,有理数和无理数 C ,负数和零 D ,正数和负数 *7 如 2a 与 1 a 互为相反数,就 a 等于 a= 8当 a 为实数时, a2=a 在数轴上对应的点在（ ） A,原点右侧 B ,原点左侧 C ,原点或原点的右